2016年河南省商丘市高考数学三模(理科)试卷含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年河南省商丘市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=1， 2， 3， N=3， 4， 5，则集合 1， 2可以表示为（ ） A MN B（ N C M（ D（ （ 2设复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，且 i，则 =（ ） A 4+3i B 4 3i C 3 4i D 3+4i 3 设向量 ， 是两个互相垂直的单位向量，且 =2 ， = ，则 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 4下列判断错误的是（ ） A命题 “若 a b”是假命题 B命题 “ x R， 1 0”的否定是 “ R， 1 0” C “若 a=1，则直线 x+y=0 和直线 x 互相垂直 ”的逆否命题为真命题 D命题 “p q 为真命题 ”是命题 “p q 为真 ”的充分不必要条件 5在等差数列 ，首项 ，公差 d 0，若 ak=a1+a2+ k=（ ） A 22 B 23 C 24 D 25 6已知抛物线 x 与双曲线 的一个交点为 M， F 为抛物线的焦点，若 |5，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 5x 3y=0 B 3x 5y=0 C 4x 5y=0 D 5x 4y=0 7某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N，已知 p（ 80 100） =按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析，则应从 120分以上的试卷中抽取（ ） A 5 份 B 10 份 C 15 份 D 20 份 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（ ） A 8 B C 12 D 16 第 2 页（共 21 页） 9函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最大值为（ ） A B C D 10见如图程序框图，若输入 a=110011，则输出结果是（ ） A 51 B 49 C 47 D 45 11已知直线 l： y=（ k 为常数）过椭圆 =1（ a b 0）的上顶点 B 和左焦点 F，且被圆 x2+ 截得的弦长为 L，若 L ，则椭圆离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =不等式 的解集为（ ） A（ e， +） B（ 0， e） C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 3 的最大值为 14数列 足： ， =2an，则数列 an前 10 项的和为 第 3 页（共 21 页） 15若（ x+ ） n 的展开式中各项的系数之和为 81，且常数项为 a，则直线 y= x 与曲线 y= 16三棱柱 底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为 16，则三棱柱 最大体积为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 b2+a2= （ ）求角 A 的大小； （ ）设函数 f（ x） = a=2， f（ B） = +1 时，求边长 b 18某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生 30 人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位： 男生成绩在 175上（包括 175义为 “合格 ”，成绩在 175下（不包括 175义为 “不合格 ”； 女生成绩在 165上（包括 165义为 “合格 ”，成绩在 165下（不包括 165义为 “不合格 ” （ ）在五年级一班男生中 任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩是合格的概率； （ ）若从五年级一班成绩 “合格 ”的学生中选取 2 人参加复试，用 X 表示其中男生的人数，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望 19在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 P， E 为棱 （ ）求直线 平面 成角的正弦值； （ ）若 F 为 中点，棱 是否存在一点 M，使得 存在，求出 的值，若 不存在，说明理由 20动点 P 在抛物线 y 上，过点 P 作 直于 x 轴，垂足为 Q，设 （ ）求点 M 的轨迹 E 的方程； （ ）设点 S（ 4， 4），过 N（ 4， 5）的直线 l 交轨迹 E 于 A， B 两点，设直线 |最小值 第 4 页（共 21 页） 21已知函数 f（ x） =3（ a R） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若函数 y=f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1， 2，函数 在区间（ t， 3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围； （ ）求证： 选修 4何证明选讲 22已知四边形 O 的内接四边形，且 D，其对角线 交于点 M过点 B 作 O 的切线交 延长线于点 P （ 1）求证： D=M； （ 2）若 D=M，求证： C 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， A， B 的极坐标分别为 A（ 2， ）， （ ）求直线 直角坐标方程； （ ）设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 离的最大值 选修 4等式选讲 24设 f（ x） =|x 1| 2|x+1|的最大值为 m （ ）求 m； （ ）若 a， b， c （ 0， +）， ，求 ab+最大值 第 5 页（共 21 页） 2016 年河南省商丘市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=1， 2， 3， N=3， 4， 5，则集合 1， 2可以表示为（ ） A MN B（ N C M（ D（ （ 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由题意作 ，从而结合图象确定集合的运算 【解答】 解：由题意作 如下， ， 结合图象可知， 集合 1， 2=M（ 故选 C 2设复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，且 i，则 =（ ） A 4+3i B 4 3i C 3 4i D 3+4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，且 i，可得： 2 i， ，再利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： 复数 复平面内对应的点关于虚轴对称，且 i， 2 i， = 2+i， 则 =（ 2 i）（ 2+i） = 3+4i， 故选： D 3设向量 ， 是两个互相垂直的单位向量，且 =2 ， = ，则 | +2 |=（ ） A 2 B C 2 D 4 【考点】 向量的模 【分析】 根据向量的运算法则计算即可 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解： 向量 ， 是两个互相垂直的单位向量， | |=1， | |=1， =0， =2 ， = ， +2 |=2 + ， | +2 |2=4 +4 + =5， | +2 |= ， 故选： B 4下列判断错误的是（ ） A命题 “若 a b”是假命题 B命题 “ x R， 1 0”的否定是 “ R， 1 0” C “若 a=1，则直线 x+y=0 和直线 x 互相垂直 ”的逆否命题为真命题 D命题 “p q 为真命题 ”是命题 “p q 为真 ”的充分不必要条件 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A 中考查 m=0 特殊情况； B 对任意命题的否定：把任意改为存在，再否定结论 C 根据原命题和逆否命题为等价命题； q 为真命题，可知 p， q 至少有一个为真， p q 可真可假 【解答】 解： A 命题 “若 m=0 时， a 可以大于 b，故 a b 是假命题，故正确； B 对任意命题的否定：把任意改为存在，再否定结论命题 “ x R， 1 0”的否定是 “ R， 1 0”故正确； C 根据原命题和逆否命题为等价命题， “若 a=1，则直线 x+y=0 和直线 x 互相垂直 ”为证命题，故其逆否命题也为真命题，故正确； q 为真命题，可知 p， q 至少有一个为真，但推不出 p q 为真，故错误 故选 D 5在等差数列 ，首项 ，公差 d 0，若 ak=a1+a2+ k=（ ） A 22 B 23 C 24 D 25 【考点】 等差数列的性质 【分析】 根据等差数列的性质，我们可将 ak=a1+a2+化为 由首项 ，公差 d 0，我们易得 1d，进而求出 k 值 【解答】 解： 数列 等差数列 且首项 ，公差 d 0， 又 k 1） d=a1+a2+1d 故 k=22 故选 A 第 7 页（共 21 页） 6已知抛物线 x 与双曲线 的一个交点为 M， F 为抛物线的焦点，若 |5，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A 5x 3y=0 B 3x 5y=0 C 4x 5y=0 D 5x 4y=0 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程，设 M（ m， n），则由抛物线的定义可得 m=3，进而得到 M 的坐标，代入双曲线的方程，可得 a，再由渐近线方程即可得到所求 【解答】 解：抛物线 x 的焦点 F（ 2， 0），准线方程为 x= 2， 设 M（ m， n），则由抛物线的定义可得 |m+2=5，解得 m=3， 由 4，可得 n= 2 将 M（ 3， ）代入 双曲线 ， 可得 24=1，解得 a= ， 即有双曲线的渐近线方程为 y= x 即为 5x 3y=0 故选 A 7某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N，已知 p（ 80 100） =按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析，则 应从 120分以上的试卷中抽取（ ） A 5 份 B 10 份 C 15 份 D 20 份 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由题意结合正态分布曲线可得 120 分以上的概率，乘以 100 可得 【解答】 解： 数学成绩 服从正态分布 N， P（ 80 100） = P（ 80 120） =2 P（ 120） = （ 1 = 100 5， 故选： C 8如图，网格纸上小正方形的边 长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（ ） 第 8 页（共 21 页） A 8 B C 12 D 16 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图得出该几何体是在棱长为 4 的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可 【解答】 解：根据题意，得； 该几何体是如图所示的三棱锥 A 且该三棱锥是放在棱长为 4 的正方体中， 所以，在三棱锥 A ， ， B= = ， =6， S 4 4=8 S =4 ， S 4 4=8，在三角形 ，作 E，连结 = ， = ， S =12 故选： C 第 9 页（共 21 页） 9函数 f（ x） =2x+）（ | ）的图象向右平移 个单位后的图象关于 y 轴对称，则函数 f（ x）在 0， 上的最大值为（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得 值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得 【解答】 解：将函数 f（ x） =2x+）的图象向右平移 个单位后得到 y=（ x ）+） =2x+ ）的图象， 图象关于 y 轴对称， 由诱导公式和偶函数可得 =，解得 =， kZ， 由 | ，可得当 k= 1 时， = ， 故 f（ x） =2x ）， 由 x 0， ，可得： 2x ， ， 当 2x = ，即 x= 时，函数 f（ x）在 0， 上取最大值 2 ） = ， 故选： B 10见如图程序框图，若输入 a=110011，则输出结果是（ ） 第 10 页（共 21 页） A 51 B 49 C 47 D 45 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， t=1， b=1， i=2，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后， t=1， b=3， i=3，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后， t=0， b=3， i=4，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后， t=0， b=3， i=5，不满足退出循环的条件， 第五次执行循环体后， t=1， b=19， i=6，不满足退出循环的条件， 第六次执行循 环体后， t=1， b=51， i=7，满足退出循环的条件， 故输出 b 值为 51， 故选： A 11已知直线 l： y=（ k 为常数）过椭圆 =1（ a b 0）的上顶点 B 和左焦点 F，且被圆 x2+ 截得的弦长为 L，若 L ，则椭圆离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由垂径定理，结合 算出直线 l 到圆 x2+ 的圆心的距离 d 满足 ，结合点到直线的距离公式建立关于 k 的不等式，算出 由直线 l 经过椭圆的上顶点 ，可得 c= ，从而得到 + ，利用离心率的公式建立 e 关于 k 的关系式，即可求出椭圆离心率 e 的取值范围 【解答】 解：圆 x2+ 的圆心到直线 l： y= 的距离为 d= 直线 l： y= 被圆 x2+ 截得的弦长为 L， 由垂径定理，得 2 ， 即 ，解之得 ，解之得 直线 l 经过椭圆的上顶点 B 和左焦点 F， b=2 且 c= = ，即 + 第 11 页（共 21 页） 因此，椭圆的离心率 e 满足 = = 0 ，可得 e （ 0， 故选： B 12已知函数 f（ x） =不等式 的解集为（ ） A（ e， +） B（ 0， e） C D 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为 f（ f（ 1）即为 f| f（ 1），则 | 1，运用对数函数的单调性，即可得到解集 【解答】 解：函数 f（ x） =导数为： f（ x） =x=x（ 2+ 则 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）递增， 且 f（ x） = x） +（ x） 2=f（ x）， 则为偶函数，即有 f（ x） =f（ |x|）， 则不等式 ，即为 f（ f（ 1） 即为 f| f（ 1）， 则 | 1，即 1 1，解得， x e 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 3 的最大值为 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 第 12 页（共 21 页） 由图易得： 当 x=4， y=2 时 z=x+2y 3 的最大值为 5， 故答案为： 5 14数列 足： ， =2an，则数列 an前 10 项的和为 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 把已知数列递推式变形，得到数列 是以 2 为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式，代入 an，然后利用裂项相消法求和 【解答】 解：由 =2an，得 ， 即 ， 数列 是以 2 为公差的等差数列， 有 ， ， 则 ， ， 则 an= ， 数列 an前 10 项的和为 = 故答案为： 第 13 页（共 21 页） 15若（ x+ ） n 的展开式中各项的系数之和为 81，且常数项为 a，则直线 y= x 与曲线 y= 【考点】 二项式定理的应用；定积分 【分析】 依据二项式系数和为 3n，列出方程求出 n，利用二项展开式的通项公式求出常数项a 的值，再利用积分求直线 y= x 与曲线 y=成的封闭图形的面积 【解答】 解： （ x+ ） n 的展开式中各项的系 数之和为 81， 3n=81， 解得 n=4， （ x+ ） 4 的展开式的通项公式为： =r2r， 令 4 2r=0，解得 r=2， 展开式中常数项为 a=2=24； 直线 y=4x 与曲线 y=围成的封闭区域面积为： S= （ 4x 2 故答案为： 16三棱柱 底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为 16，则三棱柱 最大体积为 4 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据球体体积计算球的半径，得出底面直角三角形的斜边长，从而得出底面直角边a， b 的关系，利用基本不等式求得 最大值，代入棱柱的体积得出体积的最大值 【解答】 解：设三棱柱底面直角三角形的直角边为 a， b 则棱柱的高 h= ， 设外接球的半径为 r，则 46，解得 r=2， 正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心， h=2r=4 h=2 ， a2+b2= 2 4 三棱柱的体积 V= 4 故答案为 4 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 b2+a2= （ ）求角 A 的大小； 第 14 页（共 21 页） （ ）设函数 f（ x） = a=2， f（ B） = +1 时，求边长 b 【考点】 余弦定理 【分析】 （ ）由已知及余弦定理可得 ，结合范围 0 A ，即可解得 A 的值 （ ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（ x） = x+ ） +1，由B+ ） +1= ，解得 B 的值，利用正弦定理即可求 b 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）在 ，因为 b2+a2= 由余弦定理可得 = = ， 0 A ， A= （ ） f（ x） = x+ ） +1， f（ B） = B+ ） +1= ， B= ， ，即： = ， b= = 18某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生 30 人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位： 男生成绩在 175上（包括 175义为 “合格 ”，成绩在 175下（不包括 175义为 “不合格 ”； 女生成绩在 165上（包括 165义为 “合格 ”，成绩在 165下（不包括 165义为 “不合格 ” （ ）在五年级一班男生中任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩是合格的概率； （ ）若从五年级一班成绩 “合格 ”的学生中选取 2 人参加复试，用 X 表示其中男生的人数，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望 第 15 页（共 21 页） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）设 “仅有两人的成绩合格 ”为事件 A， “有三人的成绩合格 ”为事件 B，至少有两人的成绩是合格的概率为 P=P（ A） +P（ B），由此能求出至少有 2 人的成绩是合格的概率 （ ）因为女生共有 18 人，其中有 10 人合格，依题意， X 的取值为 0， 1， 2分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（ X） 【解答】 解：（ ）设 “仅有两人的成绩合格 ”为事件 A， “有三人的成绩合格 ”为事件 B， 至少有两人的成绩是合格的概率为 P，则 P=P（ A） +P（ B）， 又男生共 12 人，其中有 8 人合格，从而 P（ A） = ， P（ B） = ， 所以 P= （ ）因为女生共有 18 人，其中有 10 人合格，依题意， X 的取值为 0， 1， 2 则 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ，（每项 1 分） 因此， X 的分布列如下： X 0 1 2 P E（ X） = +2 = （人）（未化简不扣分） 19在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 P， E 为棱 （ ）求直线 平面 成角的正弦值； （ ）若 F 为 中点，棱 是否存在一点 M，使得 存在，求出 的值，若不存在，说明理由 第 16 页（共 21 页） 【考点】 直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ I）以 A 为原点建系，设 ，求出 和平面 法向量 ，则所求的线面角的最小值等于 | |； （ = ，求出 和 的 坐标，令 解出 即可得出 的值 【解答】 解：（ ）以点 A 为原点建立如图的空间直角坐标系， 不妨设 P=2， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， 1， 1） =（ 0， 1， 1）， =（ 2， 2， 0）， =（ 2， 0， 2）， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，即 ， 令 z=1，得 =（ 1， 1， 1） = = ， 直线 平面 成角的正弦值为 （ ） C（ 2， 2， 0）， F（ 1， 0， 0）， =（ 2， 2， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 1， 2， 0） 设 = =（ 2， 2， 2）（ 0 1）， =（ 1 2， 2 2， 2）， ， 2（ 1 2） +2（ 2 2） =0，解得 = ， 20动点 P 在抛物线 y 上，过点 P 作 直于 x 轴，垂足为 Q， 设 （ ）求点 M 的轨迹 E 的方程； （ ）设点 S（ 4， 4），过 N（ 4， 5）的直线 l 交轨迹 E 于 A， B 两点，设直线 |最小值 【考点】 抛物线的简单性质 第 17 页（共 21 页） 【分析】 （ I）设 M 的坐标，根据中点坐标公式，将 P 点坐标代入整理可求得 M 的轨迹方程； （ 线 l 过点 N，设 l 的方程为： y=k（ x 4） +5，与 E 联立，整理得： 46k20=0，根据韦达定理，分类讨论 l 是否经过点 S，并分别求得直线的斜率，即 可求 |最小值 【解答】 解：（ I）设点 M（ x， y）， P（ 则由 ，得 ， 因为点 P 在抛物线 y 上，所以， y （ 已知，直线 l 的斜率一定存在， 设点 A（ B（ 则 联立 ， 得， 46k 20=0， 由韦达定理，得 当直线 l 经过点 S 即 4 或 4 时， 当 4 时，直线 斜率看作抛物线在点 A 处的切线斜率， 则 2， ，此时 ； 同理，当点 B 与点 S 重合时， （学生如果没有讨论，不扣分） 直线 l 不经过点 S 即 4 且 4 时 ， ， = ， = ， 故 ， 所以 |最小值为 1 21已知函数 f（ x） =3（ a R） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若函数 y=f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1， 2，函数 在区间（ t， 3） 上总不是单调函数，求 m 的取值范围； 第 18 页（共 21 页） （ ）求证： 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 利用导数求函数的单调区间的步骤是 求导函数 f（ x）； 解 f（ x） 0（或 0）；得到函数的增区间（或减区间）， 对于本题的（ 1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数 a 的讨论情况； （ 2）点（ 2， f（ 2）处的切线的倾斜角为 45，即切线斜率为 1，即 f（ 2） =1，可求 a 值，代入得 g（ x）的解析式，由 t 1， 2， 且 g（ x）在区间（ t， 3）上总不是单调函数可知：，于是可求 m 的范围 （ 3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量 n 有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解 【解答】 解：（ ） 当 a 0 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， 1，减区间为 1， +）； 当 a 0 时， f（ x）的单调增区间为 1， +），减区间为（ 0， 1； 当 a=0 时， f（ x）不是单调函数 （ ） 得 a= 2， f（ x） = 2x 3 ， g（ x） =3 m+4） x 2 g（ x）在区间（ t， 3）上总不是单调函数，且 g（ 0） = 2 由题意知：对于任意的 t 1， 2， g（ t） 0 恒成立， 所以有： ， （ ）令 a= 1