2016年重庆市高考数学三模试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年重庆市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合 M=x|y= ， N=y|y=3 2x，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A x| x 3 B x| x 3 C x| x 2 D x| x 2 2已知复数 z=1+ ，则 1+z+（ ） A 1+i B 1 i C i D 1 3（ 1 3x） 5=a0+ |（ ） A 1024 B 243 C 32 D 24 4若某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ） A 43 B 44 C 45 D 46 5给出下列四个结论： “若 a b”的逆命题是真命题； 若 x， y R，则 “x 2 或 y 2”是 “x2+4”的充分不必要条件； 函数 y=x+1） +1（ a 0 且 a 0）的图象必过点（ 0， 1）； 已知 服从正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 0） = P（ 2） = 其中正确的结论是（ ） A B C D 6某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 第 2 页（共 23 页） 1 的半圆，则其侧视图的面积是（ ） A B C 1 D 7已知实数 x， y 满足： ， z=|2x 2y 1|，则 z 的取值范围是（ ） A ， 5 B 0， 5 C 0， 5） D ， 5） 8某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加 “清净了文学社 ”、 “科技社 ”、 “十年国学社 ”、 “围棋苑 ”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加 “围棋苑 ”，则不同的参加方法的种数为（ ） A 72 B 108 C 180 D 216 9若 ， ） = ，且 ， ， ， ，则 + 的值是（ ） A B C 或 D 或 10设直线 x=t 与函数 f（ x） =g（ x） =图象分别交于点 M， N，则当 |到最小时 t 的值为（ ） A 1 B C D 11已知双曲线 的左右焦点分别为 O 为坐标原点，点 P 在双曲线右支上， 切圆的圆心为 Q，圆 Q 与 x 轴相切于点 A，过 直线垂线，垂足为 B，则 | |长度依次为（ ） A a， a B a， C D 12设 D 是函数 y=f（ x）定义域内的一个区间，若存在 D，使 f（ = 称 f（ x）的一个 “次不动点 ”，也称 f（ x）在区间 D 上存在次不动点若函数 f（ x） =x a+ 在区间 1， 4上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C ， +） D（ ， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 第 3 页（共 23 页） 13已知向量 ， | |=3，则 = 14设等差数列 前 n，若 ，则 = 15从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 位：千元）与月储蓄位：千元）的数据资料，算得 =80， 0， 84， =720家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 为 y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为 2 千元，预测该家庭的月收入为 千元 （附：线性回归方程 y=bx+a 中， b= ， a= b ） 16已知 P 点为圆 圆 共点，圆 x a） 2+（ y b） 2=，圆 x c）2+（ y d） 2=，若 ， = ，则点 P 与直线 l： 3x 4y 25=0 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 = ， A+3C=B， （ 1）求 值； （ 2）若 b=3 ，求 面积 18市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为 “环保卫士 12369”的绿色环保活动小组对 2014 年 1 月 2014 年 12 月（一月）内空气质量指数 行监测，如表是在这一年随机抽取的 100 天的统计结果： 指数0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 （ ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P（单位 ：元）与空气质量指数 为 t）的关系为： ，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失 P 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关？ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 第 4 页（共 23 页） 下面临界值表功参考 P（ k） k 考公式： 19在四棱锥 P ， 平面 面 梯形， B=D=1， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）设 Q 为棱 一点， = ，试确定 的值使得二面角 Q P 为 60 20在平面直角坐标系 ，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，直线l： x 1=0（ m R）过椭圆 C 的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A， B 两点 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）过点 A 作垂直于 y 轴的直线 直线 定直线 x=4 交于点 P，试探索当 m 变化时，直线 否过定点？ 21已知函数 f（ x） =g（ x） =mx+n （ 1）设 h（ x） =f（ x） g（ x） 若函数 h（ x）在 x=0 处的切线过点（ 1， 0），求 m+n 的值； 当 n=0 时，若函数 h（ x）在（ 1， +）上没有零点，求 m 的取值范围； （ 2）设函数 r（ x） = + ，且 n=4m（ m 0），求证：当 x 0 时， r（ x） 1 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C， F 为 O 上的点， 角平分线，过点 C 作 延长线于 D 点， 足为点 M （ 1）求证： O 的切线； （ 2）求证： B=A 第 5 页（共 23 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为 极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 （ ）求曲线 C 的直角坐标方程； （ ）设曲线 C 与直线 l 交于点 A、 B，若点 P 的坐标为（ 1， 1），求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 4|+|x+5| （ ）试求使等式 f（ x） =|2x+1|成立的 x 的取值范围； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016 年重庆市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设全集 U=R，集合 M=x|y= ， N=y|y=3 2x，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A x| x 3 B x| x 3 C x| x 2 D x| x 2 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 首先化简集合 A 和 B，然后根据 求出结果 【解答】 解： M=x|y= =x|x N=y|y=3 2x=y|y 3 图中的阴影部分表示集合 N 去掉集合 M 图中阴影部分表示的集合 x| x 3 故选： B 2已知复数 z=1+ ，则 1+z+（ ） A 1+i B 1 i C i D 1 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可 【解答】 解：复数 z=1+ =1+ =i 1+z+i+ 故选： D 3（ 1 3x） 5=a0+ |（ ） A 1024 B 243 C 32 D 24 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由于 |好等于（ 1+3x） 5 的各项系数和，故在（ 1+3x）5 的展开式中，令 x=1，即可求得 |值 【解答】 解：由题意（ 1 3x） 5=a0+得， |好等于（ 1+3x） 5 的各项系数和， 第 7 页（共 23 页） 故在（ 1+3x） 5 的展开式中，令 x=1 可得 |45=1024， 故选： A 4若某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ） A 43 B 44 C 45 D 46 【考点】 程序框图 【分析】 框图首先给循环变量 n 赋值 1，给累加变量 p 赋值 1，然后执行运算 n=n+1， p=p+2n 1，然后判断 p 2016 是否成立，不成立循环执行 n=n+1， p=p+2n 1，成立时算法结束，输出 n 的值且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前 n 项和问题当前 n 项和大于2016 时，输出 n 的值 【解答】 解：框图首先给循环变量 n 赋值 1，给累加变量 p 赋值 1， 执行 n=1+1=2， p=1+（ 2 2 1） =1+3=4； 判断 4 2016 不成立， 执行 n=2+1=3， p=1+3+（ 2 3 1） =1+3+5=9； 判断 9 2016 不成立， 执行 n=3+1=4， p=1+3+5+（ 2 4 1） =1+3+5+7=16； 由上可知，程序运行的是求首项为 1，公差为 2 的等差数列的前 n 项和， 由 p= 2016，且 n N*，得 n=45 故选： C 5给出下列四个结论： “若 a b”的逆命题是真命题； 若 x， y R，则 “x 2 或 y 2”是 “x2+4”的充分不必要条件； 函数 y=x+1） +1（ a 0 且 a 0）的图象必过点（ 0， 1）； 已知 服从正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 0） = P（ 2） = 其中正确的结论是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用 第 8 页（共 23 页） 【分析】 逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案 【解答】 解： “若 a b”的逆命题是 “若 a b，则 当 m=0 时不成立，故为假命题，故错误； 若 x， y R，当 “x 2 或 y 2”时， “x2+4”成立，当 “x2+4”时， “x 2 或 y 2”不一定成立，故 “x 2 或 y 2”是 “x2+4”的充分不必要条件，故正确； 当 x=0 时， y=x+1） +1=1 恒成立，故函数 y=x+1） +1（ a 0 且 a 0）的图象必过点（ 0， 1），故正确； 已知 服从正态分布 N（ 0， 2），且 P（ 2 0） = P（ 2） =错误； 故选： C 6某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则其侧视图的面积是（ ） A B C 1 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为 2，母线为为 2，故圆锥的底面半径为 1，高为 ，进而可得其侧视图的面积 【解答】 解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥， 又 正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆， 半圆锥的底面半径为 1，高为 ， 即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为 1 和 的直角三角形， 故侧视图的面积是 ， 故选： B 7已知实数 x， y 满足： ， z=|2x 2y 1|，则 z 的取值范围是（ ） A ， 5 B 0， 5 C 0， 5） D ， 5） 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域如图，令 u=2x 2y 1，由线性规划知识求出 u 的最值，取绝对值求得 z=|u|的取值范围 第 9 页（共 23 页） 【解答】 解：由约束条件 作可行域如图， 联立 ，解得 ， A（ 2， 1）， 联立 ，解得 ， 令 u=2x 2y 1， 则 ， 由图可知，当 经过点 A（ 2， 1）时，直线 在 y 轴上的截距最小， u 最大，最大值为 u=2 2 2 （ 1） 1=5； 当 经过点 时，直线 在 y 轴上的截距最大， u 最小，最小值为 u= ， z=|u| 0， 5） 故选： C 8某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加 “清净了文学社 ”、 “科技社 ”、 “十年国学社 ”、 “围棋苑 ”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参 加一个社团，且同学甲不参加 “围棋苑 ”，则不同的参加方法的种数为（ ） A 72 B 108 C 180 D 216 第 10 页（共 23 页） 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，分析可得，必有 2 人参加同一个社团，分 2 步讨论，首先分析甲，因为甲不参加 “围棋苑 ”，则其有 3 种情况，再分析其他 4 人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外 1 人参加同一个社团， 2 种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分析可得，必有 2 人参加同一个社团， 首先分析甲，甲不参加 “围棋苑 ”，则其有 3 种情 况， 再分析其他 4 人，若甲与另外 1 人参加同一个社团，则有 4 种情况， 若甲是 1 个人参加一个社团，则有 33=36 种情况， 则除甲外的 4 人有 24+36=60 种情况； 故不同的参加方法的种数为 3 60=180 种； 故选 C 9若 ， ） = ，且 ， ， ， ，则 + 的值是（ ） A B C 或 D 或 【考点】 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 【分析】 依题意，可求得 ， ， 2 ， ，进一步可知 ， ，于是可求得 ）与 值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案 【解答】 解： ， ， ， ， 2 ， 2， 又 0， 2 ， ， = ； 又 ） = ， ， ， ） = = ， +） =+（ ） = ） ） = （ ） = 又 ， ， ， ， （ +） ， 2， += ， 第 11 页（共 23 页） 故选： A 10设直线 x=t 与函数 f（ x） =g（ x） =图象分别交于点 M， N，则当 |到最小时 t 的值为（ ） A 1 B C D 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 将两个函数作差，得到函数 y=f（ x） g（ x），再求此函数的最小值对应的自变量x 的值 【解答】 解：设函数 y=f（ x） g（ x） =导数得 = 当 时， y 0，函数在 上为单调减函数， 当 时， y 0，函数在 上为单调增函数 所以当 时，所设函数的最小值为 所求 t 的值为 故选 D 11已知双曲线 的左右焦点分别为 O 为坐标原点，点 P 在双曲线右支上， 切圆的圆心为 Q，圆 Q 与 x 轴相切于点 A，过 直线垂线，垂足为 B，则 | |长度依次为（ ） A a， a B a， C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用切线长定理，结合双曲线的定义，把 | |2a，转化为 |2a，从而求得点 A 的横坐标再在三角形 ，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在 ，利用中位线定理得出 而解决问题 【解答】 解：根据题意得 c， 0）， c， 0）， 设 内切圆分别与 于点 于点 A， 则 | | | 又点 P 在双曲线右支上， | |2a， | |2a， 而 |2c， 设 A 点坐标为（ x， 0）， 则由 | |2a， 第 12 页（共 23 页） 得（ x+c）（ c x） =2a， 解得 x=a， |a， 在 ， （ = （ = =a， | |长度依次为 a， a 故选： A 12设 D 是函数 y=f（ x）定义域内的一个区间，若存在 D，使 f（ = 称 f（ x）的一个 “次不动点 ”，也称 f（ x）在区间 D 上存在次不动点若函数 f（ x） =x a+ 在区间 1， 4上存在次不动点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C ， +） D（ ， 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据 “f（ x）在区间 D 上有次不动点 ”当且仅当 “F（ x） =f（ x） +x 在区间 D 上有零点 ”，依题意，存在 x 1， 4，使 F（ x） =f（ x） +x=2x a+ =0，讨论将 a 分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出 a 的范围 【解答】 解：依题意，存在 x 1， 4， 使 F（ x） =f（ x） +x=2x a+ =0， 当 x=1 时，使 F（ 1） = 0； 当 x 1 时，解得 a= ， 第 13 页（共 23 页） a= =0， 得 x=2 或 x= ，（ 1，舍去）， x （ 1， 2） 2 （ 2， 4） a + 0 a 最大值 当 x=2 时， a 最大 = = ， 所以常数 a 的取值范围是（ ， ， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， | |=3，则 = 9 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知结合平面向量是数量积运算求得答案 【解答】 解：由 ，得 =0，即 （ ） =0， | |=3， 故答案为： 9 14设等差数列 前 n 项和为 ，则 = 9 【考点】 等差数列的性质；定积分 的简单应用 【分析】 先利用定积分求得 ，再根据等差数列的等差中项的性质可知据 而可得则 的值 【解答】 解： =（ x） |02=5， 等差数列， S9=a1+S5=a1+ 故答案为 9 第 14 页（共 23 页） 15从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 位：千元）与月储蓄位：千元）的数据资料，算得 =80， 0， 84， =720家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程为 y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为 2 千元，预测该家庭的月收入为 8 千元 （附：线性回归方程 y=bx+a 中， b= ， a= b ） 【考点】 线性回归方程 【分析】 利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出 b， a，然后求出线性回归方程 y=bx+a，通过 x=2，利用回归直线方程，推测该家庭 的月储蓄 【解答】 解：（ 1）由题意知， n=10， = =8， = ， b= = = a= b =2 8= 线性回归方程为 y= 当 y=2 时， x=8， 故答案为： 8 16已知 P 点为圆 圆 共点，圆 x a） 2+（ y b） 2=，圆 x c）2+（ y d） 2=，若 ， = ，则点 P 与直线 l： 3x 4y 25=0 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 把两个圆的方程相减与圆 立可得 x2+，令 4y 3x=t，则 y= ，代入可得 25tx+144=0，由 0，可得 15 t 15，再利用 P 到直线 l 的距离为= ，即可求出点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的 距离的最小值 【解答】 解： ， = ， = ，故两圆的圆心 a， b）、圆心 c， d）、原点O 三点共线， 不妨设 = =k，则 c= ， b=d= 把圆 x a） 2+（ y b） 2=，圆 x c） 2+（ y d） 2= 相减， 可得公共弦的方程为 （ 2c 2a） x+（ 2d 2b） y= 第 15 页（共 23 页） 即（ 2a） x+（ 2y= 2（ a） x+2k（ a） y=（ +a）（ a）， 当 a 2 时， a 0，公共弦的方程为： 2x+2+a，即： 2， 即： 2by= x a） 2+（ y b） 2=，即 x2+， 再把公共弦的方程代入圆 方程可得 x2+ 令 4y 3x=t，代入 可得 25tx+144=0 再根据此方程的判别式 =36100（ 144） 0，求得 15 t 15 点 P 到直线 l： 3x 4y 25=0 的距离为 = = ， 故当 4y 3x=t= 15 时，点 P 到直线 l： 3x 4y 25=0 的距离取得最小值为 2 当 a= 2 时，由条件可得 a=c， b=d，此时，两圆重合，不合题意 故答案为： 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 = ， A+3C=B， （ 1）求 值； （ 2）若 b=3 ，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）把 A+3C=B 代入 A+B+C=得 B= +C，可得 0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出 值； （ 2）由条件求出边 c 的值，由（ 1）和平方关系求出 值，利用两角和的正弦公式求出 值，代入三角形的面积公式求解即可 【解答】 解：（ 1）由题意得 A+3C=B，则 A=B 3C， 代入 A+B+C=得， B= +C，所以 0， ， 由正弦定理得， ，则 ， 又 ， 由 得， ，则 ； （ 2） ， b=3 ， c= ， 由（ 1）知 ，且 B= +C， = ，同理 可得 ， 则 B+C） = +（ ） = 第 16 页（共 23 页） 面积 S= = = 18市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为 “环保卫士 12369”的绿色环保活动小组对 2014 年 1 月 2014 年 12 月（一月）内空气质量指数 行监测，如表是在这一年随机抽取的 100 天的统计结果： 指数0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中 度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 （ ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P（单位：元）与空气质量指数 为 t）的关系为： ，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失 P 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节，其中有 8 天为重度污染，完成 2 2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关？ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 下面临界值表功参考 P（ k） k 考公式： 【考点】 独立性检验 【分析】 （ ）由 200 4t 400 600，得 150 t 250，频数为 39，即可求出概率； （ ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论 【解答】 解：（ ）设 “在本年内随机抽取一天，该天经济损失 P = （ ）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 观测值 所以有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关 第 17 页（共 23 页） 19在四棱锥 P ， 平面 面 梯形， B=D=1， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）设 Q 为棱 一点， = ，试确定 的值使得二面角 Q P 为 60 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）在梯形 ，过点作 B 作 H，通过面面垂直的判定定理即得结论； （ 2）过点 Q 作 点 M，过点 M 作 点 N，连 P 的平面角，在 角形 利用 计算即可 【解答】 （ 1）证明： 平面 面 面 1 所示 在梯形 ，过点作 B 作 H， 在 ， H=1， 5， 又在 ， B=1， 5， 5， 0， C=D 面 面 平面 面 D=D， 平面 面 平面 面 平面 平面 （ 2）解：过点 Q 作 点 M，过点 M 作 点 N，连 由（ 1）可知 平面 平面 N=M， 平面 2 所示 二面角 Q P 的平面角， 0， ， ， ， 由（ 1）知 ， ， 又 ， ， 第 18 页（共 23 页） = =1 ， ， ， 20在平面直角坐标系 ，已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，直线l： x 1=0（ m R）过椭圆 C 的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A， B 两点 （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）过点 A 作垂直于 y 轴的直线 直线 定直线 x=4 交于点 P，试探索当 m 变化时，直线 否过定点？ 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，直线 l： x 1=0（ m R）过椭圆 C 的右焦点 F，列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的标准方程 （ ）令 m=0，则 A（ 1， ）， B（ 1， ）或 A（ 1， ）， B（ 1， ），从而得到满足题意的定 点只能是（ ， 0），设为 D 点，再证明 P、 B、 D 三点共线由此得到 过定点（ ， 0） 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，直线 l： x 1=0（ m R）过椭圆 C 的右焦点 F， 由题设，得 ， 解得 a=2， c=1， b2=， 椭圆 C 的标准方程为 =1 第 19 页（共 23 页） （ ）令 m=0，则 A（ 1， ）， B（ 1， ）或 A（ 1， ）， B（ 1， ）， 当 A（ 1， ）， B（ 1， ）时， P（ 4， ），直线 y=x ， 当 A（ 1， ）， B（ 1， ）时， P（ 4， ），直线 y= x+ ， 满足题意的定点只能是（ ， 0），设为 D 点，下面证明 P、 B、 D 三点共线 设 A（ B（ 直于 y 轴， 点 P 的纵坐标为 而只要证明 P（ 4， 直线 ， 由 ，得（ 4+39=0， =144（ 1+ 0， ， ， = = ， 式代入上式，得 ， 点 P（ 4， 在直线 ，从而 P、 B、 D 三点共线，即 过定 点（ ， 0） 21已知函数 f（ x） =g（ x） =mx+n （ 1）设 h（ x） =f（ x） g（ x） 若函数 h（ x）在 x=0 处的切线过点（ 1， 0），求 m+n 的值； 当 n=0 时，若函数 h（ x）在（ 1， +）上没有零点，求 m 的取值范围； （ 2）设函数 r（ x） = + ，且 n=4m（ m 0），求证：当 x 0 时， r（ x） 1 【考点】 利用导 数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论 （ 2）求出 r（ x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可 【解答】 解：（ 1） h（ x） =f（ x） g（ x） =n 则 h（ 0） =1 n，函数的导数 f（ x） =m， 则 f（ 0） =1 m，则函数在 x=0 处的切线方程为 y（ 1 n） =（ 1 m） x， 切线过点（ 1， 0）， （ 1 n） =1 m，即 m+n=2 当 n=0 时， h（ x） =f（ x） g（ x） = 若函数 h（ x）在（ 1， +）上没有零点， 第 20 页（共 23 页） 即 在（ 1， +）上无解， 若 x=0，则方程无解，满足条件， 若 x 0，则方程等价为 m= ， 设 g（ x） = ， 则函数的导数 g（ x） = ， 若 1 x 0，则 g（ x） 0，此时函数单调递减，则 g（ x） g（ 1） = e 1， 若 x 0，由 g（ x） 0 得 x 1， 由 g（ x） 0，得 0 x 1，即当 x=1 时， 函数取得极小值，同时也是最小值，此时 g（ x） g（ 1） =e， 综上 g（ x） e 或 g（ x） e 1， 若方程 m= 无解，则 e 1 m e （ 2） n=4m（ m 0）， 函数 r（ x） = + = + = + ， 则函数的导数 r（ x） = + = ， 设 h（ x） =16 x+4） 2， 则 h（ x） =162（ x+4） =162x 8， h（ x） =162， 当 x 0 时， h（ x） =162 0，则 h（ x）为增函数，即 h（ x） h（ 0） =16 8=80， 即 h（ x）为增函数， h（ x） h（ 0） =16 16=0， 即 r（ x）