2016年天津市和平区高考数学四模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年天津市和平区高考数学四模试卷（文科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设 a 为实数， i 是虚数单位，若 + 是实数，则 a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 2已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 4， 7， B=2， 3， 6， 8，任取一个元素 a U，则 a （ A概率为（ ） A B C D 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A 98 B 86 C 72 D 50 4命题 “ x R， x 1 0”的否定是（ ） A x R， x 1 0 B x R， x 1 0 C x R， x 1 0 D x R， x 1 0 5如图，过圆 O 外一点 P 作一条直线与圆 O 交于 A， B 两点，若 ，点 P 到圆 O 的切线 ，弦 分弦 点 E，且 于（ ） A 3 B 4 C 3 D 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）上的点到其焦点的最小距离为 2，且渐近线方程为 y= x，则该双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 第 2 页（共 18 页） 7设函数 f（ x） = ， a=f（ 2）， b=f（ 2）， c=f（ 则（ ） A c b a B a c b C a b c D b a c 8已知函数 f（ x） =3，函数 g（ x） = ，则关于 x 的方程 gf（ x） a=0（ a 0）的实根最多有（ ） A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 10直线 y=圆（ x 2） 2+（ y+1） 2=4 相交于 A， B 两点，若 | 2 ，则 k 的取值范围是 11若从区间 0， 2中随机取出两个数 a 和 b，则关于 x 的一元二次方 程 ax+ 有实根，且满足 a2+4 的概率为 12若函数 f（ x） =x， f（ 1） =3，则 f（ 1）的值为 13定义在 R 上的函数 f（ x）既是偶函数又是周期函数，若 f（ x）的最小正周期是 ，且当 x 0， 时， f（ x） = f（ ）的值为 14已知 D 是 边 一点，若 = +2 ，其中 0 1，则 的值为 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， （ ）求 B； （ ）若 C= ， b=2，求 a 和 c 16某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次 A、 B 两种型号的车辆的载客量分别为 32 人和 48 人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500 元 /辆和 2000 元 /辆公司拟组建一个不超过 21 辆车的车队，并要求 B 种型号的车不多于 A 种型号车 5 辆若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于 800 人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备 A、 B 两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本 第 3 页（共 18 页） 17如图，在四棱锥 P ， 底面 ， ，C= （ 1）求证：平面 平面 （ 2）试在棱 确定一点 E，使截面 该几何体分成的两部分 体积比为 2： 1； （ 3）在（ 2）的条件下，求二面角 E P 的余弦值 18已知数列 ， ， ， +21=3n 2） （ ）证明：数列 等比数列； （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=1， + + ，若 n N*，使 43m 成立，求实数 m 的取值范围 19椭圆 C： + =1（ a b 0）的上顶点为 A， P（ ， ）是 C 上的一点，以 直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到直线 l 的距离之积等于 1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 20已知函数 f（ x） =（ （ ）当 a=2 时，求 f（ x）的单调递减区间； （ ）若函数 f（ x）在（ 1， 1上单调递增，求 a 的取值范围； （ ）函数 f（ x）是否可为 R 上的单调函数？若是，求出 a 的取值范围，若不是，说明理由 第 4 页（共 18 页） 2016 年天津市和平 区高考数学四模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设 a 为实数， i 是虚数单位，若 + 是实数，则 a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 复数的分母实数化，利用复数是实数，求出 a 的值即可 【解答】 解： + = + = + = + ， a 为实数， i 是虚数单位， + 是实数， 1 a=0， a=1， 故选： B 2已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 4， 7， B=2， 3， 6， 8，任取一个元素 a U，则 a （ A概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分 析】 先求出 A1， 4， 7，从而得到任取一个元素 a U，则基本事件总数 n=8，其中 a （ A含的基本事件个数 m=3，由此能求出 a （ A概率 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 4， 7， B=2， 3， 6， 8， A1， 3， 4， 71， 4， 5， 7=1， 4， 7， 任取一个元素 a U，则基本事件总数 n=8， 其中， a （ A含的基本事件个数 m=3， a （ A概率 p= 故选： D 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A 98 B 86 C 72 D 50 【考点】 程序框图 第 5 页（共 18 页） 【分析】 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当满足 k 12 时，用 S+2k 的值代替 S 得到新的 S 值，进入下一步判断，直到条件不满足时输出最后的 S 值，由此即可得到本题答案 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 S=0， k=1 满足条件 k 12， S=2， k=3 满足条件 k 12， S=8， k=5 满足条件 k 12， S=18， k=7 满足条件 k 12， S=32， k=9 满足条件 k 12， S=50， k=11 满足条件 k 12， S=72， k=13 不满足条件 k 12，退出循环，输出 S 的值为 72 故选： C 4命题 “ x R， x 1 0”的否定是（ ） A x R， x 1 0 B x R， x 1 0 C x R， x 1 0 D x R， x 1 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答 】 解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题 “ x R， x 1 0”的否定是： x R， x 1 0 故选： B 5如图，过圆 O 外一点 P 作一条直线与圆 O 交于 A， B 两点，若 ，点 P 到圆 O 的切线 ，弦 分弦 点 E，且 于（ ） A 3 B 4 C 3 D 【考点】 与圆有关的比例 线段 【分析】 根据切割线定理求出 长，再求出 长，再由平行线截得线段对应成比例，和相交弦定理，即可求出 长 【解答】 解：根据题意， A = =8， B 2=6； 又弦 分弦 E=3； 又 = = = ， 第 6 页（共 18 页） 又 E=B， 3， 故选： D 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）上的点到其焦点的最小距离为 2，且渐近线方程为 y= x，则该双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的性质结合双曲线渐近线的方程建立方程关系求出 a， b 的值即可得到结论 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）上的点到其焦点的最小距离为 2， c a=2，则 c=a+2， 渐近线方程为 y= x， = ，即 b= a， 则 a2= 即 a，则 c= a=a+2， 则 a=8， b= 8=6， 则双曲线的方程为 =1， 故选： A 7设函数 f（ x） = ， a=f（ 2）， b=f（ 2）， c=f（ 则（ ） A c b a B a c b C a b c D b a c 【考点】 分段函数的应用 第 7 页（共 18 页） 【分析】 根据分段函数的表达式，利用代入法分别求出 a， b， c 的值进行比较即可 【解答】 解 ：由题意得 a=f（ 2） =1+2=3， b=f（ 2） =21=2， c=f（ = = =6， 则 b a c， 故选： D 8已知函数 f（ x） =3，函数 g（ x） = ，则关于 x 的方程 gf（ x） a=0（ a 0）的实根最多有（ ） A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用换元法设 t=f（ x），则 g（ t） =a 分别作出两个函数的图象，根据 a 的取值确定t 的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可 【解答】 解：作出函数 f（ x）和 g（ x）的图象如图： 由 gf（ x） a=0（ a 0）得 gf（ x） =a，（ a 0） 设 t=f（ x），则 g（ t） =a，（ a 0） 由 y=g（ t）的图象知， 当 0 a 1 时，方程 g（ t） =a 有两个根 4 3，或 4 2， 由 t=f（ x）的图象知，当 4 3 时， t=f（ x）有 0 个根， 当 4 2 时， t=f（ x）有 0 个根， 此时方程 gf（ x） a=0（ a 0）有 0 个根， 当 a=1 时，方程 g（ t） =a 有两个根 3，或 ， 由 t=f（ x）的图象知，当 3 时， t=f（ x）有 0 个根， 当 时， t=f（ x）有 3 个根， 此时方程 gf（ x） a=0（ a 0）有 3 个根， 当 1 a 时，方程 g（ t） =a 有两个根 0 ，或 1， 由 t=f（ x）的图象知，当 0 时， t=f（ x）有 3 个根， 当 1 时， t=f（ x）有 3 个根， 此时方程 gf（ x） a=0（ a 0）有 3+3=6 个根， 当 a= 时，方程 g（ t） =a 有两个根 ，或 ， 由 t=f（ x）的图象知，当 时， t=f（ x）有 3 个根， 当 时， t=f（ x）有 3 个根， 此时方程 gf（ x） a=0（ a 0）有 3+3=6 个根 第 8 页（共 18 页） 当 a 时，方程 g（ t） =a 有 1 个根 1， 由 t=f（ x）的图象知，当 1 时， t=f（ x）有 3 或 2 个或 1 个根， 此时方程 gf（ x） a=0（ a 0）有 3 或 2 个或 1 个根， 综上方程 gf（ x） a=0（ a 0）的实根最多有 6 个根， 故 选： C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积为 16 第 9 页（共 18 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直利用体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为 直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直 该几何体的体积 = =16 故答案为： 16 10直线 y=圆（ x 2） 2+（ y+1） 2=4 相交于 A， B 两点，若 | 2 ，则 k 的取值范围是 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心直线 y=距离，由直线与圆相交的条件列出 不等式求出 k 的范围，结合条件和弦长公式列出不等式求出 【解答】 解：由题意得，圆心坐标（ 2， 1）、半径 r=2， 则圆心到直线 y=距离 d= 2，解得 k ， 所截得的弦 | 2 ， 2 =2 ， 化简得， 3k 0，解得 ， 综上可得， k 的取值范围是 ， 故答案为： 11若从区间 0， 2中随机取出两个数 a 和 b，则关于 x 的一元二次方程 ax+ 有实根，且满足 a2+4 的概率为 【考点】 几何概型 第 10 页（共 18 页） 【分析】 全部结果所构成的区域为 （ a， b） |0 a 2， 0 b 2，其 面积为 S=2 2=4，又构成事件的区域为 （ a， b） |0 a 2， 0 b 2， a b， a2+4，求出其面积，利用几何概型的个数求得 【解答】 解：全部结果所构成的区域为 （ a， b） |0 a 2， 0 b 2， 其面积为 S=2 2=4 关于 x 的一元二次方程 ax+ 有实根，则 a b，所以 所以又满足满足 a2+4 的区域为 （ a， b） |0 a 2， 0 b 2， a b， a2+4，如图，其面积为 S= ， 所以 从区间 0， 2中随机取出两个数 a 和 b，则关于 x 的一元二次方程 ax+ 有实根，且满足 a2+4 的概率为 ； 故答案为： 12若函数 f（ x） =x， f（ 1） =3，则 f（ 1）的值为 5 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，根据条件 f（ 1） =3，建立方程关系即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =x， f（ x） =41， f（ 1） =3， f（ 1） =4a+2b 1=3， 则 4a+2b=4， 则 f（ 1） = 4a 2b 1=（ 4a+2b） 1= 4 1= 5 故答案为： 5 第 11 页（共 18 页） 13定义在 R 上的函数 f（ x）既是偶函数又是周期函数，若 f（ x）的最小正周期是 ，且当 x 0， 时， f（ x） = f（ ）的值为 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 由题意利用函数的周期性偶函数，转化 f（ ）为 f（ ），即可求出它的值 【解答】 解：定义在 R 上的函数 f（ x）既是偶函数又是周期函数，若 f（ x）的最小正周期是 ，且当 x 0， 时， f（ x） = 所以 f（ ） =f（ ） =f（ ） = 故答案为： 14已知 D 是 边 一点，若 = +2 ，其中 0 1，则 的值为 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 根据 D 是 边 一点，设 ，（ 0 k 1），然后把 用表示即可 【解答】 解： D 是 边 一点，设 ，（ 0 k 1）则 ， 又 ， ， 2 = ， ， = +2 ， ， 解得： 或 （舍）， 故答案为： 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知 内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， （ ）求 B； （ ）若 C= ， b=2，求 a 和 c 【考点】 余弦定理；正弦定理 第 12 页（共 18 页） 【分析】 （ I）由 用正弦定理可得： =利用余弦定理可得： （ A= B C= ，由正弦定理可得： a= ，而 可得c= 【解答】 解：（ I）由 利用正弦定理可得： = 由余弦定理可得： = ， B （ 0， ）， B= （ A= B C= ，由正弦定理可得： a= = = ， 而 = + = c= =1+ 16某客运公司用 A， B 两种型号的车辆承担甲、乙两地的长途客运业务，每车每天往返一次 A、 B 两种型号的车辆的载客量分别为 32 人和 48 人，从甲地到乙地的营运成本依次为1500 元 /辆和 2000 元 /辆公司拟组建一个不超过 21 辆车的车队，并要求 B 种型号的车不多于 A 种 型号车 5 辆若每天从甲地运送到乙地的旅客不少于 800 人，为使公司从甲地到乙地的营运成本最小，应配备 A、 B 两种型号的车各多少辆？并求出最小营运成本 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 设 A 型号车 x 辆， B 型号车 y 辆，则目标函数为 z=1500x+2000y，列出约束条件，做出可行域，根据可行域寻找最优解位置 【解答】 解：设配备 A 种型号车 x 辆， B 种型号车 y 辆，运营成本为 z 元 则 ，即 目标函数为 z=1500x+2000y 作出约束条件表示的可行域如图所示： 第 13 页（共 18 页） 由 z=1500x+2000y 得 y= x+ 由可行域可知当直线 y= x+ 经过点 A 时，截距最小，即 z 最小 解方程组 得 A（ 7， 12） 500 7+2000 12=34500 答：应配备 A 型号车 7 辆， B 型号车 12 辆，运营成本最小，最小营运成本为 34500 元 17如图，在四棱锥 P ， 底面 ， ，C= （ 1）求证：平面 平面 （ 2）试在棱 确定一点 E，使截面 该几何体分成的两部分 体积比为 2： 1； （ 3）在（ 2）的条件下，求二面 角 E P 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 此能证明平面 平面 （ 2）作 F 点，则 平面 EF=h，由 ： 1，解得h= ，从而得到 E 为 中点 （ 3）连结 于点 O，连结 导出 而 二面角 E B 的平面角，由二面角 E 二面角 E P 互余，能求出二面角 E P 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 A=A， 平面 面 平面 平面 第 14 页（共 18 页） 解：（ 2）作 F 点， 在 ， 平面 设 EF=h， =1， ， 则 ， = = ， 由 ： 1，得（ ）： =2： 1，解得 h= ， E 为 中点 （ 3）连结 于点 O，连结 由（ 2）知 平面 正方形， F=F， 平面 二面角 E B 的平面角， 平面 平面 平面 二面角 E 二面角 E P 互余， 设二面角 E P 的平面角为 ， 则 在 ， ， ， ， 二面角 E P 的余弦值为 18已知数列 ， ， ， +21=3n 2） （ ）证明：数列 等比数列； （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=1， + + ，若 n N*，使 43m 成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （ I）由 +21=3n 2），变形为 （ 1）， ，利用等比数列的定义即可证明 （ （ I）可得： n，利用 “累加求和 ”方法、等比数列的求和公式即可得出 （ bn=1=2n 1，可得 = = 利用 “裂项求和 ”方法可得 利用数列的单调性、不等式的解法即可得出 【解答】 （ I）证明： +21=3n 2）， （ 1）， ， 数列 等比数列，首项为 2，公比为 2 （ ：由（ I）可得： n， 1） +（ 1 2） +（ +2n 1+2n 2+2+2 = +1=2n （ ： bn=1=2n 1， = = + + = + =1 ， 若 n N*，使 43m 成立， 1 43m，解得： m 1 实数 m 的取值范围是 19椭圆 C： + =1（ a b 0）的上顶点为 A， P（ ， ）是 C 上的一点，以 直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是否存在两个定点，它们到直线 l 的距离之积等于 1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题设可得 c+ =0，又点 P 在椭圆 C 上，可 得 ，又 b2+c2=， 联立解得 c， 可得解 第 16 页（共 18 页） （ 2）设动直线 l 的方程为 y=kx+m，代入椭圆方程消去 y，整理得（ 2） 2=0（），由 =0，得 ，假设存在 1， 0）， 2， 0）满足题设，则由=| |=1 对任意的实数 k 恒成立由 即可求出这两个定点的坐标 【解答】 解：（ 1） F（ c， 0）， A（ 0， b），由题设可知 ，得 c+ =0 又点 P 在椭圆 C 上， b2+c2= 联立解得， c=1， 故所求椭圆的方程为 + （ 2）设动直线 l 的方程为 y=kx+m，代入椭圆方程，消去 y，整理， 得（ 2） 2=0（） 方程（）有且只有一个实根，又 2 0， 所以 =0，得 假设存在 1， 0）， 2， 0）满足题设，则由=| |=1 对任意的实数 k 恒成立 所以， 解得， 或 ， 所以，存在两个定点 1， 0）， 1， 0），它们恰好是椭圆的两个焦点 20已知函数 f（ x） =（ （ ）当 a=2 时，求 f（ x）的单调递减区间； （ ）若函数 f（ x）在（ 1， 1上单调递增，求 a 的取值范围； （ ）函数 f（ x）是否可为 R 上的单调函数？若是，求出 a 的取值范围，若不是，说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）当 a=2 时，求