第05讲图形认识初步、直角坐标系(教师版).doc

第五讲 图形认识初步、平面直角坐标系知识构架角几何基础初步图形认识初步直线、射线、线段平面直角坐标系基础概念坐标方法的简单运用角的度量角的比较与计算夯实基础知识点一 图形认识初步直线、射线、线段1 点、线、面的关系：（1） 点动成线、线动成面、面动成体.（2） 点与直线的关系：点在直线上；点在直线外.2 直线、射线、线段的概念（）（1） 在直线的基础上定义射线、线段；直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点. 直线上两点间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点.（2） 在线段的基础上定义直线、射线.把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线.3 两个重要公理（）(1) 经过两点有一条直线，并且只有一直线，也称为“两点确定一条直线”.(2) 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”.4 两点之间的距离：连接两点之间线段的长度.（）5 表示方法（）(1) 我们经常用一个大写的英文字母表示点：A，B，C，D(2) 直线的表示方法 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB，如下图（1）也可以写作直线BA. 用一个小写字母来表示，如直线l，如上图（2）.注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序.(3) 射线的表示方法：用两个大写字母来表示第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点如射线OA，如图2(1)，但不能写作射线A0用一个小写字母来表示，如射线l，如图2(2) 图2注意：10在射线的表示前面必须加上“射线”二字.20用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前.(4) 线段的表示方法： 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图3(1)，也可以写作线段BA也可以用一个小写字母来表示：如线段l，如图3(2) 图3注意：1在线段的表示前面必须加上“线段”二字.2用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序.6 直线、射线、线段的主要区别（）注意：直线、射线和线段的联系和区别.7 中点：把线段分成相等两条线段的点叫做这个线段的中点（）【例题1】 （）如图4所示根据要求作图：(1)连结AB；(2)作射线AC；(3)作直线BC 图4 图5 解如图5所示 本题重点考查对直线、射线、线段的理解注意连结AB表示“作线段AB”【例题2】 （）平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线? 解决本题时需要注意分类：第一种情况，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线，如图6(1)第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则可以画四条直线，如图6(2)第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线，如图6(3)图6 解： l或4或6【例题3】 （）如图7，已知线段AB=lOcm，C是线段AB上任意一点，M是AC的中点，N是BC的中点，求MN的长度 图7 解 M是AC的中点MCACN是BC的中点CNBCMC+CN=AC+BCMC+CN=MN，AC+BC=ABMN=ABAB=10cmMN=105cm答：线段MN的长度为5cm. (1)对于很多同学来讲，此题是道极其简单的题目，直接用算式“1025”便完成了此题，实际上“l02=5”这个算式便是解决该问题的核心，前面的大部分文字及推理过程都是为了说 明“1025”为什么是正确的这些文字说理就是我们学习几何的基本功 (2)做几何题不仅要注意题目中的已知条件“两个中点”，同时也要注意图形自身存在的条件：“整体和部分之间的关系”即“MN=MC+CN，ABAC+BC”(3)几何语言是丰富多彩的，关于M是AC的中点，我们可以得到五个结论：AM=CM，AMAC，CM=AC，AC=2AM，AC=2CM我们应该学会从中选择一个对于解决该问题有利的结论【例题4】 （）如图8，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由.图8 图9 解应该建在AC、BD的交点P上，如图9所示首先我们使购物中心到A和C的距离之和最小，那么购物中心就应该建在AC线段的某点处这是因为如果点P不在AC上，根据两点之间，线段最短，可以知道PA+PCAC同时我们也能看出，购物中心建在线段AC上的任意一点，都可以保证购物中心到A、C距离之和最小 同理，购物中心若到B、D之和距离最小，也必须建在线段BD上，这样购物中心就必须建在AC、BD的交点上中考要求：在了解直线概念的基础上，理解射线和线段的概念，并能理解它们的区别和联系.通过直线、射线、线段概念的学习，培养几何想象能力和观察能力，用运动的观点看待几何图形.本节的重点与难点：直线、射线、线段的概念是重点.对直线的无限延伸性的理解是难点1. 下列叙述正确的是（C）A可以画一条长5cm的直线B一根拉紧的线是一条直线C直线AB经过C点D直线AB与直线BA是不同的直线2. 已知平面上任意四点A、B、C、D过其中每两点画一条直线，最多可以画（A ）A6条B4条C1条D6条，4条或1条3. 点C在线段AB上，现有4个等式：（1）AC=BC，（2）BC=AB，（3）AB=2AC，(4) AB=2CB，其中能表示点C是线段AB的中点的有（C）A1个B2个C3个D4 个4. 线段AB延长到C，使AB=AC延长BC到D，使CD=BC，若AD=70cm，则AB的长为（B）A20cm B28cm C36cm D40cm角的度量（）1 角的定义（）定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.由角的定义可知：（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2） 顶点是这两条边的交点；（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的.2 角的表示方法（）利用三个大写字母来表示，如图10 图10注意顶点一定要写在中间也可记为BOA，但不能写成BAO或ABO等利用一个大写字母来表示，如图11 图11注意用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个用数字来表示角，如图12 图12用希腊字母来表示角，如图13图133 角度之间的关系（）1周角=360 1平角180 1直角901周角2平角 1平角2直角4 单位换算（） l度60分(160) 1分=60秒(160)【例题5】 （）在图14中，角的表示方法正确的是 ( )AA BB CC DD本题考查用一个大写英文字母表示角，这种表示角的方法相对于三个图14大写英文字母来说，简单一些，但是要注意，以该字母为顶点的角必须只有一个故本题选B； B【例题6】 （）计算题(1)5149+2421(2)3941-2445(3)2313423(4)12134 解(1)5149+242175707610(2)3941-244538101-24451456(3)231342369416(4)121343315 度分秒计算过程中是“逢60进1”，在减法运算中是“借1当60”，在计算乘法时，有时稍显得繁杂一点，我们可以采用如下方式：做除法运算时，也需要注意单位的转化【例题7】 （）(1)3243 (2)654312 解 (1)首先在第一个空上填上32，然后计算(3243-32)0.43，0.430.436025.8在第二个空填上25.8上的整数25，(25.825)0.8，0.860=48，所以在第三个空上填上48因此得到答案：3243322548(2)这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，首先把12化为分，即12600.2，43+0.243.2再把分化成度43.2600.72所以65431265.721. 如图15，下列角除了用三个大写字母表示外，还可以用一个大写字母表示的是 ( C )ABDC BADCCABC DACB 图152. 2015的一半是 ( D )A10 B107C108 D107303. (1)7742+344511227 ；(2)10818-56235155 ；(3)180-(3454+2133)12333 角的比较与计算（）1. 余角和补角（）如果两个角的和等于90就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角如果两个角的和等于180，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2. 两个基本定理（）等角的补角相等(同角的补角相等)等角的余角相等(同角的余角相等)3. 两个补充内容（）邻补角，如图16，由一个角的一边及另一边的反向延长线构成的角是原角的邻补角 图16 图17对顶角：如图17，由角的两边的反向延长线构成的角是原角的对顶角：如1和2，因为1和2都和3是邻补角，根据同角的补角相等，可知12，因此可得到对顶角相等4. 角平分线（）从个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线如图18，12，则OC就是AOB的角平分线图18：5. 方向角（）以正北、正南的方向为基准如图19指向北偏东30，图20指向南偏东65图19 图20 【例题8】 （）如图21所示，已知A0B90，BOC40，OD是AOC的平分线，求BOD 解 AOB=90，BOC=40AOCAOB一BOC90一4050 OD是AOC的平分线 COD =A0C（AOC） =50=25BOD=BOC+COD=40+25=65 图21【例题9】 （）一个33的正方形如图22所示，其中1、2、39九个角，你能想出一个巧妙的方法求出这九个角的和吗? 图223、5、7都是一个直角等腰三角形的锐角，所以3=5=7=45把这个图形沿着一条对角线对折，由对称性可知1=因为+9=90，所以1+9=90同理可知2+6=90，4+8=90 解 3=5=7=45，1+9=2+6=4+8=90 1+2+9 =(1+9)+(2+6)+(4+8)+(3+5+7) =390+345 =405【例题10】 （）如图23，指出OA表示什么方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：(1)南偏东60；(2)北偏西70；(3)西南方向(即南偏西45)解：OA表示北偏东40，如图24 图23 图24中考要求：理解角的两种定义及相关概念，熟练掌握角的四种表示方法，会用含方向角的射线表示方向，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上.本节的重点与难点：角的两种定义及表示法，会用含方向角的射线表示方向.1. 如图25，AOC40，B0D50，0M平分AOC，0N平分BOD，则MON是( A )A135 B140 C160 D165图252. 如图26，已知OAOB，OCOD，BOCAOD，则BOC ( A )A225 B305 C45 D165 图263. 如果1和2互补，且1：25：4，则1-220.4. 一天放学后，小明从学校（A）先沿着正东方向的马路走100米，然后走一段东北方向的小路100米，最后又走了一段西北方向的小路100米到家.（1）请画出小明这天回家的路线图（比例尺为15000）；（2）请测量出小明家在学校的什么方向上？见图27知识点二 平面直角坐标系.平面直角坐标系1 有序数对（）图27用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对（ordered pair），记作.利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置. 如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）（4，5）（5，5）（5，4）（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？ 图中确定点用前一个数表示大街，后一个数表示大道. 解：其他的路径可以是：（3，5）（4，5）（4，4）（5，4）（5，3）；（3，5）（4，5）（4，4）（4，3）（5，3）；（3，5）（3，4）（4，4）（5，4）（5，3）；（3，5）（3，4）（4，4）（4，3）（5，3）；（3，5）（3，4）（3，3）（4，3）（5，3）；6大道5大道A4大道3大道B2大道1大道1街2街3街4街5街6街2 坐标轴（）在平面内画两条互相垂直，原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点3 象限（）在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成图28所示的、四个区域，分别称第一、二、三、四象限.注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限图28 图294 点的坐标的意义（）如图29中的点P，从点P分别向X轴和Y轴作垂线，垂足分别为M和N，这时点M在x轴上对应的数称为点P的横坐标(如图中点P的横坐标为3)，点N在y轴上对应的数称为点P的纵坐标(如图中点P的纵坐标为2)，依次写出P的横、纵坐标得到一对有序实数对如(3，2)，称为点P的坐标，点P可记作(3，2)5 坐标平面内的点与有序实数一一对应（）数轴上的点与实数是一一对应的类似地，对于平面内一点M，都有惟一的一对有序实数对(x，y)和它对应，对于任意一对有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有惟一的点M和它对应，即坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的6 坐标平面内点的位置特征（）第一象限(+，+)，第二象限(-，+)，第三象限(-，-)，第四象限(+，-)；x轴上(x，0)，y轴上(0，y)，原点(0，0)；一、三象限角平分线上(m，m)，二、四象限角平分线上(m，-m)7 对称点（）点P(m，n)关于原点的对称点为Pl(-m，-n)，关于x轴的对称点为P2(m，-n)，关于y轴的对称点为P3(-m，n)8 平面内的点到坐标轴的距离（）平面内的点P(x，y)到x轴的距离为，到y轴的距离为9 平行于X轴或Y轴的直线（）平行于x轴的直线上的不同点，横坐标不同，纵坐标相等，直线上两点间的距离等于其横坐标之差的绝对值；平行于y轴的直线上的不同点，横坐标相等，纵坐标不同，直线上两点间的距离等于其纵坐标之差的绝对值10 如何在平面直角坐标系中画出已知点（）已知平面直角坐标系内一点的坐标，例如点P为(-4，1)，只需在x轴上找出表示-4的点，再在y轴上找出表示1的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A【例题11】 （）写出图30中A、B、C、D点的坐标 图30 解 A(1，2)、 B(2，1)、 C(-2，1)、 D(-l，-2) A、B两点是坐标平面内不同的两点，它们的坐标也不相同，A(1，2)与B(2，1)是两个不同的有序实数对，不能写错顺序【例题12】 （）已知点P(-1，b)在第二象限，求点Q(-b，1)所在象限 解由点P在第二象限，可知b0，所以-b0故点Q(-b，1)也在第二象限 由点P在第二象限可确定b的取值范围，再进一步确定Q点的坐标【例题13】 （）已知点A与点B(1，-6)关于Y轴对称，求点A关于原点的对称点C的坐标 解因为点A与点B(1，-6)关于y轴对称，所以点A的坐标为(-1，-6)又因为点C和点A关于原点对称，所以C点坐标为(1，6) 抓住对称点的坐标特征是解决此类问题的关键【例题14】 （）已知A(3，2)，ABX轴，且AB=4，求B点的坐标 解因为ABX轴，所以B点的纵坐标为2，又因为AB=4，所以B点的横坐标为3+4或3-4，即7或-l，所以点B的坐标为(7，2)或(-l，2) 当题目中已知两点间距离时，要注意求得的两种情况是否都适合题意【例题15】 （）若点A(-，a)在第二象限的角平分线上，求a的值. 解因为点A在第二象限的角平分线上，所以a=-(-)，即a=. 抓住特殊点的坐标特征是解决此类问题的关键1. 点A(-3，4)在第二象限；若点B(a，b)在第三象限，则点C(-a+1，3b-5)在第四象限2. 已知点P在第四象限，且点P到x轴、y轴的距离分别是4、3，则点P的坐标为（3，4）3. 若点P(x，y)的坐标满足xy=0，则点P在 ( D )A原点 Bx轴上 Cy轴上 D坐标轴上4. 在平面直角坐标系中描出下列各点:A(1，2)、B(-2，3)、C(3，-4)、D(-1，-2)、E(2，3)、F(3，4)、M(-2，0)、N(0，-2)、P(3，0)、Q(0，3)其中A与D，B与E，C与F各关于什么对称?哪些点在x轴上，哪些点在y轴上?答：点N、Q在y轴上.5. 点P(-a2-1，b2)到x轴的距离为b2，到y轴的距离为a2+16. 已知点M(-3，b)，点N(a，5)(1)若M、N两点都在第一、三象限角平分线上，则a= 5，b= -3 (2)若M、N两点都在第二、四象限角平分线上，则a= -5，b= 3 (3)若直线MNx轴，则a -3，b =5 (4)若直线MNY轴，则a =-3，b 57. 已知点A(x，4-y)，点B(1-y，2x)关于y轴对称，求的值解：28. 已知直线过A(a，0)和B(0，-5)两点，且直线AB与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于10，求a的值解：a=4 （注意：画图解答） 图319. 如果将点A(1，y)先沿与y轴平行的方向向上平移5个单位，到达Al，再作A1关于y轴的轴对称变换到A2，再作A2关于原点的中心对称变换到A3，再将A3沿与Y轴平行的方向向上平移1个单位，就与点A重合了，试求出A点的坐标解：A的坐标为（1，2）坐标方法的简单运用1 建立坐标系，正确标注坐标系内的不同位置（）(1)根据实际问题背景建立坐标系时，通常选取一个适当的点为原点，水平方向为x轴，垂直方向为y轴，并确定它们的正方向 (2)在坐标平面内标注不同地点的位置时，通常根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度，再根据坐标的意义确定各个地点的坐标，从而准确地描述其位置2 坐标系中点的移动（） (1)在坐标系中，点的左、右平移只会引起其横坐标的变化，而纵坐标不变：将点(x，y)向右(或左)平移a(a0)个单位长度，平移后的点的坐标为(x+a，y)(或(x-a，y) (2)在坐标系中，点的上、下平移只会引起其纵坐标的变化，而横坐标不变：将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，平移后的点的坐标为(x，y+b)(或(x，y-b) (3)在坐标系中，点的平移可引起图形的平移如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度【例题16】 （）如图32，这是一个体操馆的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，写出各个项目训练场地的位置 图32 解以自由操、双杠所在直线为x轴，取向右的方向为正方向；以吊环、国旗杆所在直线为y轴，取向上的方向为正方向建立坐标系，则各个项目训练场地的位置可用坐标表示如下：国旗杆A(0，3)，自由操B(-5，0)，双杠C(4，0)，吊环D(0，-4)，鞍马E(-4，-3)，平衡木F(5，-4)，单杠G(5，-2)，跳马H(2，-1)，高低杠J(5，2) 在选取坐标系中，x轴、y轴、原点中的任两个元素一旦确定，第三个元素随之确定，所以只需确定三个元素中的两个即可另外，在选取坐标系时，应尽可能使尽可能多的点落在坐标轴上，这样可使点的坐标相对简单比如本题中可选取G、F、J，所在直线为y轴如果选取的坐标系不同，则点的坐标会随之改变【例题17】 （）如图33中的AlBlCl，ABC2是ACB经过怎样的运动变化得到的?写出变化后各三角形顶点的坐标 解AlBlCl可由ABC沿y轴正向平移2个单位得到，其顶点坐标分别为，.ABC2与ABC关于x轴对称，只需做出C关于x轴的对称点C2即可，其顶点坐标分别为， （1）观察图形的变化过程，只需抓住图形上的特征点的变化情况即可例如本题中可由A点的变化情况确定图形的变化情况（2）轴对称是图形的另一种变化形式，其规律是： 图33点P(x，y)关于x轴的对称点是Pl(x，-y)；点P(x，y)关于y轴的对称点是P2(-x，y)反之亦成立，即(x ，y)和(x，-y)关于x轴对称，(x，y)和(-x，y)关于y轴对称需要注意的是，对称轴上的点与自身对称，例如本题中的点A和点B中考要求：正确理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念.认识并画出平面直角坐标系，能在给定的直角坐标系中有点的位置写出它的坐标.本节的重点与难点：象限或坐标轴上的点的坐标的特点，求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标；理解平面内的点与有序实数对之间的对应关系.1. 夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图34所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，A、B、C、D分别是四座农舍，分别写出四座农舍的坐标目的地位于连结第一与第三座农舍的直线AC和连结第二与第四座农舍的直线BD的交点请你在图中画出目的地的位置A(1，1) B(-，3) C(2，4) D(0，2)图34 图352. 如图35，AlBlCl是由ABC平移后得到的，ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为Pl(x0+3，y0+1)，已知A为(-1，1)，B为(-2，-2)，C为(0，0)，求：A1、Bl、Cl的坐标并指明其平移过程 解：由点P(x0，y0)到点Pl(x0+3，y0+1)可知，A1 BlCl是由ABC先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的，也可看作ABC先向上平移1个单位再向右平移3个单位得到的.A1、Bl、Cl的坐标分别为（13，11）、（23，21）（03，01）即A(2，2)、B (1，-1)、C(3，1).3. 如图36，ABO的顶点坐标分别为A(1，2)、B(-3，-)、O(0，0)，且直线AB和x轴的交点D的坐标为(-2，0)，求：AOB的面积 图36 答：AOB的面积为.4. 在网格(图37)中按要求画出图形，并回答问题： 图37 (1) 先画出ABC向下平移7格后的AlBlCl，再画出ABC以O为旋转中心，设顺时针方向旋转90后的A2B2C2； (2) 在与同学交流时，你打算如何描述(1)中所画的A2B2C2的位置? 答案不惟一.可建立适当坐标系，利用A2B2C2的坐标来描述其位置.附加拓展1、在平面内，能准确确定某个位置，需要_个数据.坐标平面内的每个点与实数对存在一一对应的关系. 在平面内要准确地确定某个位置，只需将点所对应的两个坐标轴的位置确定了即可. 两（个）2、课间操时，小华、小军、小刚的位置如下图38，小华对小刚说：如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成_.图38 图39 3、如图39：小刚画的一张脸，他对妹妹说：“如果我用表示左眼，用表示右眼，则嘴的位置可以表示为_.2、3题考查的知识点均是在给定的直角坐标系内确定点的表示. 4、若点P在轴上，且点P到原点的距离为，则点P的坐标为_. 1）坐标轴上点的表示； 2）两点间的距离. 或易漏掉一解.5、若是轴上的点，则_坐标轴上点的表示：轴上的点的纵坐标都是0，轴上的点的横坐标都是0. 解：，.6、矩形ABCD中，AB=5，BC=2，以矩形的对称中心为原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系，用点的坐标表示各顶点的坐标为：_正确建立直角坐标系，然后再确定点的坐标表示.注意：此题的答案不唯一.，或者 ，7、已知等腰三角形ABC，AB=AC，其中B点坐标为，C点坐标为，且顶点A到边BC的高为3，则A点坐标为_根据给出的点的坐标正确地画出直角坐标系，然后再确定所求点的坐标.8、已知点，在平面直角坐标系中，画出，并根据图形判断 形状求出的面积.根据给出的点的坐标正确地画出直角坐标系.如右图，通过观察，可是是直角三角形.9、线段CD是由线段AB平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为：_坐标平移问题. 因为线段CD是由线段AB平移得到的，而且点的对应点为，这说明了坐标原点相对移至点，所以点的对应点D的坐标为：.能力检测1. 在平面直角坐标系中，点A（a，b）关于y轴对称点B的坐标是 （ D ）A(b，a) B(a，-b) C(-a，-b) D(-a，b)2. 点A(a，b)到x轴、y轴的距离和为 ( C )Aa+b Ba+b Ca+b Da-b3. 过A(4，-2)和B(-2，-2)两点的直线一定 ( B )A垂直于x轴 B平行于x轴C与y轴相交但不平行于x轴 D与x轴、y轴