2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教B版.docx

2.2.1双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)1.通过对双曲线定义的学习及标准方程的推导，培养学生的逻辑推理素养.2.借助待定系数法求双曲线的标准方程，提升学生的数学运算素养.1双曲线的定义2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系式c2a2b2思考1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？提示双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？提示焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上1若点M在双曲线1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()A2 B4C8 D12B双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.2双曲线1的焦距为()A3 B4C3D4D解a210，b22，c2a2b212，c2，2c4，故选D.3已知双曲线中的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_1或1b2c2a2492524，双曲线方程为1或1.双曲线定义的应用探究问题1如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？提示若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线2若|MF1|MF2|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？提示(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.【例1】已知F1，F2是双曲线1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积思路探究根据双曲线的定义及余弦定理求出F1PF2即可解由1得a3，b4，c5.由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得cosF1PF20，F1PF290，S|PF1|PF2|16.1(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离解由1得a3，b4，c5，由双曲线定义得|PF1|PF2|6，即|PF1|PF2|6，|PF2|106，点P到焦点F2的距离为4或16.2(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF2|25”，其他条件不变，试求F1PF2的面积解由1得a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k.由|PF2|PF1|6可得k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得cosF1PF2，sinF1PF2，S|PF1|PF2|sinF1PF24108.双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a.(2)余弦公式：4c2rr2r1r2cos .(3)面积公式：Sr1r2sin .一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)思路探究先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b20，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0且ab()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab()提示(1)差的绝对值是常数，且02a|F1F2|才是双曲线(2)a与b大小关系不定，a和b相等时叫等轴双曲线(3)2“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c0，则方程不表示双曲线3若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A(1,2) B(2，) C(，2)D(2,2)C由题意，方程可化为3，解得：m2.4已知动圆M与圆C1：(x3)2y29外切且与圆C2：(x3)2y21内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_1(x2)设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1.相减得|MC1|MC2|4.又因为C1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|64，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3.所以b25，所求的轨迹方程为1(x2)5根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；(2)与