2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步7简单几何体的再认识7.3球学案北师大版必修2.docx

73球学 习 目 标核 心 素 养1.了解球的体积和表面积公式(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题. (难点)1.通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.2.通过求球的体积和表面积提升数学运算素养.1球的体积球的半径为R，那么它的体积V球R3.2球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S球4R2.思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形1如果两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A827B23C49 D29C827，rR23，S1S249.2如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是()A32 B23C12 D11D设球的半径为R，则球的表面积S表4R2，圆柱的侧面积S侧2R2R4R2，所以S表S侧11.3将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. B.C. D.A由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所以V球13.4用一个平面截半径为25 cm的球，截面圆的面积是225 cm2，则球心到截面的距离为_ cm.20由题意知，球的半径R25(cm)，易知截面圆的半径r15(cm)，则球心到截面的距离d20(cm)球的体积与表面积【例1】(1)球的体积是，则此球的表面积是()A12B16C. D.(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是_(1)B(2)(1)R3，故R2，球的表面积为4R216.(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得(2R)2hR3，Rh，r2h，lh，S圆锥侧rl2hh2h2，S球4R24h2，.求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.1(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；(2)已知球的体积为，求它的表面积解(1)因为直径为2，所以半径R1，所以表面积S球4R24124，体积V球R313.(2)因为V球R3，所以R327，R3，所以S球43236.球的表面积及体积的应用【例2】一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决解设PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后水面高PHx，如图所示ACr，PC3r，以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3，V球r3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.而V水V圆锥V球，即x33r3r3，xr.故球取出后水面的高为r.1画出截面图是解答本题的关键2球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算2圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球23，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V52h，所以52h，所以h(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降 cm.与球有关的切、接问题探究问题1一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为13.2长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？提示：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R，所以S球4R250.【例3】已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的直径为()A.B2C13D3C如图，由已知条件可知，当ABAC时，BC中点D为ABC外接圆的圆心，因为三棱柱是直三棱柱，所以DE中点M为球心，又DEAA112，设ABC外接圆半径为r，则r.即EC1.球O的半径R|MC1|.故球的直径为13.1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3. 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解(其R为球的半径)1球的体积和表面积公式设球的半径为R(1)体积公式：VR3.(2)表面积公式：S4R2.2用一个平面截球所得截面的特征(1)用一个平面去截球，截面是圆面(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r.3常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算1思考辨析(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍()(2)两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面()答案(1)(2)(3)2若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A.B1C2D3D由题设球半径为r，则4r2r3，可得r3，故选D.3表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切，则这个多面体的体积为()A.Q BQC.Q D2QC4R264R4，VQRQ，故选C.4某几何体的