非线性振动与混沌简介1

1 非线性振动系统及混沌的基本概念 概述 混沌的发现 1961年冬的一天 美国麻省理工学院的气象学家爱德华 洛仑兹在计算机上模拟天气情况 他的真空管计算机速度约每秒做6次乘法 经简化后的洛仑兹气象模型为 蝴蝶效应 非线性系统的运动现象 2 为省时间 洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算 指望重复出现上次计算的后半段结果 然后再接下去往前算 然而经过一段重复后 计算机却偏离了上次的结果 他第二次输入时去掉了小数点后面三位 混沌的初值敏感性 3 蝴蝶效应 洛仑兹吸引子 奇怪吸引子 4 非线性振动系统及混沌的基本概念 一 任意摆角情况下单摆的运动 线性系统 数学定义 若 则 满足 是线性的 为非线性 则 自由单摆的运动方程 线性近似 当 很小 sin 若 按级数展开 取第一项而得 5 若 为任意值 故自由单摆为非线性振动系统 令 以及 则上式变为 而 sin 6 方程解的非唯一性 1 设初始条件为 0 0 0 运动分析 在最高点 0 系统非稳定平衡点 可能出现三种运动情况 a 停留在该顶点 尔后径直下落 b 调头沿原路返回 c 越过该顶点继续向前运动 则其解为 7 则解为 类似地 当令 0 0 最高点 非稳平衡 运动非唯一性 对于一般单摆的运动方程 受周期性驱动力作用的阻尼单摆 一个复杂的非线性系统 其解更为复杂 结论 对于一个非线性系统 在确定的初始条件下 其解可能具有不可预测的随机性 8 二 确定性系统中的内在随机性 在一个确定性的系统中 由于其本身的非线性性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在随机性 例如 上述非线性单摆的运动 支配整个系统运动的因素是严格确定的 具有确定的运动方程 系统完全不存在随机力的作用 然而经过时间的演化 在这种确定性系统中出现了随机行为 产生出完全不可预测的 极为复杂的结果来 最后得到一条完全随机的运动轨道 9 三 混沌的基本概念 1 混沌定义 物理学上 在确定性系统中所表现出来的内在随机行为 是一个决定论的系统中所存在的运动的不可预测性 2 相图 描述系统运动的各状态参量之间的关系图 例 自由单摆 简谐振动 简谐振动是周期运动 每隔一定的时间运动又复原 所以相轨线为一闭合曲线 10 3 自治系统与非自治系统 不显含时间t的动力学方程称为自治系统 而显含时间t的动力学方程称为非自治系统 由线性单摆方程可得 不显含t 在二维相空间中为自治系统 由受阻力和周期策动力作用的非线性单摆方程可得 角谐振动 显含t 在二维相空间中为非自治系统 11 自治系统的相空间与相轨线 引入新变量 t 可将方程化为三维相空间中的自治系统 一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交 即通过每一相点的轨线是唯一的 而非自治系统中相轨线则会相交 如上述系统在二维相平面上相轨线有相交情况 12 4 彭加勒截面图 若沿 方向截取一系列截面 则根据该自治系统的性质 每个截面上只有一个交点 即相轨线一次性的穿过每一个截面 因 若以2 为周长 将相空间弯成一圆环 则在该环形相空间上所取的任一固定截面称为彭加勒截面 13 相轨线在彭加勒截面上的交点的集合就称为彭加勒截面图 通过分析相轨线在彭加勒截面上的交点的分布规律 就可了解到在长时间周期性的演变过程中系统的运动规律 14 讨论 单周期振动 每隔2 运动状态复原 即相轨线每次都从同一点穿过彭加勒截面 在彭加勒截面图上只有一个不动点 运动无周期性 则彭加勒截面图上有无穷多个点 倍周期的运动 彭加勒截面图上有两个不动点 15 四 单摆与混沌 单摆方程 按泰勒级数 适当代换 得到非线性振动方程 杜芬方程 取前两项近似 运动的演变 讨论 1 线性近似下的单摆运动 16 三种情况 a f 0 b f 0 c 0 相应得出简谐振动 阻尼和受迫振动方程 令 0 退化为线性方程 阻尼振动的相轨线 从外向内收缩的螺旋线 最终停止于中点 不动点吸引子 受迫振动 经过暂态之后趋于一稳定的闭合圈 周期吸引子或极限环 简谐振动的相轨线 闭合圈 周期环 17 方程代表复杂的非线性振动系统 2 非线性近似下的单摆运动混沌 为简化问题 在四个参数中只改变f的值 数值模拟发现 随着f的逐渐增大 该振动系统产生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔 再进入混沌的演化过程 从周期运动到倍周期分岔 当f 0 8 系统的运动仍是一个简单的周期运动 18 当f 0 89 其结果为一个二倍周期的运动 即出现了倍周期分岔 说明 图中看上去的每一条曲线实际上是完全重合的两条曲线 它们的初始值略有差异 a x0 1 0 0 b x0 1 001 0 0 001 结论 初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响 或者说周期运动对初值不敏感 混沌运动 继续增大f 当 1 3 随机性运动取代了周期性运动 表明系统已进入混沌状态 19 注意 图 a 中的两条运动曲线的初值分别为x0 1 0 0和x0 1 00001 0 0 00001 误差仅在小数点后面第五位上 而给运动带来的差别正可谓 差之毫厘 失之千里 处于混沌状态时 系统的行为对于初值十分敏感 称这一特性为混沌的初值敏感性 相图 b 反映出混沌运动的随机性 即相轨道 运动状态 完全不可预测 运动的随机性 蝴蝶效应 20 混沌的内在规律性 混沌吸引子 图 a 中两条曲线的运动完全各异 但它们的彭加勒截面图 c 和 d 却又是完全相同的 把混沌的相轨线在彭加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子 混沌吸引子是非线性耗散系统混沌的特征 表明耗散系统演化的归宿 代表混沌行为的全局特征 混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性 21 结论 然而混沌的全局特征 混沌吸引子却具有不依赖于初值的 确定的规则 貌似随机的混沌运动 其长期的演化行为遵从确定的规律 混沌运动的内在规律性 这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志 初值悬殊的三个吸引子 混沌行为具有极为敏感的初值依赖性 22 如继续增大f 当f 1 53 则出现一个三倍周期的运动 周期三窗口 当f 1 75时 系统又再次进入混沌状态 周期窗口 在混沌状态中又复现的周期性运动 称为混沌区中的周期窗口 23 五 混沌的演化 内部结构和普适性 利用最简单的非线性方程作进一步分析 抛物线方程 得抛物线形迭代方程 令 在整个区间取值迭代便得出由周期运动到倍周期分岔 再进入混沌状态的整个演化过程 1 混沌的演化 通向混沌的道路 24 倍周期分岔序列 1 2 4 8 2n 当n 则解的数目 意味着系统已进入混沌状态 将混沌开始时对应的 记为 1 40115518909205 2 混沌区的结构 a 窗口 在混沌区中重又出现的周期性运动 窗口中包含着与整体完全相似的结构 周期三窗口 通向混沌的其它道路 准周期道路 平衡态 周期 准周期 混沌 阵发混沌道路 25 1 框内部分放大得下页图 26 框内再放大得下页图 2 27 3 28 1 2 3 混沌内部的自相似结构 29 看似混乱的混沌体系中 包含着丰富有序的内部结构 任何局部的小区域都包含着整体的信息 具有与整体完全相似的规律 在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构称为自相似性 从拓扑空间上来讲 自相似结构的维数往往不是整数维 而是分数维的 也就是具有分形的性质 b 自相似结构 混沌带的合并 从逆着混沌演化的方向 可找到混沌带合并的规律 30 c 普适性 若将第n倍周期分岔 或混沌带合并 时对应的参数 记为 n 则相继两次分岔 或合并 的间隔之比趋于同一个常数 注意 常数 并不只限于单摆公式 而是对所有同一类的变换 所得的 值都精确地相同 的数值只与系统的某种非线性性质有关 而与各个系统的其他具体细节无关 反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性 是混沌内在规律性的另一个侧面反映 费根鲍姆常数 31 在倍周期分岔序列图中 同次周期分岔中上下的各对周期点之间的距离之比 以及第相邻两次周期分岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常数 称为标度因子或普适常数 标度因子 例如 图中 注意 当不满足 则比值只是近似的 32 讨论 相同的常数 和 出现在不同的非线性系统之中 充分显示出非线性系统中存在的某种共性 说明通往混沌的道路是有确定的规律可循的 混沌现象是确定性系统中的内在随机行为 是非线性系统的一种固有属性 经典力学的观点并不能理解内在随机性 按照牛顿决定论的观念 一个没有外来随机因素影响的确定性系统 其运动的规律也必然是确定的 就是说 只要初始条件给定 则系统在以后任一时刻的运动状态都是完全可以预见