2013年数学全真模拟试卷5（教师版）.doc

启东市2013年数学全真模拟试卷五一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 两个平面最多将空间分成 四 部分当两个平面平行时，将空间分为三个部分；当两个平面相交时，将空间分为四个部分；2 设集合，则 由得，又，所以，则；3 已知，则 ；4 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 圆心到直线的距离为，所以圆的方程是；5 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ；（第6题）O 20 40 60 80 100 成绩 6 42 108 人数I1While I8 IEnd WhilePrint S(第5题)6 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 平均分为：；7 设向量，若与垂直，则实数的值为 易得，由与垂直得；8 在等腰直角ABC中，过直角顶点C在内部任作一条射线，与线段交于点，则的概率为 所求概率；9 我们知道：“平面内不共线的三点确定一个圆”类似地，空间中 不共面的四点确定一个球 10已知数列的前项和，第项满足，则 8 由可得，当且时，；11在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为，设点是抛物线上的动点，则的最大值为 设抛物线上动点，则，令，则，利用 导数可求得当时，的最大值为，即；12对任意的锐角，给出下列三个不等式：； ； ， 其中恒成立的不等式的序号为 .因为为锐角，所以，即正确；同理，即正确；不恒 成立，不妨取；13已知，则的最小值为 16 因为，所以，于是（当且仅当，且时取等号）；14设函数对于任意，都有成立，则实数= 1 .一方面，由对任意恒成立得；另一方面，由得，所以二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且（1）求角的大小； （2）求ABC面积的最大值 命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力（1）由得， 所以， 故ABC 中，（2）由正弦定理得，即，（8分） 由余弦定理得，即，（10分） 由得，（当且仅当时取等号）（12分） 所以.（14分）16（本题满分14分）(第16题图)在如图所示的多面体中，为二面角的平面角（1）求证：； （2）求证： 命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力证明：（1）因为为二面角的平面角， 所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以；（7分） （2）因为，又平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面， 所以（14分）17请你设计一个纸盒如图所示，ABCDEF是边长为30cm的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒G、H分别在AB、AF上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AGAHx(cm)（1）若要求纸盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ABCDEFGH（第17题图）（2）若要求纸盒的的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求此时纸盒的高与底面边长的比 命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力解：（1）易得正六棱柱的底面正六边形的边长为，正六棱柱的高为， 所以纸盒的侧面积S， 因为该二次函数开口向下，且对称轴方程为，所以当cm时，侧面积S最大（2）纸盒的容积V， 由得，或（舍去），x5+0极大值9000列表： 所以当cm时，容积V最大，此时纸盒的高与底面边长的比为（15分）18（本题满分15分）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：（，且）.（1）设为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆与圆的一条切线，切点分别为、，使得，试求出所有满足条件的点的坐标；（2）若斜率为正数的直线平分圆，求证：直线与圆总相交.命题立意：本题主要考查圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等，考查运算求解与推理论证能力解：（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，由题意得，即，化简得，因为为坐标轴上的点，所以点的坐标为或；（8分）（2）依题意可设直线的方程为：，化简得， 则圆心到直线的距离为，又圆的半径为，所以“直线与圆总相交”等价于“，”即 ，记，整理得，当时，；当时，判别式，解得；综上得，的最小值为1，所以式，即证19若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间（1）已知是上的正函数，求的等域区间；（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出 实数的取值范围；若不存在，请说明理由 19命题立意：本题主要考查函数的图象与性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合 思想、分类讨论思想进行推理论证的综合能力 解：（1）因为在上单调递增的正函数， 所以当时， 即 解得， 故函数的“等域区间”为； （2）因为函数是上单调递减的正函数， 所以当时，即两式相减得，即，（10分）代入得故、为方程的两个小于0实根，所以 解得20设正项数列的前项和为，已知，数列是公比不为1的等比数列（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为常数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求证：的最小值为命题立意：本题主要考查等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基 本不等式等进行探索求解、推理分析的综合能力 解：（1）设数列是公比为， 则， 故， 得，（4分） 所以， 又，所以，此时 （2）由得，（8分） 下求的最大值，即的最小值： 因为且， 所以，即， 下证： 设，其中， 则， 当时，即， 所以，的最小值为试题（附加题）21 B（矩阵与变换）将曲线：绕坐标原点逆时针旋转后，得到的曲线,求曲线的方程 命题立意：本题主要考查矩阵的变换，考查运算求解能力解：设上的任意点在变换矩阵M作用下为，则，（5分）即（8分）代入得（10分）C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，求直线（t为参数）被圆（为参数）截得的弦长 命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力解：将直线与圆的参数方程化为普通方程得与，（6分） 则圆心到直线的距离为，（8分） 所以直线被圆截得的弦长为（10分）22考察二数，满足不等式于是一个自然的推广引导我们去猜想下面的命题：若且则试用数学归纳法证明上述命题 22命题立意：本题主要考查数学归纳法，推理论证能力证明：当时，因为，所以，（2分） 当时，假设当时，成立， （4分） 则当时，因为 所以 （6分） ， 所以，当时，结论也成立， 由得，原命题得证（10分）23某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10现对50只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡设计了如下方案：按n（且n是50的约数）只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验记为某一组中病鸡的只数（1）若n，求随机变量的概率分布和数学期望；（2）为了减少化验次数的期望值，试确定n的大小23命题立意：本题主要考查二项分布与数学期望等概率知识，考查运算求解能力 解：（1）当n时，则，（