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空间向量与立体几何解答题精选1 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求与所成的角；（）求面与面所成二面角的大小 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 （）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因（）解：在上取一点，则存在使要使为所求二面角的平面角 2 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面 （）证明：平面； （）求面与面所成的二面角的大小 证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 （）证明：不防设作，则， ， 由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直 平面 （）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为3 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面， 为的中点 （）求直线与所成角的余弦值；（）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离 解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、，从而设的夹角为，则与所成角的余弦值为 （）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得， 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为 4 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 （）求的长； （）求点到平面的距离 解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设 为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则到平面的距离为5 如图，在长方体，中，点在棱上移动 （1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距离； （3）等于何值时，二面角的大小为 解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，由 令，依题意（不合，舍去）， 时，二面角的大小为 6 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，已知，求： （）异面直线与的距离； （）二面角的平面角的正切值 解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系 由于，在三棱柱中有,设又侧面，故 因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为 （II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角 7 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点， 已知求（）异面直线与的距离； （）二面角的大小 解：（）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系 由已知可得设 由，即 由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,
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