2019届高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题学案理.docx

第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟1.(2018浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案52.(2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值.(1)解因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k1，又因为k0，故k0或0kb0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1)解由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此解得故C的方程为y21.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，k1k21，得m2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设l：ykxm(m1).将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.则k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.(2k1)(m1)0.解之得m2k1，此时32(m1)0，方程有解，当且仅当m1时，0，直线l的方程为ykx2k1，即y1k(x2).所以l过定点(2，1).考 点 整 合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】 (2018西安质检)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，直线xy10被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且|MA|MB|，求的取值范围.解(1)原点到直线xy10的距离为，由题得b2(b0)，解得b1.又e21，得a2.所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率为0时，|MA|MB|12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：xmy4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得(m24)y28my120.由64m248(m24)0，得m212，所以y1y2.|MA|MB|y1|y2|(m21)|y1y2|12.由m212，得0，所以12.综上可得：12，即.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.【训练1】 (2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围.(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根.所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x0b0)的焦距为2，斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足OPMN，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解(1)由题意可知c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减并整理得，即kABkOD.又因为kAB，kOD，代入上式得，a24b2.又a2b2c2，c23，所以a24，b21，故椭圆的方程为y21.(2)由题意可知，F(，0)，当MN为长轴时，OP为短半轴，则1，否则，可设直线l的方程为yk(x)，联立消y得，(14k2)x28k2x12k240，则有x1x2，x1x2，所以|MN|x1x1|，设直线OP方程为yx，联立根据对称性不妨令P，所以|OP|.故，综上所述，为定值.探究提高1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】 已知椭圆C：1过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意知a2，b1.所以椭圆方程为y21，又c.所以椭圆离心率e.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y1(x0)，令y0，得xN，从而|AN|2xN2，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y0(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，所以S四边形ABNM|AN|BM|2.即四边形ABNM的面积为定值2.考法2圆锥曲线中的定点问题【例22】 (2018衡水中学质检)已知两点A(，0)，B(，0)，动点P在y轴上的投影是Q，且2|2.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点.求证：直线E1E2恒过定点.(1)解设点P坐标为(x，y)，点Q坐标为(0，y).2|2，2(x)(x)y2x2，化简得点P的轨迹方程为1.(2)证明当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：yk(x1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：y(x1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立消去y得(2k21)x24k2x2k240.则0恒成立.x1x2，且x1x2.GH中点E1坐标为，同理，MN中点E2坐标为，kE1E2，lE1E2的方程为y，过点，当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y0，也过点，综上所述，lE1E2过定点.探究提高1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0)2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】 已知曲线C：y24x，曲线M：(x1)2y24(x1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.(1)若4，求证：直线l恒过定点；(2)若直线l与曲线M相切，求(点P坐标为(1，0)的最大值.解设l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得y24my4n0.y1y24m，y1y24n.x1x24m22n，x1x2n2.(1)证明由4，得x1x2y1y2n24n4，解得n2.直线l方程为xmy2，直线l恒过定点(2，0).(2)直线l与曲线M：(x1)2y24(x1)相切，2，且n3，整理得4m2n22n3(n3).又点P坐标为(1，0)，由已知及，得(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又y44n(n3)是减函数，当n3时，y44n取得最大值8.故的最大值为8.热点三圆锥曲线中的存在性问题【例3】 (2018江南名校联考)设椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为A(1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且ACB，SABC.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)在ABC中，由余弦定理AB2CA2CB22CACBcos C(CACB)23CACB4.又SABCCACBsin CCACB，CACB，代入上式得CACB2.椭圆长轴2a2，焦距2cAB2.所以椭圆M的标准方程为y21.(2)设直线方程yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，x1x2，x1x2.假设x轴上存在定点D(x0，0)，使得为定值.(x1x0，y1)(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2要使为定值，则的值与k无关，2x4x012(x2)，解得x0，此时为定值，定点为.探究提高1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P，F为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A(4，0)的直线l与椭圆相交于M，N两点(点M在A，N两点之间)，是否存在直线l使AMF与MFN的面积相等？若存在，试求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)因为，所以a2c，bc，设椭圆方程1，又点P在椭圆上，所以1，解得c21，a24，b23，所以椭圆方程为1.(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x4)，由消去y得(34k2)x232k2x64k2120，由题意知(32k2)24(34k2)(64k212) 0，解得k.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为AMF与MFN的面积相等，所以|AM|MN|，所以2x1x24.由消去x2得x1.将x22x14代入，得x1(2x14)将代入到式，整理化简得36k25.k，经检验满足题设故直线l的方程为y(x4)或y(x4).1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.若双曲线1(01)的离心率e(1，2)，则实数的取值范围为()A. B.(1，2) C.(1，4) D.解析易c1，a，且e(1，2)，12，得0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B.2 C. D.解析不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，则3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.答案C二、填空题5.设双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是_.解析双曲线C：1的一条渐近线为yx，联立消去y，得x2x.由x01，知1，b2a2.e22，因此1e0)，B(x2，y2)(y20).则|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24.|AC|BD|(y20得k22，x1x24k，x1x28.kAC，直线AC的方程为yy1(xx1).即yy1(xx1)xx，x1x28，yx2，则直线AC恒过点(0，2).8.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求椭圆C的方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得x22mx2m240，判别式164m20，即m24.又x1x22m，x1x22m24，则|AB|，点P到直线l的距离d.因此SPABd|AB|2，当且仅当m22即m时上式等号成立，故PAB面积的最大值为2.9.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点