4 符号推演与计算

第四章符号推演与计算 我们已经知道数值计算是MATLAB最强大的功能之一 但自从Mathworks公司买下了Maple的使用权以后 MATLAB将数值计算与符号计算熔为一体 成了全功能的计算软件 有关符号计算的所有功能都在符号工具箱 SymbolicMathToolbox 中 我们可以在帮助窗口中打开该工具箱获得更详细的资料 本章将介绍如何定义一个符号数学公式 以及如何推演一个数学公式 如对一个多项式提取公因子 对一个复杂的数学表达式进行化简 以及诸如符号矩阵代数运算 符号积分运算等一系列符号的推演过程 符号运算的一个最关键的命令是syms符号定义 利用该命令我们可以定义任何一个符号公式 符号积分公式 符号矩阵公式 符号线性方程和符号微分方程等数学公式等 我们可以利用MATLAB命令对它进行通常意义下的解析推导 有关符号推演的知识点见下图 4 1符号表达式的定义和数据转换 在MATLAB中为进行符号推演就必须区别表达式和符号表达式的区别 MATLAB提供了一系列按照符号推演规则下的符号命令 如定义符号 定义一个多元函数所有参数中那些是自变量那些是参数等等 当我们在符号推演的过程或结束后 希望计算函数在某些点处的值 我们有一些有关的辅助命令如vpa和subst 4 1 1定义符号对象的指令 一个符号表达式中 所有的参数都是符号变量或符号常量 因此必须和在计算机语言中的那些表达式有所区别 我们可以用命令sym和syms来定义符号变量和符号表达式 sym和syms常用的格式如下 f sym expr 把表达式expr转换为符号对象 syms arg1 arg2 arg3 将他们定义为符号变量 symsarg1arg2arg3为上面命令的简写形式 例4 1 1 用符号计算验证三角等式 symsa1a2 定义符号变量y sin a1 cos a2 cos a1 sin a2 定义符号表达式ysimple y 化简 ans sin a1 a2 例4 1 2 把字符表达式转换为符号变量 y sym 2 sin x cos x 符号变量y simple y 按规则把已有的y符号表达式化成最简形式 y 2 sin x cos x y sin 2 x 例4 1 3 求矩阵的行列式值 逆和特征根 symsa11a12a21a22 A a11 a12 a21 a22 DA det A 计算矩阵A的行列式的值IA inv A 计算矩阵A的逆矩阵EA eig A 求矩阵的特征根系统 A a11 a12 a21 a22 DA a11 a22 a12 a21IA a22 a11 a22 a12 a21 a12 a11 a22 a12 a21 a21 a11 a22 a12 a21 a11 a11 a22 a12 a21 EA 1 2 a11 1 2 a22 1 2 a11 2 2 a11 a22 a22 2 4 a12 a21 1 2 1 2 a11 1 2 a22 1 2 a11 2 2 a11 a22 a22 2 4 a12 a21 1 2 例4 1 5 验证积分 symsAttaow yf int A exp i w t t tao 2 tao 2 Yf simple yf Yf 2 A sin 1 2 tao w w 4 1 2符号表达式中自由变量的确定在一个符号表达式中可能有多个符号变量 那么哪一个是自变量 哪些是符号常量则对某种运算是非常重要的 MATLAB提供了一个findsym命令 可以对所有符号变量指定一定数量的自变量进行自动认定 基本语法 findsym expr 确定表达式expr中所有自由符号变量findsym expr n 确定expr靠x最近的n个独立变量 例4 1 6 一个简单的例子 symsaxyzt 定义符号变量a x y z tfindsym sin pi t 确定表达式中所有符号为自由变量findsym x i y j z 1 确定达式中最靠近x的变量findsym x i y j z 2 式中最靠近x的两个变量findsym x i y j z 3 式中最靠近x的三个变量 包括x 结果为 ans pi tans xans x yans x y z 例4 1 7 findsym确定自由变量是对整个矩阵进行的 symsabtuvxy A a b x sin t u x exp t log y v findsym A 1 在矩阵A中确定x为自变量 A a b x sin t u x exp t log y v ans x 4 1 3符号的数值化和替代在进行公式推导的过程中 有时我们需要将公式按某些实际参数来进行数值化表示 或在自变量取某些值时求符号公式的值 这时我们可以使用符号数值化和替换等命令 一 对符号求值的命令为vpa 即 Variableprecisionarithmetic 语法为 R vpa A R vpa A d 这里A 对符号表达式A求给定精度的值 d 输出数值的有效位数 例4 1 8 求以下符号的有效位数值digits 25 设置vpa输出的有效数q vpa sin sym pi 6 输出sin在给定点的值 这里有效位为25p vpa pi w vpa 1 sqrt 5 2 4 输出函数的值 这里有效位为4q 0 5000000000000000000000000p 3 141592653589793238462643w 1 618 二 符号表达式值的替换函数对于符号表达式中的某些变量 我们可以通过使用替换命令将这些变量变成单个数据或数组 从而让整个符号表达式变成具体的数字 这样我们就可以先推导再计算了 符号替换命令为 R subs S R subs S old new 其中subs S 式中所有的变量均用内存中工作数组相应的变量替换 subs S old new 将符号表达式S中的某些 老的符号变量 替换成 新变量或数值数组 例4 1 9 求解常微分方程的通解 并用C1 3 a 50替换解的变量 y dsolve Dy a y 求微分方程的通解a 50 C1 3 y C1 exp a t subs y 进行参数的替换ans 3 exp 50 t 例4 1 10 以 新 替换 老 将表达式中的a替换为4subs a b a 4 ans 4 b 2 将表达式中的老符号用新符号替换 subs cos a sin b a b sym alpha 2 ans cos alpha sin 2 3 将符号表达式中的参数进行大量的数据替换subs exp a t a magic 2 将参数用2 2的魔方数组替换ans exp t exp 3 t exp 4 t exp 2 t 4 将符号乘用矩阵乘替换subs x y x y 01 10 1 1 21 ans 0 120 4 2微积分中的符号运算 微积分中可以进行极限 导数 微分 积分 级数展开等解析运算 也可以进行多元函数的微积分运算 结合图形的显示可以更好地帮助我们理解空间微积分的概念和计算 4 2 1求极限求极限即对表达式进行求极限 首先是定义符号表达式 然后对表达式进行极限运算 极限运算的命令语法为 limit F a limit F limit F x a right limit F x a left 其中F 为表达式2a 为极限点 当不给出极限点时系统内定的极限点为0 right 求右极限 left 求左极限 例4 2 1 求极限的简单例子 symsxath limit sin x x 当x趋于0 系统内定极限点为0 limit 1 x x 0 right 1 x趋于0的右极限limit 1 x x 0 left 1 x趋于0的左极限limit sin x h sin x h h 0 v 1 a x x exp x limit v x inf left 函数v自变量x趋于无穷大时的左极限 ans 1ans infans infans cos x ans exp a 0 4 2 2符号求导一 单变量求导数的语法为 diff S v diff S n diff S v n 其中 S 为符号表达式 可能有多个符号参数 v 以S中的符号v进行求导运算n 对S进行n次求导 例4 2 2 对表达式以x t分别求导symsxtdiff sin x 2 x t x diff sin x 2 x t t ans 2 cos x 2 x tans x 例4 2 3 对求5阶导数symsxdiff x 6 x 5 ans 720 x 例4 2 4 求 symsatx f a t 3 t cos x log x df diff f 求矩阵f对x的导数dfdt2 diff f t 2 求矩阵f对t的二阶导数dfdxdt diff diff f x t 求二阶混合导数 df 0 0 t sin x 1 x dfdt2 0 6 t 0 0 dfdxdt 0 0 sin x 0 二 求偏导数的jacobian命令设列向量每一个分量w v为自变量x y的函数 即则jacobian命令计算矩阵Jacobian命令的一般形式为 J jacobian w v x y 例4 2 4 直角坐标系转化为球形坐标 即 这里 为编程方便两个角度分别用l和f来表示symsrlf 定义符号变量x r cos l cos f y r cos l sin f z r sin l J jacobian x y z rlf 注意列向量和行向量 J cos l cos f r sin l cos f r cos l sin f cos l sin f r sin l sin f r cos l cos f sin l r cos l 0 对矩阵进行简化 Det J simple det J 利用simple变命令进行简化Det J cos l r 2 4 2 3符号积分符号积分包括不定积分和定积分 其语法分别为 R int S R int S v R int S a b R int S v a b 其中 S 为符号表达式 可能有多个参数 v 以S中的符号v进行求积分运算a 为定积分下限b 为定积分上限 例4 2 5 几个简单的例子symsxtalphazint 2 x 1 x 2 2 计算不定积分int x 1 z 2 z 以z为自变量计算不定积分int x log 1 x 0 1 计算积分限为 0 1 的定积分int 2 x sin t 1 计算积分限为 sin t 1 的定积分int exp t exp alpha t ans 1 1 x 2 ans x atan z ans 1 4ans 1 sin t 2ans exp t 1 alpha exp alpha t 例4 2 6 对符号矩阵进行积分 即对矩阵的每一个元素进行积分 symsxn 4A x 0 n 0 n 产生符号矩阵AD diff log A 对符号矩阵A进行函数log运算并求导Int A int A 对矩阵进行积分 A 1 1 1 1 1 1 x x 2 x 3 x 4 1 x 2 x 4 x 6 x 8 1 x 3 x 6 x 9 x 12 1 x 4 x 8 x 12 x 16 D 0 0 0 0 0 0 1 x 2 x 3 x 4 x 0 2 x 4 x 6 x 8 x 0 3 x 6 x 9 x 12 x 0 4 x 8 x 12 x 16 x Int A x x x x x x 1 2 x 2 1 3 x 3 1 4 x 4 1 5 x 5 x 1 3 x 3 1 5 x 5 1 7 x 7 1 9 x 9 x 1 4 x 4 1 7 x 7 1 10 x 10 1 13 x 13 x 1 5 x 5 1 9 x 9 1 13 x 13 1 17 x 17 例4 2 7 求积分 symsxyzF2 int int int x 2 y 2 z 2 z sqrt x y x 2 y ysqrt x x 2 x 1 2 VF2 vpa F2 积分结果用32位数字表示 F2 1610027357 6563700 6072064 348075 2 1 2 14912 4641 2 1 4 64 225 2 3 4 VF2 224 92153573331143159790710032805 4 2 4泰勒展式泰勒展式是数值计算的基础 应用十分广泛 如求微分方程的数值解时 对给定的初始值对被积函数在该点进行泰勒展开 利用步进法逐步求出微分方程的数值解 在数学建模竞赛中我们曾经使用过该方法 对任意函数都可以在某点处进行展开 其表达式为 泰勒展式命令语法为 r taylor f r taylor f n v r taylor f n v a 其中f 被展开函数 如没有其他参数表示系统内定在0点展开v 对变量v进行泰勒展开n 取展式的前n项a 在a点展开 若不给出 系统内定为在0展开 例4 2 9 对函数进行各种泰勒展开symsxtaylor exp x 对函数在0点展开 并取阶数为5 系统内定 taylor exp x 7 对函数在0点展开 并取阶数为7taylor exp x 3 2 对函数在2点展开 并取前3项ans 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4 1 120 x 5ans 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4 1 120 x 5 1 720 x 6ans exp 2 exp 2 x 2 1 2 exp 2 x 2 2 例4 2 10 对函数进行各种泰勒展开symsxytaylor exp x y 对x在x 0处展开 x的阶数为5taylor exp x y y 3 对y在y 0处展开 y的阶数为3ans exp y exp y x 1 2 exp y x 2 1 6 exp y x 3 1 24 exp y x 4 1 120 exp y x 5ans exp x exp x y 1 2 exp x y 2 4 2 5符号求和符号级数求和的命令语法为 r symsum s r symsum s v r symsum s a b r symsum s v a b 其中s 为含变量k的表达式v 对表达式s中的变量v求和b 对表达式中变量k从a到b求和 例4 2 11 几个简单的求和的例子symsknxsymsum k 2 对序列到k项求和ans 1 3 k 3 1 2 k 2 1 6 ksymsum k 2 0 10 从0项到10项求和ans 385symsum x k sym k k 0 inf ans exp x 例4 2 12 我们来考虑一个综合题 对给定空间曲线的某一点 求该点的切线和法平面并作图 首先用解析推导得曲线上点的切线方向 和以该点为法线的法平面 然后用替换命令求某一点的法线和法向量 再作图 symstxyz 说明符号变量x 2 sin t y 2 cos t z 4 t 定义一条空间曲线w x y z 建立参数坐标v jacobian w t 求曲线在各点的切线方向t pi 4 确定固定点v0 subs v 求该点的切线方向w0 subs w 求该点的坐标t0 pi 4 symstx1y1 准备建立点的法线和平面F w0 v0 t t0 建立该点的切线方程Z v0 1 x1 w0 1 v0 2 y1 w0 2 v0 3 w0 3 建立该点的法平面ezplot3 w 1 w 2 w 3 0 2 pi holdon 作空间曲线ezmesh Z holdon 作法平面quiver3 w0 1 w0 2 w0 3 v0 1 v0 2 v0 3 1 r holdon 作法线plot3 w0 1 w0 2 w0 3 r markersize 30 作该固定点为红色大点axisequalaxis 2 2 2 2 0 5 hiddenoffaxisoff 例4 2 12 对给定曲面 求曲面上给定点的切面以及平面的法线 并作图形 解 空间平面的方程为 这里为曲面上的一点 为该点的方向导数 解题思路为 1 在曲面的某点上用jacobian函数求该点上的方向导数 利用空间平面公式作图 2 利用quiver3函数作法向量 语法为 quiver3 X Y Z U V W quiver3 Z U V W quiver3 scale quiver3 LineSpec quiver3 LineSpec filled 这里X Y Z为空间的点的坐标 它们为同维数组 U V W为相应点的方向向量 Scale 为方向向量的长度 本题的程序为 2004年4月18日 对给定的曲线作某点的切平面及法线symszxyz x 2 y 2ezmesh z 1 2 1 2 holdonaxisequalj jacobian z x 0 5 y 0 3 x0 x y0 y z0 subs z z xy subs j quiver3 x0 y0 z0 z xy 1 z xy 2 1 30 b holdonplot3 x0 y0 z0 r markersize 30 holdonsymsxyZ z xy 1 x x0 z xy 2 y y0 z0ezmesh Z 1 2 1 2 4 3矩阵代数中的符号计算矩阵代数中的符号计算包括对矩阵进行各种四则运算 求矩阵的行列式 矩阵的逆 矩阵的谱分解以及求线性方程组的解等 部分命令和含义见表8 3 1 注意 有些命令如求矩阵模norm 求矩阵的条件数cond不能用在符号矩阵中 例4 3 1 求希尔伯特符号矩阵H的特征值 行列式 逆矩阵等矩阵操作 clearall clcH sym hilb 5 定义一个5阶希尔伯特矩阵 H 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 d det H 求希尔伯特矩阵的行列式的值 d 1 266716800000 X inv H 求希尔伯特矩阵的行列式的逆矩阵 X 25 300 1050 1400 630 300 4800 18900 26880 12600 1050 18900 79380 117600 56700 1400 26880 117600 179200 88200 630 12600 56700 88200 44100 p poly H 求希尔伯特矩阵的特征多项式 p x 5 563 315 x 4 735781 2116800 x 3 852401 222264000 x 2 61501 53343360000 x 1 266716800000 e eig vpa H 将符号矩阵转为10位有效数的数字矩阵并求特征根 e 3287939270e 5 3058980252e 3 1140749157e 1 2085342187 1 567050691 t sym t I J meshgrid 1 5 H 1 I J t 产生带参数t的希尔伯特矩阵H subs H t 1 将参数替换为1 H 1 2 t 1 3 t 1 4 t 1 5 t 1 6 t 1 3 t 1 4 t 1 5 t 1 6 t 1 7 t 1 4 t 1 5 t 1 6 t 1 7 t 1 8 t 1 5 t 1 6 t 1 7 t 1 8 t 1 9 t 1 6 t 1 7 t 1 8 t 1 9 t 1 10 t H subs H t 1 将参数替换为1 H 1 00000 50000 33330 25000 20000 50000 33330 25000 20000 16670 33330 25000 20000 16670 14290 25000 20000 16670 14290 12500 20000 16670 14290 12500 1111 例4 3 2 计算矩阵的秩symsa11a12a13a21a22a23xyA a11 a12 a21 a22 这是一个满秩矩阵rank A ans 2 B a11 a11 a22 a22 第一行的元素相同 第二行的元素也相同rank B ans 1 C magic 6 产生6阶魔方矩阵rank sym C C 351626192433272123253192222720828331710153053412141643629131811ans 5从而我们知道n阶的魔方矩阵的秩为n 1 例4 3 3 求矩阵的上三角阵和下三角阵 symsa11a12a13a21a22a23a31a32a33xy 定义符号A a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 定义符号矩阵rank A tril A 求矩阵A的下三角阵triu A 求矩阵A的上三角阵triu A 1 求矩阵A的上次对角线上三角阵triu A 1 求矩阵A的下次对角线上三角阵 ans a11 0 0 a21 a22 0 a31 a32 a33 ans a11 a12 a13 0 a22 a23 0 0 a33 ans 0 a12 a13 0 0 a23 0 0 0 ans a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 a32 a33 例4 3 4 求解线性方程组求解线性方程或方程组解的命令为solve 其语法为 g solve eq g solve eq var g solve eq1 eq2 eqn g solve eq1 eq2 eqn var12 var2 varn 其中eq 为字符串方程 如果仅有表达式 则表示该表达式等于0 var 表示方程中的变量 1 求的解 symsxabceq a x 2 b x csolve eq x 2 求线性方程组 S solve x y 1 x 4 y 2 结果为构架数组disp S x disp S x 显示x解disp S y disp S y 显示y解 S x 6 5S y 1 5 3 求关于变量x y的解 S solve a x 2 b y w 0 x y w 0 x y disp S x disp S x disp S y disp S y S x 1 2 a 2 a w b 4 a w b b 2 4 a w 1 2 w 1 2 a 2 a w b 4 a w b b 2 4 a w 1 2 w S y 1 2 a 2 a w b 4 a w b b 2 4 a w 1 2 4 4符号表达式的操作命令对符号表达式的操作 就象我们平时在数学课上对多项式的推演一样 这里包括多项式的加 减 乘 除 对多项式的化简等等 4 4 1多项式的基本操作基本的操作命令如下 collect expr v 对以v为表达式的同幂项进行合并expand expr 对expr如多项式 三角函数等函数进行展开factor expr 对表达式 整数进行因式分解horner expr 把多项式分解为嵌套形式simlify expr 将expr进行简化simple expr 将expr化成最简单的形式pretty expr 以习惯的书写方式显示表达式 例4 4 1 按不同的方式合并同幂项 EXPR sym x 2 x exp t 1 x exp t expr1 collect EXPR 默认合并x同幂项系数expr2 collect EXPR exp t 合并exp t 同幂项expr1 x 3 2 exp t x 2 1 exp t 2 x exp t expr2 x exp t 2 2 x 2 1 exp t x 2 1 x 例4 4 2 利用factor命令将以下多项式变为因子相乘的形式symsxyabfactor x 3 y 3 factor a 2 b 2 a 3 b 3 factor sym 123450 ans x y x 2 x y y 2 ans a b a b a b a 2 a b b 2 ans 2 3 5 2 823 例4 4 3 利用horner命令对表达式进行嵌套型分解clear symsxyhorner x 3 6 x 2 11 x 6 horner x 2 x y 3 2 y ans 6 11 6 x x xans x 1 x 2 y 2 y 例4 4 4 利用numden命令将表达式的分子和分母化简为不可约的形式并通 n d numden sym 6 30 化简 n1 d1 numden x y y x 通分运算 n2 d2 numden 1 x y 1 x y 通分运算 n 1d 5n1 x 2 y 2d1 x yn2 2 xd2 x y x y 例4 4 5 简化 1 运用simplify简化 即使多次运用simplify也不能得到最简形式 symsx f 1 x 3 6 x 2 12 x 8 1 3 sfy1 simplify f sfy2 simplify sfy1 sfy1 2 x 1 3 x 3 1 3 sfy2 2 x 1 3 x 3 1 3 2 运用simple简化g1 simple f g2 simple g1 g1 2 x 1 xg2 2 1 x 例4 4 6 简化symsx ff cos x sqrt sin x 2 ssfy1 simplify ff ssfy2 simplify ssfy1 ssfy1 cos x sin x 2 1 2 ssfy2 cos x sin x 2 1 2 gg1 simple ff gg2 simple gg1 gg1 cos x i sin x gg2 exp i x 4 4 2求函数的反函数和复合函数 例 求的反函数symsxf sin x ezplot f 0 3 holdonezplot finverse f 0 3 例4 4 8 求复合函数命令compose符合函数命令语法为 compose f g compose f g z compose f g x z compose f g x y z 设函数 则compose f g 的结果为 f g y symsxyztu f 1 1 x 2 g sin y h x t p exp y u compose f g compose f g t compose h g x z compose h g t z compose h p x y z compose h p t u z ans 1 1 sin y 2 ans 1 1 sin t 2 ans sin z tans x sin z ans exp z u tans x exp y z 4 5符号微分方程的解 符号求解命令dsolve求常微分方程的通解 具有初始条件或边界条件的解以及常微分方程组的解 其基本语法为 r dsolve eq1 eq2 cond1 cond2 v r dsolve eq1 eq2 cond1 cond2 v 这里 eqi 表示某个微分方程 若有多个即是求解微分方程组的解 condi 表示某个条件如初始条件或边界条件 v 表示按该自变量求解 其他变量为参数 注意1 在符号求解微分方程的解时函数的导数用D来表示 如y 用Dy 而y 用D2y 注意2 并不是所有的情况都可以求出解析解的 如果不能求解析解可以用前面介绍的微分方程的数值解方法来求解 例4 5 1 求 的通解 的全解 dsolve Dy a y 注意D的表达意义dsolve Df f sin t dsolve Dy 2 y 2 1 s 注意有四个解 ans C1 exp a t ans 1 2 cos t 1 2 sin t exp t C1ans 1 1 sin s C1 sin s C1 例4 5 2 求微分方程组的解 S dsolve Dx y Dy x disp blanks 12 x blanks 21 y disp S x S y xy cos t C1 sin t C2 sin t C1 cos t C2 例4 5 2 给定初始条件求以下微分方程 dsolve Dy a y y 0 b dsolve D2y a 2 y y 0 1 Dy pi a 0 ans b exp a t ans cos a t 4 6调用MAPLE函数 在前面的介绍中我们只使用了部分的符号加工命令 为充分使用MAPLE函数我们可以通过调用它的函数来扩大我们的使用面 当我们调用了MAPLE函数后 这些函数可以加工符号公式 字符串等对象 并利用该函数的意义推演出相应的结果 我们也可以利用MAPLE语言来编写自己的扩展函数 4 6 1简单的调用示例假定我们要求两个多项式P1 P2和两个整数C1 C2的最大公约数 首先我们应该学会如何调用MAPLE中的最大公约数函数gcd greatestcommondivisor 例如 求多项式P1 x 2 y 2和P2 x 3 y 3 显然它们的最大公约数为x y 我们可以利用MAPLE的帮助功能来获得有关的知识 在命令窗口中键入 mhelpgcd 则显示详细的有关调用的信息 gcd greatestcommondivisorofpolynomials最大公约数函数lcm leastcommonmultipleofpolynomials最小公倍数函数CallingSequence gcd a b cofa cofb lcm a b 这里参数 a b为被求最大公约数两个多变量多项式 如果a b为整数则求两个整数的最大公约数 cofa cofb多项式中系数的说明 选项 functiong gcd a b g maple gcd a b 为计算最大公约数 我们要编一个调用MAPLE某函数的调用函数 为此编写 将其另存到当前目录中去 然后我们可以编写求解最大公约数的命令了 symsxyz gcd x 2 y 2 x 3 y 3 求两多项式的最大公约数w gcd 35 90 求两整数的最大公约数 z y xw 5 4 6 2MAPLE库函数 查询MAPLE功能的一般命令有 1 mhelp 专门用来查询MAPLE的各种信息的帮助命令 基本语法为 MHELPtopicprintsMaple shelptextforthetopic MHELP topic doesthesamething 即如果想知道某个命令的使用方法 在mhelp后面直接键入命令名称即可 例4 6 1 切比雪夫正交多项式的零点在数值积分中为高斯结点 该点列具有重要意义 如果我们想获得切比雪夫正交多项式的有关信息和实例 可以键入 mhelpchebyshev则有关详细信息如下 chebyshev ChebyshevseriesexpansionCallingSequence chebyshev expr eq nm eps Parameters expr analgebraicexpressionoraprocedureeq nm anequationx a boranamexeps optional anumericvalueDescription ThisfunctioncomputestheChebyshevseriesexpansionofexpr withrespecttothevariablexontheintervala b validtoaccuracyeps