基本不等式的使用.docx

均值不等式的使用一、 公式的意义和使用条件：1、 a2+b22ab,aR,bR,当a=b时取“”。逆运用公式：aba2+b22,aR,bR,当a=b时取“”。例：求y=sinxcosx的最大值。12 (使用三角函数和均值不等式两种解法)结论：积为常数时，平方和有最小值；平方和为常数时，积有最大值。2、 a+b2ab, aR+,bR+, 当a=b时取“”。带同学们分析两个公式的使用差别逆运用公式：ab(a+b2)2, aR+,bR+, 当a=b时取“”。例：求y=x(5-x)的最大值。254例：设a，b，c都是正数，求证：abc.证明 a，b，c都是正数，都是正数2c，当且仅当ab时等号成立，2a，当且仅当bc时等号成立，2b，当且仅当ac时等号成立三式相加，得2()2(abc)，即abc.当且仅当abc时等号成立3、 a2+b22(a+b2)2aR,bR,当a=b时取“”可通过求差比较法得到，化简后：a2+b2(a+b)22 逆运用公式：a+b2a2+b2注：直接建立和与平方和的运算关系例：已知x+y=1,求x+y的最小值。解法一：（x+y）2x+y+2xy x+y=1-2xy所以求x+y的最小值，只需当xy取最大时即可。x+y2xy2xy1xy14,此时x+y的最小值为12，当x=y=14取。解法二：x+y（x+y）22=12, 当x=y=14取。例：已知：a0,b0,a+b=1,求证：a+12+b+122解法一：（a+12+b+12）2a+b+1+2a+12(b+12)=2+2ab+34求a+12+b+12的最大值，则需满足ab最大即可.a+b2ab,ab14a+12+b+122 4a+12+b+122解法二：直接利用公式。注意：公式中的字母可以是一个字母、数字或者式子；公式中的字母取值范围取“=”条件是否满足例：意义考察下列函数中，最小值为的是：（ D ） A、y=x + 1x B y=logx + 1logx (1x10)C y=sinx + 2sinx (0x2) D y=3x+3-x例：如果0abQM BQPM CQMP DMQP解析因为Plog，Q(logalogb)，Mlog(ab)，所以只需比较，的大小，显然.又因为，也就是，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故QPM.注意：若公式中的字母是负数，处理方式是提负号；若公式中的字母是可正可负，处理方式是分正负讨论。例：y=x-2 +4x-2 , x2,求y的取值范围。例：y=tanx + 12tanx , 求y的取值范围。当取=条件无法满足，或者求取值范围时，可借助对勾函数的单调性。补充：对勾函数y=x+ax的单调性，并指明优点是即可以求最大值也能求最小值，而均值不等式的局限性在于只能求某一最值例：y=sinx + 2sinx (0x2) ，求y的取值范围。例：y=3x+12x ，其中4x9,求值域。例：y=sinx + 12sinx， 求值域。二、公式使用中的配常数问题分式配凑例：已知x3,求y=2x2+xx-3 值域。例：设x,y,z均为正实数，满足x-2y+3z=0,则y2xz最小值为（3）解：y=x+3z2代入，原式14（+9zx+6）3（体现消元思路） 根式配凑例：求函数y=x2+6x2+2的最小值。解：y=x2+6x2+2=x2+2+4x2+2=x2+2+4x2+24当x2+24x2+2即x=2时，取等号。条件性配凑例：若x0且x2+y22=1,则x1+y2的最大值为( )解：原式222x1+y222 2x2+1+y22=324，当2x1+y2即x=32, y2=12取。例：x0，y0, x+2y=2,求3xy的最大值（）解：3xy32x 2y32( x+2y2)2=32 ,当x=2y=1时取等号。注：多次使用增值不等式的条件：同向且取=条件能同时满足。例：已知a2+b2=1,x2+y2=4,求ax+by的最大值错解：axa2x22 ,byb2+y22ax+bya2+b2+x2+y22=52,取条件无法满足。正解；ax=12(2ax) 4a2x22,by=12(2by) b2+y22ax+by4a2+4b2+x2+y22=4当x=2a且y=2b时取等号。 三、数字代换及等式代换例：已知a0,b0,且1a+1b=1,求a+b的最小值。（4）分析：两种思路解一下。例：已知a0,b0，c0,a+2b+3c=6求证：a+6a+b+3b+c+2c12证明：a+6a+b+3b+c+2c3+6a+3b+2c6a+3b+2c=16a+2b+3c(6a+3b+2c)=16(18+3ab+12ba+18ca+2ac+9cb+4bc)9当a=2,b=1,c=23时，取等号。例：已知：x0,y0,且x+y=1,求3x+4y的最小值。解：3x+4y（3x+4y）（x+y）7+3yx+4xy7+43当3yx=4xy,联立x+y=1x=23-3,y=4-23,等号成立。例：已知a0，b0，ab2，则y的最小值是(c)A. B4 C. D5例：(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是(c)A. B. C5 D6解析x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.例：函数yloga(x3)1 (a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为(C)A2 B4 C8 D16解析点A(2，1)，所以2mn1.所以(2mn)48，当且仅当n2m，即m，n时等号成例：已知m、n、s、tR，mn2，9，其中m、n是常数，且st的最小值是，满足条件的点(m，n)是圆(x2)2(y2)24中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为_答案xy20解析因(st)mnmn2，所以mn24，从而mn1，得mn1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为1，从而此弦的方程为xy20.例：已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(4)类型二变等式为不等式例：若正数x、y满足x+y+3=xy,求xy的最小值。（9）解：x+y2xy; 3+2xyxy,略例：已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是(4)例：若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是18例：设x、y均为正数，且12+x+12+y=13,求xy的最小值。解：12+x+12+y=13, 同乘以2+x（2+y）xy=x+y+8,同理xy的最小值为16。1设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8 B4 C1 D.2(2011鞍山月考)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D83已知a0，b0，则2的最小值是()A2 B2 C4 D54一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要()A6 h B8 h C10 h D12 h5(2011宁波月考)设x，y满足约束条件，若目标函数zaxby (a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B. C. D4二、填空题(每小题4分，共12分)6(2010浙江)若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_7(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_8已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为_9 (1)已知0x，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值10 不等式a2b22|ab|成立时，实数a，b一定是()A正数 B非负数 C实数 D不存在11 如果0abQM BQPM CQMP DMQP12 函数yloga(x3)1 (a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为()A2 B4 C8 D1613 若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_1B因为3a3b3，所以ab1，(ab)2224，当且仅当即ab时，“”成立2B不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则1aa219，2或4(舍去)正实数a的最小值为4.3C因为22224，当且仅当且 ，即ab1时，取“”号4B第一列货车到达B市的时间为 h，由于两列货车的间距不得小于2 km，所以第17列货车到达时间为8，当且仅当，即a100 km/h时成立，所以最快需要8 h5A618解析由x0，y0,2xy6xy，得xy26(当且仅当2xy时，取“”)，即()2260，(3)()0.又0，3，即xy18.故xy的最小值为18.74 解析过原点的直线与f(x)交于P、Q两点，则直线的斜率k0，设直线方程为ykx，由得或P(，)，Q(，)或P(，)，Q(