北京市东城区2015-2016学年高一下期末考试数学试卷含答案

北京市东城区 2015年下学期高 一 期末考试 数学 试卷 本试卷共 100 分，考试时长 120 分钟。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 不等式 2 23的解集是 A. | 1 3 B. | 3 1 C. | 3 1x x x 或 D. | 1 3x x x 或 2. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦和西游记若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（ 1）班本学期领到三国演义和水浒传的概率为 A. 23B. 12C. 14D. 163. 已知 0，则 A. 2a B. 2ab b C. 22 D. 22 4. 某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元 /件）负相关，则其回归方程可能是 A. 1 0 2 0 0 B. 10 200 C. 1 0 2 0 0 D. 10 200 5. 已知非零向量 , 不共线，且 1=3A ，则向量 = A. 12+33B B. 21+33B C. 12B D. 14B 6. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的 S 的值为 A. B. 0 C. 1 D. 3 7. 已知 差 d 不为零，前 n 项和是3 4 8,a a A. 130 , 0a d B. 130 , 0a d C. 130 , 0a d D. 130 , 0a d 8.九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（ 1 匹 =40 尺，一丈 =10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 30 天算，则每天增加量为 A. 12尺 B. 815尺 C. 1629尺 D. 1631尺 第二部分 （非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 9. 某学院 A， B， C 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院 A 专业有 380 名学生， B 专业有 420 名学生，则该学院 C 专业应抽取 _名学生 . 10. 如图所示，在边长为 1 的正方形中，随机撒豆子，其 中有 1000 粒豆子落在正方形中， 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 _. 11. 若非零向量 a， b 满足 , ( 2 ) 0a b a b b ，则 a 与 b 的夹角为 _. 12. 设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 c o s c o s s c B a A，则 A 的度数为 _. 13. 已知 0, 0，且 满足 134，则 最大值为 _. 14. 已知平面向量 a， b 和 c 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量 a 的分解有如下四个命题： 给定向量 b，总存在向量 c，使 a=b+c； 给定向量 b 和 c，总存在实数和，使 a= b+ c； 给定单位向量 b 和正数，总存在单位向量 C 和实数，使 a= b+ c； 给定正数和，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a= b+ c. 则所有正确的命题序号是 _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本题满分 8 分） 在平面直角坐标系 ，点 A（ B（ 3,2）， D（ 以线段 邻边作平行四边形 求 （ I）点 C 的坐标； （ 行四边形 面积 . 16. （本题满分 9 分） 已知数列 足143, 2 4，数列 2 2，且 等差数列 . （ I）求数列 （ 数列 n 项和。 17.（本题满分 9 分） ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 s i n 3 c o a B . （ I）求角 B 的大 小； （ 3 , s i n 2 s i A，求 a， c 的长 . 18. （本题满分 9 分） 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取 8 天的数据如下： 甲公司某员工 A： 32 33 33 35 36 39 33 41 乙公司某员工 B： 42 36 36 34 37 44 42 36 （ I）根据两组数据完 成甲、乙两个快递公司某员工 A 和某员工 B 投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工 A 和员工 B 投递快递件数作比较，写出一个统计结论： 统计结论： _ （ 根据甲公司员工 A 和乙公司员工 B 分别随机抽取的 8 天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。 19.（本题满分 9 分） 已知关于 x 的不等式 ( 1 ) ( 2 ) 2a x x 的解集为 A，且 3 A . （ I）求实数 a 的取值范围； （ 集合 A. 20.（本体满分 8 分） 对于项数为 m 的有穷数列 12m a x , , , ( 1, 2 , , )a a a k m，即, , ka a 称数列 如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. （ I）若各项均为正整数的数列 ,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列 （ 设 m=100 ，若 | 2 4 |， 制 数 列 ， 求1 1 2 2 1 0 0 1 0 0( ) ( ) ( )b a b a b a 的值； （ 足1k m ka b C（ C 为常数， 1, 2, ,） . 求证： ( 1 , 2 , , )a k m. 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 出符合题目要求的一项 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C A B A C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 题号 9 10 11 12 13 14 答案 40 20 90 3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15. （本题满分 8 分） 解：（ I） ( 4 , 4 ) , ( 2 , 1 )A B A D ， ( 2 , 5 )A C A B A D ，点 C 的坐标为（ 1,3） . 4 分 （ 4 2 , 5A B A D. 10c o s ,10A B A A A D . 3 1 0s i n , 10A B A D . s i n , 1 2A B C B A D A B A D . 8 分 16. （本题满分 9 分） 解：（ I）设等比数列 q，由题意得3 4124 83aq a ，解得 2q . 所以 111 3 2 ( 1 , 2 , )a q n . 3 分 设等差数列 公差为 d， 所以4 4 1 1( ) 3b a b a d 2 2 4 ( 4 3 ) 3 d d . 5 分 所以11( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 2a b a n d n n . 从而 12 3 2 ( 1 , 2 , ) n n 6 分 （ （ I）知 12 3 2 ( 1 , 2 , )n n . 数列 2 n 的前 n 项和为 (3 )2n n，数列 132n 的前 n 项和为 123 3 ( 2 1 ) 3 2 312 n . 9 分 所以，数列 n 项和为 ( 3 ) 3 2 32 nn n . 17.（本题满分 9 分） 解：（ I） s i n 3 c o a B ，由正弦定 理可得 s i n s i n 3 s i n c o A B . 2 分 A ， B . 3 分 3B . 4 分 （ ，由正弦定理得 2， 5 分 由余弦定理 2 2 2 2 c o sb a c a c B ， 得 229 4 2 2 c o a a a . 7 分 解得 3a . 8 分 2 2 3 . 9 分 18.（本题满分 9 分） 解：（ I）某员工 A 和某员工 B 投递快递件数的茎叶图如下： 统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工 B 投递快递件数的平均值高于甲公司某员工 （其它正确的结论照样给分） 4 分 （ 事件公司某员工 A 在抽取的 8 天中，第 i 天投递的快递件数”， 事件公司某员工 B 在抽取的 8 天中，第 i 天投递的快递件数”， i=1,2， 8. 设事件 C 为“甲公司某员工 A 比乙公司某员工 B 投递的快递件数多” 5 4 6 2 6 3 6 4 6 5 6 8 8 2 8 3 8 4 8 5 8 8C A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B U A B因此1 2 3() 6 4 1 6. 8 分 因此可以估计甲公司员工比乙公司 员工该月投递快递件数多的概率为 316. 9 分 19.（本题满分 9 分） 解：（ I） 3 A ，当 3x 时，有 ( 1 ) ( 2 ) 2a x x ，即 3 1 2a . 1a ，即 a 的取值范围是 |1. 3 分 （ 2( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) 2 0 ( 2 1 ) 0a x x a x x a x a x 4 分 当 a=0 时，集合 |0A x x； 5 分 当 12a时，集合 1| 0 2A x ； 6 分 当 12a时，原不等式解集 A 为空集； 7 分 当 1 02 a 时，集 合 1| 2 0A x ； 8 分 当 01a时，集合 1| 0 2A x x 或. 9 分 20. （本题满分 8 分） 解：（ I）数列 ,3,4,5,1； 2,3,4,5,2； 2,3,4,5,3； 2,3,4,5,4； 2,3,4,5,5. 2 分 （ | 2 4 |， 1 1 2 22 ,