2017_18学年高中数学第二章2.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案.docx

3.3空间两点间的距离公式1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)基础初探教材整理空间两点间的距离公式阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.1.长方体的对角线：(1)连线长方体两个顶点A，C的线段AC称为长方体的对角线.(如图239)图239(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d.2.空间两点间的距离公式：(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|.(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|.空间直角坐标系中，点A(3,4,0)和点B(2，1,6)的距离是()A.2 B.2 C.9 D.【解析】|AB|.【答案】D小组合作型求空间两点间的距离已知ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5).(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度.【精彩点拨】本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可.【自主解答】(1)由空间两点间距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最短边是|BC|，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为，AC边上中线的长度为.1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.再练一题1.如果点P在z轴上，且满足|PO|1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是_.【解析】由题意得P(0,0,1)或P(0,0，1)，所以|PA|，或|PA|.【答案】或求空间中点的坐标已知A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|. 【导学号：39292123】【精彩点拨】解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标.【自主解答】由空间两点的距离公式得|AB|，当x时，|AB|有最小值.此时A，B.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.再练一题2.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)，B(1,0，3).在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【解】假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使MAB为等边三角形.由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|MB|成立，所以只要再满足|MA|AB|，就可以使MAB为等边三角形.因为|MA|，|AB|2.于是2，解得y.故y轴上存在点M，使MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，0)或(0，0).探究共研型空间两点间距离公式的应用探究1如图2310，以棱长为a的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.图2310【提示】当点P为体对角线AB的中点时，点P的坐标是.因为点Q在线段CD上，故设Q(0，a，z).则|PQ|.当z时，|PQ|取得最小值，且最小值为a.即当点Q为棱CD的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为a.探究2在上述问题中，当点Q为棱CD的中点，点P在体对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值.【提示】因为点P在体对角线AB上运动，点Q是定点，所以当PQAB时，|PQ|最短.连接AQ，BQ，因为点Q为棱CD的中点，所以|AQ|BQ|，所以QAB是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最小值为a.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a).(1)MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小.【精彩点拨】本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决.【自主解答】(1)平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB、BC、BE两两垂直.以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则M，N，|MN|.(2)|MN|，当a时，|MN|min.合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.再练一题3.如图2311，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA13，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DPa，当a为何值时，NP的长最小？图2311【解】如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则D(0,0,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，M(2,1,0)，N(1,2,3)，设点P的坐标为(x，y,0)，则x2y(0y1).|NP|，所以当y时，|NP|取最小值，此时a，所以当a时，NP的长最小.1.在空间直角坐标系中，设A(1,2，a)，B(2,3,4)，若|AB|，则实数a的值是()A.3或5B.3或5C.3或5D.3或5【解析】由题意得|AB|，解得a3或5，故选A.【答案】A2.已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】由距离公式得：|AB|，|AC|，|BC|，|AC|2|BC|2|AB|2，ABC为直角三角形.【答案】C3.已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标为_.【解析】P在z轴上，可设P(0,0，z)，由|PA|PB|，解得z3.【答案】(0,0,3)4.点A(1，t,0)和点B(1t,2,1)的距离的最小值为_.【解析】|AB|，当t1时，|AB|的最小值为.【答案】5.如图2312，已知正方体ABCDABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且AN3NC，试求MN的长. 【导学号：39292124】图2312【解】以D为原点，建