初三数学二次函数知识点总结

.初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：;.1. 二次函数的概念： 一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这2里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数数a0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实2. 二次函数yaxbxc 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式2ya xhk 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，ka0向下h ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随x=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k xh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x=hx 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax2 的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：y=ax 2向上(k0)【或向下 (k0)【或左 (h0) 【或左( h0) 【或下( k0) 【或下 (k0)【或左 (h0)】平移 |k| 个单位y=a (x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位，yax 2bxc 变成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2bxc 变成ya( xm)2b(xm)c （或 ya(xm) 2b( xm)c ）2四、二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较从解析式上看，2ya xhk 与 yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2yaxb 2a24acb2 4a，其中 hb ，k 2a24acb4a五、二次函数yaxbxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya(xh) 2k ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、 与 y 轴的交点0，c、以及0 ，c关于对称轴对称的点2h，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数yax2bxc 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为bx，顶点坐标为2ab4acb2，2a4a当 xb 2a2时， y 随 x 的增大而减小；当xb 时， y 随 x 的增大而增大；当x 2ab 时， y 有最小2a值 4acb4abb4acb2b2. 当 a0 时， 抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a，当 x2a4a时， y 随2ax 的增大而增大；当xb时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab时， y 有最大值2a4acb24a七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：ya(xh)k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式：ya(xx1)( xx2) （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即的这三种形式可以互化.2b4ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数yax2bxc 中， a 作为二次项系数，显然a0 a 决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴ab 的符号的判定：对称轴x“左同右异”b 在 y 轴左边则 ab 2a0 ，在 y 轴的右侧则ab0 ，概括的说就是3. 常数项 cc 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2bxc0 是二次函数yaxbxc 当函数值y0 时的特殊情况 .121212图象与 x 轴的交点个数：2 当b4ac0 时，图象与x 轴交于两点a x ，0，b x ，0(xx) ，其中的x ，x是一元二次方2程 axbxc0 a0 的两根 这两点间的距离abx2x12b4ac . 当0 时，图象与 x 轴只有a一个交点； 当0 时，图象与x 轴没有交点 .1当a0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0 ； 2当a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有y0 2. 抛物线yax2bxc 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数断图象的位置，要数形结合；yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y(m2) x2m 2m2 的图像经过原点，则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykxb 的图像在第一、 二、三象限内， 那么函数 ykx 2bx1 的图像大致是 （）yyyy110x-1 ox0x0 1 x abcd3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)， (4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。34. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线yax23bxc （ a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2（ 1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （ 1）二次函数2yaxbxc 的图像如图1，则点cm (b,)a在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c（ a 0）的图象如图2 所示， ?则下列结论：a、b 同号；当x=1和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）a 1 个b 2 个c 3 个d4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a， b， c 之间的关系，是解决问题的关键2例 2. 已知二次函数y=ax +bx+c 的图象与x 轴交于点 (-2 ，o)、(x 1，0) ，且 1x 12，与 y 轴的正半轴的交点在点 (o，2) 的下方下列结论： abo； 4a+co，其中正确结论的个数为( )a 1个b. 2个 c. 3个 d 4 个答案： d会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=2 ，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2 ，则抛物线的顶点坐标为( )a(2， -3)b.(2，1)c(2， 3)d (3 ， 2)答案： c1例 4、已知抛物线y=2x 2+x- 5 2（ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（ 2）若该抛物线与x 轴的两个交点为a、b，求线段ab的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数yx24 x7 的顶点坐标是 ()2a.(2, 11)b.（ 2， 7）c.（ 2， 11）d.（ 2， 3）2. 把抛物线y2x向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）a. y2( x1)2b.y2( x1) 2c.y2 x 21d.y2x213. 函数ykx2k 和 yk ( k x0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()4. 已知二次函数yax 2bxc( a0) 的图象如图所示, 则下列结论 : a,b 同号 ; 当 x1 和 x3 时, 函数值相等 ; 4ab0 当 y2 时,x 的值只能取0. 其中正确的个数是 ()a.1 个b.2个c. 3个d. 4个5. 已知二次函数yax 2bxc( a0) 的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2bxc0 的两个根分别是x11.3和x2（） . b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函数yax2bxc 的图象如图所示，则点(ac,bc) 在（）a第一象限b第二象限c第三象限d 第四象限7. 方程2 xx22x的正根的个数为（）a.0 个b.1个c.2个.3个8. 已知抛物线过点a(2,0),b(-1,0),与 y 轴交于点 c, 且 oc=2.则这条抛物线的解析式为a. yx2c.yx2x2x2 或b.yx2x2d.yx2yx2x2x2 或yx2x2二、填空题9. 二次函数yx2bx3 的对称轴是x2 ，则 b 。10. 已知抛物线y=-2 （ x+3 ） 2+5 ，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .11. 一个函数具有下列性质：图象过点（1， 2），当 x 0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。12. 抛物线y2( x2) 26 的顶点为c，已知直线ykx3 过点 c，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数 y2 x24 x1 的图象是由y2x2bxc 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移2 个单位得到的 , 则 b=,c=。14. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段ab上离中心m处 5 米的地方，桥的高度是( 取 3.14).三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是(1) 求这个二次函数的解析式;x30 , 图象经过 (1,-6),且与 y 轴的交点为 (0,5 ).2(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0?(3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 ?第 15 题图16. 某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t （秒）符合关系式hv0t1 gt 22（ 0t 2），其中重力加速度g 以 10 米/ 秒 2 计算这种爆竹点燃后以v 0=20 米/ 秒的初速度上升，（ 1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（ 2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17. 如图，抛物线yx2bxc 经过直线yx3 与坐标轴的两个交点 a、b，此抛物线与x 轴的另一个交点为c，抛物线顶点为d.（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）点 p 为抛物线上的一个动点，求使s apc ： s acd5 ：4 的点 p的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理） 当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x（元）， 该经销店的月利润为y（元）（ 1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（ 2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围） ；（ 3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（ 4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由练习试题答案一，选择题、1 a 2 c 3 a 4 b5 d6 b7 c8 c二、填空题、9 b410 x -3 11如 y2x24, y2 x4 等（答案不唯一）12 113 -8 71415三、解答题15 (1) 设抛物线的解析式为yax2bxc , 由题意可得b32aabc6151255解得 ac2,b3, c2所以 y2x3x22(2)x1 或-5(2)x316（ 1）由已知得，1520t1102t 2 ，解得 t13, t 21 当t3 时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米（ 2）由题意得，h5t 220t 5(t2)220 ，可知顶点的横坐标t2 ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒