点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题 2 分)1. 集合 x 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( )2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )3. 实数集合中的开集 ,只能是开区间 ,或若干个开区间的并 .( )4. t1、t2 是 x 的两个拓扑，则t1ut 2 是一个拓扑 .( )5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ ）6. 从（ x， t1）到（ x， t2）的恒同映射必是连续的。 （ ）7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()8. 设t 1,t 2 是集合 x 的两个拓扑，则t 1t 2 不一定是集合 x 的拓扑( )9. 从拓扑空间 x 到平庸空间 y 的任何映射都是连续映射（）10. 设 a为离散拓扑空间x 的任意子集，则 da（ ）11. 设 a 为平庸空间 x（ x 多于一点） 的一个单点集， 则da（）12. 设 a 为平庸空间 x 的任何一个多于两点的子集， 则d ax（） 二填空题： (每空格 3 分)1、x=z+,t=z 1,z2,zn, 其中zn=n,n+1,n+2,则包含 3 的所有开集为z 1 , z 2 , z3包含 3 的所有闭集为z , z/ , z / , z /,.1456包含 3 的所有邻域为z1, z 2 , z 3 , 1z 3设 a=1,2,3,4,5则 a 的导集为 1,2,3,4，a 的闭包为 1,2,3,4,52、设 x 为度量空间 ,xx, 则 d（ x ）=3、在实数空间 r中，有理数集 q的导集是 r .4、 xd ( a)当且仅当对于 x 的每一邻域 u 有;答案：u( a x)5、设 a是有限补空间 x 中的一个无限子集，则d( a) =;a =;答案： x ； x6、设 a是可数补空间 x 中的一个不可数子集，则d ( a) =;a =;答案： x ； x7 、设 x1,2, 3,x 的拓扑 t x , 2, 2,3, 则 x 的子集a1, 2的内部为;答案： 2三、单项选择题（每题2 分）1、已知 x a, b, c, d ,e , 下列集族中，（）是 x 上的拓扑 .tx , a,a,b,a, c, etx , a, b,c,a, b, d,a,b,c, et x , a, a,bt x , a, b, c,d, e答案：2、已知 x a, b, c,d，拓扑t x , a, 则b=（）x b b, c, d答案：3、已知 x a, b, c,d，拓扑t x , a, 则 a=（）x a,b b, c, d答案：4、设xa,b,c,d，拓扑t x , a,b, c, d, 则 x 的既开又闭的非空真子集的个数为（） 1 2 3 4答案：5、设 xab, ，拓扑 t x , b, 则x 的既开又闭的子集的个数为 （） 0 1 2 3答案：6、在实数空间中，有理数集q 的内部 q是（） q r - q r答案：7、在实数空间中，有理数集q 的边界(q ) 是（） q r - q r答案：8、在实数空间中，整数集z 的内部 z是（）z r- z r答案：9、在实数空间中，整数集z 的边界(z ) 是（）z r- z r答案：10、在实数空间中，区间0,1) 的边界是（） 0,1 0,1 (0,1)答案：11、设 x 是一个拓扑空间， a, b 是x 的子集, 则下列关系中错误的是（）d ( ab)d ( a)d ( b)ababd( ab)d ( a)d (b)aa答案:12、已知 x 是一个离散拓扑空间，a 是 x 的子集 , 则下列结论中正确的是（）d ( a)d ( a)xad (a)ad ( a)x答案：13、已知 x 是一个平庸拓扑空间，a 是 x 的子集, 则下列结论中不正确的是（） 若 a, 则d ( a) 若 a x0 , 则d( a)xa 若 a= x1, x2 , 则d ( a)x 若 ax ,则d ( a)x答案：14、设 xa,b,c,d，令 b ,a,b,c, cd, 则由b 产生的 x 上的拓扑是（） x , c,d,c, d,a, b, c x,c,d,c, d x , c,a, b, c x , d,b, c,b, d,b, c, d答案：15、离散空间的任一子集为() 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：16、平庸空间的任一非空真子集为() 开集 闭集 即开又闭 非开非闭答案：17、实数空间 r中的任一单点集是() 开集 闭集 既开又闭 非开非闭答案：18、实数空间 r的子集 a =1,1 , 1 ,231 , 则 a （）4 r a 0 a答案：19、在实数空间 r中，下列集合是闭集的是（） 整数集a, b 有理数集 无理数集答案：20、在实数空间 r中，下列集合是开集的是（） 整数集 z 有理数集 无理数集 整数集 z 的补集 z答案：21、已知 x1,2,3上的拓扑 t x , 1, 则点 1 的邻域个数是（） 1 2 3 4答案：22、已知 x a, b , 则x 上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个 3个 4个答案：23、在实数下限拓扑空间r 中，区间 a,b) 是（） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：24、设 x 是一个拓扑空间，a, bx , 且满足d ( a)ba , 则b 是（） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭答案：四.证明题 (52 分):1. 设 x 有拓扑t1 , t2,.tn ,ni 1 ti也是拓扑 .证:(1) x,t i ,i1,2 ,. n ,x,nttni1i( 2 )a , bi1i ,a , bt i ,i1 . n.nabt i , i1 . n ,abnti1it( 3 )i1i ,1 . n ,tt, itiat i , itnat1 . n ,aatnti1itaat i , i1 . n ,aai1 tin所以i1 ti也是拓扑 .2. 度量空间中收敛序列的极限是唯一的.证:设度量空间 x 中序列 xi iz有： lim xix, lim xiyii若 xy则 b(x, (x , y)/3) b(y, (x , y)/3)=.对于 b( x , (x , y)/3),存在 n1 0,当 i n1 时有 xib(x , (x , y)/3)对于 b( y , (x , y)/3),存在n 2 0,当 i n 2 时有 xib(y , (x , y)/3)取 n=maxn1 ,n 2 , 则当 i n 时有 xib(x , (x , y)/3)b( y , (x , y)/3)与 b(x , (x , y)/3) b(y , (x , y)/3)=.矛盾3. 设 x 是一个拓扑空间 ,b 是一个基 , xx, 则 bx=b b | xb 是点 x 处的一个邻域基.见 p.82 定理 2.6.74. 在欧氏平面r2 中令 y