高中数学 221等差数列精品课件同步导学 新人教B版必修5.ppt

2 2等差数列 2 2 1等差数列 1 数列 an 的前4项为 1 1 3 5 则其一个通项公式为 2 若数列 an 的通项公式是an 5n 1 则其前5项依次为 第10项为3 若 an 满足a1 3 an 1 an 4 则该数列的前4项依次为 a2 a1 a3 a2 a4 a3 其通项公式an an 2n 3 6 11 16 21 26 51 3 7 11 15 4 4 4 4n 1 1 等差数列的定义如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差都等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 二 同一个常数 公差 d 3 等差中项 1 如果三个数x a y组成 那么叫做和的等差中项 2 如果a是x和y的等差中项 则a 4 从函数角度认识等差数列若数列是等差数列 首项a1 公差d 则an f n a1 n 1 d nd a1 d 由此可看出 1 an是n的函数 2 点 n an 落在直线上 3 这些点的横坐标每增加1 函数值增加 等差数列 a x 一次 y dx a1 d d 5 等差数列的性质 1 等差数列的项与序号的关系 n m am an an 1 an k 1 d cd 2d pd1 qd2 如果 an 是公差为d的等差数列 那么 d与 an 的单调性有什么关系 提示 等差数列的公差决定了数列的单调性 当d 0时 an 是递增数列 当d 0时 an 是递减数列 当d 0时 an 是常数列 不是递增数列 也不是递减数列 在等差数列 an 中 已知a5 11 a8 5 求a10 思路点拨 先求出首项和公差 写出通项公式 再求a10 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 如果条件与结论间的联系不明显 则均可化成有关a1 d的关系列方程组求解 但是 要注意公式的变形及整体计算 以减少计算量 1 本例中 将条件改为已知a5 11 an 1 d 2 如何求n 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义 an 1 an d d为常数 也可以用an 1 an an an 1 n 2 进行判断 本题属于 生成数列问题 关键是形成整体代换的思想方法 运用方程思想求通项公式 三个数x y z成等差数列的充要条件是x z 2y 即若已知x y z成等差数列 则2y x z 反之要证x y z成等差数列 则只要证x z 2y即可 3 已知a b c成等差数列 那么a2 b c b2 c a c2 a b 是否构成等差数列 解析 a b c成等差数列 a c 2b 又a2 b c c2 a b 2b2 c a a2c c2a ab a 2b bc c 2b a2c c2a 2abc ac a c 2b 0 a2 b c c2 a b 2b2 c a 即a2 b c b2 c a c2 a b 能构成等差数列 思路点拨 既可以用等差数列的性质得到a2 a10 a3 a9 2a6 也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解 方法一运用了等差数列的性质 若m n p q 2w 则am an ap aq 2aw m n p q w都是正整数 方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算 属于通性通法 两种方法都运用了整体代换及方程的思想 4 1 在等差数列中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求数列的通项公式 2 设为等差数列 若a3 a4 a5 a6 a7 450 求a2 a8 梯子的最高一级宽33cm 最低一级宽110cm 中间还有10级 各级的宽度成等差数列 计算中间各级的宽度 思路点拨 由题意可知 问题就是已知数列的首 末两项和项数 求中间其它项 因此 先求通项公式 在实际问题中 若涉及到一组与顺序有关的数的问题 可考虑利用数列方法解决 若这组数依次成直线上升或下降 则可考虑利用等差数列方法解决 在利用数列方法解决实际问题时 一定要分清首项 项数等关键问题 5 甲虫是行动较快的昆虫之一 下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度 1 你能建立一个模型 表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗 2 利用建立的模型计算 甲虫1min能爬多远 它爬行49cm需要多长时间 1 理解等差数列的定义需注意的问题 1 注意定义中 从第2项起 这一前提条件的两层含义 其一 第1项前面没有项 无法与后续条件中 与前一项的差 相吻合 其二 定义中包括首项这一基本量 且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差 2 注意定义中 每一项与它的前一项的差 这一运算要求 它的含义也有两个 其一是强调作差的顺序 即后面的项减前面的项 其二是强调这两项必须相邻 3 注意定义中的 同一常数 这一要求 否则这个数列不能称为等差数列 2 判断一个数列是否为等差数列的常用方法 1 定义法 an an 1 d 常数 n 2且n n 等价于 an 是等差数列 2 等差中项法 2an an 1 an 1 n 2且n n 等价于 an 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b为常数 n n 等价于 an 是等差数列 3 等差数列与一次函数的关系 已知等差数列 an 2 5 8 与等差数列 bn 1 5 9 它们的项数均为40项 则它们有多少个数值相同的项 错解 由已知两等差数列的通项公式为 an 3n 1 bn 4n 3 1 n 40 且n n 令an bn 得3n 1 4n 3 即n 2 两数列只有一项数值相同 即第2项 错因 本题中所说数值相同的项 它们的项数并不一定相同 因此 我们所关心的是这个数在两个数列中有没有出现过 而不关心它在数列中的位置 答案 c 答案 a 3 等差数列中 已知a3 10 a8 20 则公差d 答案 6 4 1 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 2 四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 解析 1 方法一 设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 依题意 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故三个数为 2 2 6或6 2 2 方法二 设首项为a 公差为d 这三个数分别为a a d a 2d 依题意 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4