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两个向量的数量积 习题课 四小结 空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质 空间向量数量积的运用 空间向量的夹角 一 复习提问 1 空间两个向量和的数量积如何表示 其结果是向量还是实数 2 前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题 二 练习 线线垂直问题 1 如图 三角形ABC是正三角形 AE和CD都垂直于平面ABC AE AB 2a CD a F是BE的中点 求证 AFBD 练习P35 证明 如图 已知正方体ABCD A B C D CD 和DC 相交于点O 连结AO 求证AO CD 解 三 例题讲解 1 利用向量的数量积可以证明两直线垂直 因而也可以证明线面垂直问题 例1 正方体中 E F分别是的中点 求证 分析 要证明线面垂直 只需证明直线和已知平面内的两条相交直线垂直即可 本题可考虑证明 2 应用可证明两直线垂直 利用可求线段的长度 我们还可以利用求两条异面直线所成的角 例2 空间四边形ABCD中 AB 2 BD 4 BC 3 CD 2 求AB与CD所成角的余弦值 分析 1 已知AB分别与BD所成的角 故可考虑把AB与CD所成的角的问题转化为AB分别与BC和BD所成角的问题 2 解 A B C D D E 例 如图所示 已知线段AB在平面 内 线段AC 线段BD AB 线段DD 交 于D DBD 30 如果AB a AC BD b 1 求C D间的距离 2 求异面直线DC BD 所成的角 运用二 求线段长度常把线段表示成向量形式 然后通过向量运算求解 运用三 常运用向量数量积的变形公式求异面直线所成的角 解 2 前面我们学过了利用两个向量的数量积解决立体几何中的哪些类型的问题 小结 到目前为止 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题 1 证明两直线垂直 2 求两点之间的距离或线段长度 3 证明线面垂直 4 求两直线所成角的余弦值等等 1 已知线段AB BD在平面 内 BD AB 线段AC 如果AB a BD b AC c 求C D间的距离 练习P35 解 即A B和B C的夹角为 已知正方体ABCD A B C D 的棱长为a 求 1 A B和B C的夹角 2 A B AC 用异面直线所成的角易解 已知正方体ABCD A B
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