高考数学总复习 第8单元第3节 圆的方程课件 文 苏教版.ppt

第三节圆的方程 1 圆的标准方程 1 方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 表示圆心为 半径为 的圆的标准方程 2 特别地 以原点为圆心 半径为r r 0 的圆的标准方程为 a b r x2 y2 r2 基础梳理 不表示任何图形 2 圆的一般方程方程x2 y2 dx ey f 0可变形为2 2 故有 1 当d2 e2 4f 0时 方程表示以 为圆心 以 为半径的圆 2 当d2 e2 4f 0时 方程表示一个点 3 当d2 e2 4f 0时 方程 3 p x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆外 2 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆上 3 若 x0 a 2 y0 b 2 r2 则点p在圆内 4 求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤 1 根据题意 选择 或一般方程 2 根据条件列出关于 或 的方程组 3 解出 或 代入 或 标准方程 a b r d e f a b r d e f 标准方程 一般方程 1 必修2p100练习第2题改编 与x轴相切 且圆心为 2 1 的圆的标准方程 x 2 2 y 1 2 1 基础达标 解析 由题意知 圆的半径为1 又圆心为 2 1 故圆方程为 x 2 2 y 1 2 1 2 若圆c的半径为1 圆心在第一象限 且与直线4x 3y 0和x轴都相切 则该圆的标准方程是 解析 由题意 设圆心 x0 1 1 解得x0 2或x0 舍去 所求圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 1 x 2 2 y 1 2 1 3 已知d是由不等式组所确定的平面区域 则圆x2 y2 4在区域d内的弧长为 解析 直线x 2y 0与2x y 0相交于原点 且互相垂直 故圆x2 y2 4在区域d内的弧长为该圆周长的四分之一 即为 4 必修2p100练习第6题改编 圆x2 y2 2x 4y 1 0关于直线2ax by 2 0 a b r 对称 则ab的取值范围是 解析 直线过圆心 2a 2b 2 0 即a b 1 1 a b 2 a2 2ab b2 4ab ab 例1 求过点a 2 3 b 2 5 且圆心在直线x 2y 3 0上的圆的方程 解 圆心在直线x 2y 3 0上 故可设圆心为m 2b 3 b 所求圆的标准方程为 x 2b 3 2 y b 2 r2 再由 ma mb 得 2b 3 2 2 b 3 2 2b 3 2 2 b 5 2 解得b 2 于是圆心为m 1 2 半径 ma 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 10 经典例题 例2 已知方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t4 9 0 t是实数 表示的图形是圆 1 求实数t的取值范围 2 求其中面积最大的圆的方程 分析 本题所给的方程是圆的一般方程 需要根据它表示圆的充要条件判断t的范围 也可以把它转化为标准方程 再进行处理 题型二与圆有关的参数问题 解 1 半径的平方为r2 4 t 3 2 4 1 4t2 2 4 16t4 9 7t2 6t 1 0 所以 t 1 2 因为r 所以当t 时 半径取最大值 此时面积最大 所对应的圆的方程为2 2 例3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求x2 y2的最大值和最小值 分析 根据代数式的几何意义 借助于平面几何知识 数形结合求解 题型三与圆有关的最值问题 解 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时 解得k 如图1 所以的最大值为 最小值为 2 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 如图2 又圆心到的原点的距离为 2 所以 x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 已知x y满足x2 y2 1 则的最小值为 解析 利用数形结合法 表示圆上的点p x y 与点q 1 2 连线的斜率 所以的最小值是直线pq与圆相切时的斜率 设直线pq的方程为y 2 k x 1 即kx y 2 k 0 由 1得k 的最小值为 变式3 1 例4 某工程设计一条单行隧道 其横截面如图所示 下部abcd为长8m 高2m的矩形 上部是圆弧的一部分 欲使宽6m 高3m的大型货车刚好能通过 求拱顶e距离路面ab至少需多少m 分析 如图 该大型货车pqmn刚好能通过 表明点m在圆弧上 又因为点c在圆弧上 因此 可建立适当的坐标系 根据题中的条件 求出圆的方程 则e点的纵坐标可求 题型四圆的方程的建模 解 以ab中点为原点o ab所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 如图 则c 4 2 m 3 3 设圆弧所在圆的方程为x2 y b 2 r2 则 即所求圆的方程为x2 y 1 2 25 令x 0代入方程解得y 4或 6 舍去 所以拱顶e距路面ab至少需4m 某河上有一座圆拱桥 其跨度为30m 圆拱高为5m 一船宽为10m 上载有货物 水面到船顶高为4m 问该船能否顺利通过该桥 变式4 1 建立如图所示的直角坐标系 则圆心在y轴上 设圆心坐标为 0 a 半径为r 则圆的方程为x2 y a 2 r2 代入点 0 5 15 0 得 该圆方程为x2 y 20 2 625 因为船宽10m 高4m 所以判断该船能否通过该桥 即判断点a 5 4 与圆的位置关系 52 4 20 2 601 625 5 4 在圆内 即该船能顺利通过该桥 1 2010 天津 已知圆c的圆心是直线x y 1 0与x轴的交点 且圆c与直线x y 3 0相切 则圆c的方程为 知识准备 1 会求直线与x轴的交点坐标及点到直线的距离公式 链接高考 2 知道当直线与圆相切时 圆的半径就是圆心到这条直线的距离 解析 令y 0得x 1 所以直线x y 1 0与x轴的交点为 1 0 因为直线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即r 所以圆c的方程为 x 1 2 y2 2 2 2