【绿色通道】高考数学总复习 210变化率与导数 导数的计算课件 新人教A版.ppt

1 导数的概念 1 函数y f x 在x x0处的导数一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 2 导函数当x变化时 f x 称为f x 的导函数 则f x 注意f x 及f x0 的区别 f x 是一个函数 f x0 是常数 f x0 是函数f x 在点x0处的函数值 导数研究在x x0处及其附近函数的改变量 y与自变量的改变量 x之比的极限 它是一个局部性的概念 若存在 则函数y f x 在x x0处就有导数 否则就没有导数 2 导数的几何意义函数y f x 在x x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线的 过点p的切线方程为 斜率 y y0 f x0 x x0 3 基本初等函数的导数公式 1 c c为常数 2 xn n n 3 sinx 4 cosx 5 ex 6 ax 7 lnx 8 logax 0 nxn 1 cosx sinx ex axlna 4 导数运算法则 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 关于导数的加减法则 可推广到有限多个的情况 如 f x g x h x f x g x h x 等 5 复合函数的导数设函数u x 在点x处有导数u x 函数y f u 在点x的对应点u处有导数y f u 则复合函数y f x 在点x处也有导数 且y x 或写作f x x y u u x f u x 答案 b 解析 y x2 2x y x 1 1 切线的倾斜角为 答案 b 3 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等实根且f x 2x 2 则y f x 的表达式是 解析 根据题意 知方程f x 0有两个相等实根 可设f x a x b 2 f x 2a x b 2a x b 2x 2 2a 2 2ab 2 a 1 b 1 f x x 1 2 答案 f x x 1 2 4 函数y 的导数为 例1 一物体在某一受力状态下的位移s t 单位 m 与运动时间t 单位 s 的关系为 s t t3 t 0 1 利用导数的定义求s t 2 求该物体在t 2秒时的瞬时速度v 2 1 会根据定义求导数 2 注意导数的意义的应用 如导数的几何意义是切线的斜率 位移关于时间t的导数为瞬时速度 速度v t 关于时间t的导数为加速度 变式迁移1用导数的定义求函数y x2 ax b a b为常数 的导数 思路分析 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成 求导时 可设出中间变量 注意要逐层求导不能遗漏 每一步对谁求导 不能混淆 2 设u 2x 3 则y 2x 3 5由y u5与u 2x 3复合而成 y f u u x u5 2x 3 5u4 2 10u4 10 2x 3 4 解 1 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 或y 3x3 4x 2x 1 3x3 4x 2x 1 9x2 4 2x 1 3x3 4x 2 24x3 9x2 16x 4 2 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 例3 已知函数f x x3 x 16 1 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线的方程 2 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 3 如果曲线y f x 的某一切线与直线y x 3垂直 求切点坐标与切线的方程 解 1 可判定点 2 6 在曲线y f x 上 f x x3 x 16 3x2 1 f x 在点 2 6 处的切线的斜率为k f 2 13 切线的方程为y 13 x 2 6 即y 13x 32 根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法 灵活运用x x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键 由导数的几何意义可知 点 x0 f x0 处的切线方程为y f x0 x x0 f x0 变式迁移3 2009 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 点p在曲线c y x3 10 x 3上 且在第二象限内 已知曲线c在点p处的切线的斜率为2 则点p的坐标为 解析 由曲线c y x3 10 x 3 得y 3x2 10 又根据导数的几何意义 得3x2 10 2 所以x 2 又点p在第二象限内 所以x 2 即点p的横坐标为 2 将x 2代入曲线方程 得y 15 所以点p的坐标为 2 15 故填 2 15 答案 2 15 答案 c 变式迁移4如图 函数f x 的图象是折线段abc 其中a b c的坐标分别为 0 4 2 0 6 答案 2 2 1 根据导数的定义 求函数y f x 在点x0处导数的方法 2 曲线的切线 1 准确理解曲线的切线 需注意的两个方面 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征 直线与曲线只有一个公共点 则直线不一定是曲线的切线 同样 直线是曲线的切线 则直线可能与曲线有2个以上的交点 曲线未必在其切线的 同侧 如曲线y x3在其过 0 0 点的切线y 0的两侧 2 曲线的切线的求法若已知曲线过点p x0 y0 求曲线的切线则需分点p x0 y0 是切点和不是切点两种情况求解 点p x0 y0 是切点的切线方程y y0 f x0 x x0 当点p x0 y0 不是切点时可分以下几步完成 第一步 设出切点坐标p x1 f x1 第二步 写出过p x1 f x1 的切线方程为y f x1 f x1 x x1 第三步 将点p的坐标 x0 y0 代入切线