吉林松原扶余第一中学高三数学 直线与圆的位置关系复习课件 新人教A

直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 知识回顾 直线方程的一般式为 2 圆的标准方程为 3 圆的一般方程 圆心为 半径为 Ax By C 0 A B不同时为零 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 Dx Ey F 0 其中D2 E2 4F 0 圆心为半径为 a b r 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 圆和圆的位置关系 外离 内切 外切 内含 相交 2 4 3 0 1 d R r d R r R r d R r d R r 0 d R r 公切线长 知识点拨 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 问题1 你知道直线和圆的位置关系有几种 知识点拨 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 知识点拨 直线与圆的位置关系的判断方法 一般地 已知直线Ax By C 0 A B不同时为零 和圆 x a 2 y b 2 r2 则圆心 a b 到此直线的距离为 则 例1如图4 2 2 已知直线L 3x y 6 0和圆心为C的圆 判断直线L与圆的位置关系 如果相交 求它们交点的坐标 分析 方法一 判断直线L与圆的位置关系 就是看由它们的方程组成的方程有无实数解 方法二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系 判断直线与圆的位置关系 0 x y A B C L 图4 2 2 解法一 由直线L与圆的方程 得 消去y 得因为 所以 直线L与圆相交 有两个公共点 解法二 圆可化为 其圆心C的坐标为 0 1 半径长为 点C 0 1 到直线L的距离d 所以 直线L与圆相交 有两个公共点 由 解得 2 把 2代入方程 得 把 代入方程 得 所以 直线L圆相交 它们的坐标分别是 巩固练习 判断直线 x y 50与圆的位置关系 如果相交 求出交点坐标 解 因为圆心O 0 0 到直线 x y 50的距离d 10而圆的半径长是10 所以直线与圆相切 圆心与切点连线所得直线的方程为3x 4y 0解方程组 得切点坐标是 判断直线 x y 与圆的位置关系 解 方程经过配方 得圆心坐标是 半径长r 1 圆心到直线 x y 的距离是因为d r 所以直线 x y 与圆相切 已知直线L y x 6 圆 试判断直线L与圆 有无公共点 有几个公共点 解 圆 的圆心坐标是 半径长r 圆心到直线y x 6的距离所以直线L与圆 无公共点 试解本节引言中的问题 解 以台风中心为原点 东西方向为x轴 建立如图所示的直角坐标系 其中 取 km为单位长度 这样 受台风影响的圆形区域所对应的圆 方程为轮船航线所在直线L的方程为4x 7y 28 0问题归结为圆 与直线L有无公共点 点 到直线L的距离圆 的半径长r 3因为 所以 这艘轮船不必改变航线 不会受到台风的影响 x y 0 A B 归纳小结 直线与圆的位置关系的判断方法有两种 代数法 通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组 根据解的个数来研究 若有两组不同的实数解 即 则相交 若有两组相同的实数解 即 则相切 若无实数解 即 则相离 几何法 由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断 当dr时 直线与圆相离 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 将直线方程与圆的方程联立成方程组 利用消元法消去一个元后 得到关于另一个元的一元二次方程 求出其 的值 然后比较判别式 与0的大小关系 判断直线与圆的位置关系的方法2 代数法 若 0则直线与圆相交 若 0则直线与圆相切 若 0则直线与圆相离 反之成立 知识点拨 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 直线与圆的位置关系判断方法 一 几何方法 主要步骤 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相切 当d r时 直线与圆相交 把直线方程化为一般式 利用圆的方程求出圆心和半径 知识点拨 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 把直线方程与圆的方程联立成方程组 求出其 的值 比较 与0的大小 当 0时 直线与圆相交 二 代数方法 主要步骤 利用消元法 得到关于另一个元的一元二次方程 知识点拨 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 典型例题 已知直线l kx y 3 0和圆C x2 y2 1 试问 k为何值时 直线l与圆C相交 脑筋转一转 问题 你还能用什么方法求解呢 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 一只小老鼠在圆 x 5 2 y 3 2 9上环行 它走到哪个位置时与直线l 3x 4y 2 0的距离最短 请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线l的距离 请你来帮忙 知识反馈 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 典型例题 例1 直线l过点 2 2 且与圆x2 y2 2x 0相切 求直线l的方程 直线与圆的位置关系 返回 结束 下一页 典型例题 例2 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 在y x上截得弦长为 求此圆的方程 解 设该圆的方程是 x 3b 2 y b 2 9b2 圆心 3b b 到直线x y 0的距离是 故所求圆的方程是 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 r 3b 比较 几何法比代数法运算量少 简便 例1 过点P 1 1 的直线L与圆M x 3 2 y 4 2 4 1 当直线和圆相切时 求切线方程和切线长 2 若直线的斜率为2 求直线被圆截得的弦AB的长 3 若圆的方程加上条件x 3 直线与圆有且只有一个交点 求直线的斜率的取值范围 培养学生用数形结合的思想优化解题程序 用运动变化的观点分析解决问题的能力 例2 在圆 x 1 2 y 2 2 8上到直线 的距离为的点有 个 运用点到直线的距离解决直线与圆的关系问题 将学生思维引向更高层次 在 x 1 2 y 1 2 R2的圆上是否存在四个点到直线AB 3x 4y 3 0的距离等于 开放性问题 给出这个问题的用意是开拓学生的思维 让学生从多角度思考问题 培养学生的创新能力 直线与圆部分练习题 1 从点P x 3 向圆 x 2 2 y 2 2 1作切线 则切线长度的最小值是 A 4B C 5D 5 5 2 M 3 0 是圆x2 y2 8x 2y 10 0内一点 则过点M最长的弦所在的直线方程是 A x y 3 0B 2x y 6 0C x y 3 0D 2x y 6 0 3 直线l xsina ycosa 1与圆x2 y2 1的关系是 A 相交B 相切C 相离D 不能确定 4 设点P 3 2 是圆 x 2 2 y 1 2 4内部一点 则以P为中点的弦所在的直线方程是 B C B x y 5 0 5 直线x y a 0与y 有两个不同的交点 则a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 D 6 一圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且在直线y x上截得的弦长为 求此圆方程 答 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 高考荟萃 全国理 过原点的直线与圆相切 若切点在第三象限 则该直线的方程是 C 2002年全国文 若直线 a x y 1 0与圆相切 则a的值为 D 例2 已知圆的方程是 求经过圆上一点的切线的方程 所求的切线方程是 因为点M在圆上 所以 经过点M的切线方程是 解 当M不在坐标轴上时 设切线的斜率为k 则k 当点M在坐标轴上时 可以验证 上面方程同样适用 整理得 例2 已知圆的方程是 求经过圆上一点的切线的方程 解法二 当点M不在坐标轴上时 当点M在坐标轴上时 同解法一一样可以验证 设切线方程为 y y0 k x x0 整理成一般式 利用点到直线的距离公式求k 代入所设方程即可 例2已知圆的方程是 求经过圆上一点的切线的方程 P x y 由勾股定理 OM 2 MP 2 OP 2 解法三 利用平面几何知识 按求曲线方程的一般步骤求解 如图 在Rt OMP中 x0 x y0y r2 小结 1 过圆x2 y2 r2上一点 xo yo 的切线方程为xox yoy r22 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点 xo yo 的切线方程为 x a x x0 y b y y0 r23 过圆x2 y2 r2外一点 xo yo 的作圆的切线 两切点的连线的直线方程为xox yoy r24 过圆 x a 2 y b 2 r2外一点 xo yo 的作圆的切线 两切点的连线的直线方程为 x a x x0 y b y y0 r2 1 已知点P x y 是圆x2 y2 4上任意一点 求 1 2x 3 2 x 2 2 y 3 2 3 y x 4 的取值范围 2 已知一个圆C与y轴相切 圆心C在直线l1 x 3 0上 且在直线l2 x y 0上截得的弦长为 求圆C的方程 3 已知圆C x2 y 4 2 4 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程 4 已知点P是圆x2 y2 4上一动点 点Q 4 0 求线段PQ中点的轨迹 5 直线l过点P 0 2 且被圆x2 y2 4截得弦长为2 求l的斜率 与y轴交于A B两点 与x轴 的一个交点为P 求 APB的大小 2 已知圆 x 3 2 y 4 2 4与直线y kx相交于P Q两点 则 OP OQ 3 已知A 1 2 是圆 x 2 2 y 4 2 10内的一个点 求过点A且被A平分的圆的弦所在直线l的方程 4 已知圆C满足 截y轴所得弦长为2 被x轴分成两段圆弧 其弧长之比为3 1 圆心到直线l x 2y 0的距离为 求这个圆的方程 1 若实数x y满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最大值 2 已知P 2 0 Q 8 0 点M到点P的距离是它到点Q的距离的1 5 求M的轨迹方程 并求轨迹上的点到直线l 8x y 1 0的最小距离 3 已知P x y 为圆x2 y2 6x 4y 12 0上的点 1 求的最小值 2 求x2 y2的最大值与最小值 4 已知圆C x2 y2 2x 4y 4 0 问 是否存在斜率为1的直线使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点 若存在 写出直线方程 二 例题讲解 例1 过点P 2 3 作圆C x 4 2 y 2 2 9的两条切线 切点分别为A B 求 1 经过圆心C 切点A B这三点的圆的方程 2 直线AB的方程 3 线段AB的长 3 过两圆x2 y2 6x 4 0和x2 y2 6y 28 0的交点且圆心在直线x y 4 0上的圆方程是 A x2 y2 x 5y 2 0 B x2 y2 x 5y 2 0 C x2 y2 x 7y 32 0 D x2 y2 x 7y 32 0 4 已知圆C x a 2 y 2 2 4 a 0 及直线l x y 3 0当直线l被C截得的弦长为时 则a A B