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欢迎光临曹开清网站 （/）两角和与差的正弦公式的有趣证明江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式如图1(a)，在一个边长为ab的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c2现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a2b2因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有 a2b2c2，亦即证明了勾股定理我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的现在将上面两个图“压扁”，成为图2：如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin()，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其面积之和是msinncosmcosnsin与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin()msinncosmcosnsin，化简得sin()sincossincos，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！二、无意中导出两角差的正弦公式邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我题目是这样的：如图，ADBD，ACD，ABD，BCa，则AD_他的答案是，但他的老师给他打了个“”我问他是怎么做的？他马上写了起来：在ABC中，BCa，ABC，BAC，根据正弦定理，得， 即在RtACD中， 我说对啊！他却说老师的正确答案是：解题过程如下：在RtABD中，；在RtACD中，所以，即我看了一下，完全正确那他的老师为什么说他错呢？我动了一下笔，既然两个答案都正确，那么应该有，化简，得我告诉他，他的答案与老师的答案，本质上是一致的，但老师没有发现两者的关系，应该和老师沟通一下同时，他在不经
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