一级倒立摆的模糊控制系统设计毕业论文.doc

一级倒立摆的模糊控制系统设计毕业论文目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.2倒立摆的发展21.3模糊控制理论的产生21.4本论文的主要工作3第2章 倒立摆的数学模型42.1一级倒立摆的模型42.2 一级倒立摆的可控性分析72.3 本章小结7第3章 模糊控制83.1模糊控制的背景知识83.2 模糊控制基本思想83.2.1 模糊集合及其运算93.2.2 模糊集合的运算93.3 模糊逻辑及近似计算113.3.1 模糊逻辑113.3.2 近似推理113.3.3 合成运算方法的选择123.3.4 句子连接关系的逻辑运算123.4 本章小结13第4章 模糊控制系统设计144.1 模糊控制器的基本结构和组成144.2 模糊控制的机构介绍154.2.1 单输入-单输出模糊控制器结构154.2.2 多输入-多输出模糊控制器164.3 一级倒立摆的模糊控制器的设计174.3.1 模糊控制器的设计步骤174.3.2 模糊控制器的结构设计174.3.3 模糊控制器规则的设计174.4精确量的模糊化194.5 模糊推理及解模糊方法194.6模糊控制规则表204.7论域、量化因子、比例因子的选择214.7.1 论域及基本论域214.7.2量化因子及比例因子214.8本章小结22第5章 MATLAB仿真研究235.1 MATLAB软件的介绍235.2 SIMULINK工具箱和模糊逻辑工具箱235.3 一级倒立摆模糊控制系统仿真245.3.1 一级倒立摆系统模块建立245.3.2 模糊控制器的设计255.4 倒立摆系统仿真325.4.1 倒立摆系统的仿真图325.4.2 仿真结果335.5 本章小结34结论35参考文献37致谢39附录42III第1章 绪论第1章 绪论1.1 课题背景倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生了各式各样的倒立摆:有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的1。倒立摆系统已成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台，本设计主要针对直线倒立摆进行研究。 目前，国内外专家学者主要研究一下两个方向：(1) 倒立摆系统的稳定控制研究；(2) 倒立摆的自起摆控制研究。就目前的结果来看大部分有集中在第一个方面，即倒立摆控制系统的稳定性研究。目前大致方法分为：线性控制，预测控制，智能控制三大类。现阶段几种较为广泛的控制方法为：PID控制，状态反馈控制，线性二次型(LQR),模糊控制等2。在研究倒立摆这类多变量非线性系统的模糊控制时，一个难题就是规则爆炸(RuleEPxofsino)，一级倒立摆的控制涉及的状态变量共有4个，每个变量的论域作7个模糊集的模糊划分，这样，完备的推理规则库会包含74=2401个推理规则；而对于二级倒立摆有6个状态变量，推理规则会达到76=117649，显然如此多的规则是不可能实现的。为了解决这个问题，提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。将这一方法推广到倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系 统模糊控制时的规则爆炸问题。应用分级思想，将x，4个状态变量分成两个子系统，分别用两个模糊控制器控制，然后来协调子系统之间的相互作用。本文模仿人类简化问题的思路，将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略嵌套，通过分离变量的方法设计末控制器3。1.2倒立摆的发展早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年schaefet和cannon应用bang-bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战的课题之一。直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广泛的研究，虽然在许多方面都取得了较为满意的效果，但其控制方法过多地依赖于线性后的数学模型，故对一般工业过程特别是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能力。由于模糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用合适的方法处理一级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制理论一级倒立摆的中心问题之一4。清华大学的张乃尧等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的探制器。当控制器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数呈指数增加，不仅使模粗控制器的设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。张乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好地解决了上述问题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对其它模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。通过传统的控制理论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题；通过仿真寻优和重复度验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的最优参数，采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻5。1.3模糊控制理论的产生随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制系统精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。然而由于一系列原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强耦合、较大的随机干扰、过程机理错综复杂、各种不确定性以及现场测量手段不完善等，难以建立被控对象的精确模型。虽然自适应控制技术可以解决一些问题，但范围有限的6。于是需要探索出新的理论与方法。LAZadeh教授提出的模糊集合理论，其核心是对复杂的系统或过程建立一种语言分析的数学模式，使自然语言能直接转化为计算机所能接受的算法语言。模糊集合理论的诞生，为处理客观世界中存在的一类模糊性问题，提供了有力的工具。同时，也适应了自适应科学发展的迫切需要。正是在这种背景下，作为模糊数学一个重要应用分支的模糊控制理论便应运而生了7。1.4本论文的主要工作本论文简单介绍倒立摆系统控制发展过程和国内外发展现状；研究了一级倒立摆数学模型的建立；并用牛顿定律推导了倒立摆的数学模型。运用模糊控制的控制方法对倒立摆系统进行研究，并借助MATLAB语言以及SIMULINK进行仿真，在做了大量仿真研究工作的基础上，进行了硬件的调试，软件的编写和调试，对倒立摆控制中遇到的问题进行分析和讨论8。第1章综述倒立摆系统控的类型，并对其国内外的研究现状和发展趋势进行了阐述。第2章介绍单级倒立摆系统的数学模型的建立。第3章介绍古典控制理论、现代控制理论在倒立摆系统中的应用。第4章是有关模糊控制的各种知识的详细介绍。第5章是本论文重点，这一章详细介绍倒立摆系统的模糊控制算法设计以及仿真过程中各类参数和因子的确定，最后是对倒立摆系统模糊控制的仿真全过程。3第2章 倒立摆的数学模型第2章 倒立摆的数学模型2.1一级倒立摆的模型图2-1 倒立摆结构在考虑空气流动、小车与导轨之间的摩擦力对倒立摆的影响之后，可将倒立摆抽象成小车和匀质杆，如图22所示。图22是系统中小车和摆竿的受力分析图，其中N 和P分别为小车和摆竿相互作用力的水平和垂直方向的分量。要求摆角的摆动不超过0.35rad。表2-1 一级倒立摆系统参数符号意 义实际数值M小车质量1.096 kgm摆竿质量0.109 kgb小车的摩擦系数50N/Sl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25 mI摆杆惯量0.0034 kg*m*mF 加在小车上的力X小车位置 小车速度 摆杆与垂直向上方向的夹角图2-2 小车与倒立摆受力分析图应用牛顿力学进行受力分析，小车在水平方向的受力情况是 (2-1)摆杆在水平方向的受力情况是 (2-2)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程: (23)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程: (24)力矩平衡方程如下： (25)注意：由于，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： (26)设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理：，。 用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下： (27)传递函数的推导对方程组(27)进行拉普拉斯变换，得到 (28)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出是角度，求解方程组（28）的第一个方程，可以得到 (29)把上式代入方程组（28）的第二个方程，得到 (210)整理后得到传递函数： (211)其中 系统状态空间方程为方程组（27）对，解代数方程，得到解如下：(212)整理后得到系统状态空间方程： (213)代入表2-1中的参数可以得到： 2.2 一级倒立摆的可控性分析通过对一级倒立摆的建模分析，得到一级倒立摆的数学模型，并且在平衡点附近线性化得到系统的状态方程，便可以分析以及倒立摆在平衡点附近的能控性。由已知的矩阵A，B在MATLAB环境下求得系统的极点为：0;-0.0781;5.2727;-5.2779，由此可以看出，系统有两个特征值位于坐标系的左半平面，因此系统是不稳定的。系统的能控矩阵P的秩为4，根据线性系统的可控性判据可知，一级倒立摆系统在平衡点附近为完全可控的。2.3 本章小结本章详细讨论了一级倒立摆系统的数学模型，并推导出倒立摆系统在平衡位置附近的线性方程，并且对倒立摆系统的稳定性和可控性进行了分析。39第3章 模糊控制第3章 模糊控制3.1模糊控制的背景知识模糊集合和模糊控制的概念是由美国加里福利亚大学著名教授L.A.Zadeh在其Fuzzy Sets，Fuzzy Algorithm和A Rtionale for Fuzzy Control等著名论著中首先提出来的。模糊集合的引入，可将人的判断、思维过程用比较简单的数学形式直接表达出来，从而使对复杂系统作出合乎实际的、符合人类思维方式的处理成为可能，为经典模糊控制器的形成奠定了基础9。为了加快模糊控制理论的研究，1972年，以日本东京大学为中心，发起成立了“模糊系统研究”。1974年在加里福利亚大学的美日研究班上，进行了有关“模糊集合及其应用”的国际学术交流。1978年在国际上开始发行Fuzzy Sets and Systems专业杂志。1984年IFSA(International Fuzzy System Association)正式成立，并已召开了几届国际模糊系统会议。从1992年起，IEEE Fuzzy Systems国际会议每年举办一次10。我国对模糊控制的理论与应用起步较晚，但发展较快，诸如在模糊控制、模糊辨别、模糊聚类分析、模糊图像处理等都取得了不小的影响。1979年李宝綬、刘志俊等人开始用连续数字仿真方法研究典型模糊控制器的性能，随后一些高校及科研单位的专家与学者都加入到研究队伍中。同时，在模糊控制应用方面也取得了显著成果。1986年，都志杰等人用单片机研制了工业用模糊控制器，随后一些学者相继将模糊控制方法成功地应用在碱熔反应温度、气炼机等系统中。可以预想模糊控制理论的不断完善，其应用领域将会更加广泛。3.2 模糊控制基本思想模糊控制以模糊集合论模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制。它由一定的先验知识来构造模糊控制规则，通过一系列不精确的控制来达到精确的控制目的。模糊控制的基本思想就是模拟人的决策行为进行控制，它提供了一个控制机理，可以将手动控制规则转化为要实现的控制算法，模糊控制把人类专家对特定的被控对象或过程的控制策略总结成一系列以“If(条件)Then(作用)”形式表示的控制规则，通过模糊推理得到控制作用集，作用于被控对象或过程。控制作用集为一组条件语句，状态语句和控制作用均为一组被量化了的模糊语言集。如“正大”，“负大”，“正小”，“负小”，“零”等。3.2.1 模糊集合及其运算(1) 集合、元素与论域集合理论是现代数学的基础。通常把具有一定范围的并有同一属性的确定对象组成的全体成为集合。把组成集合的每个对象叫做集合的元素，用小写字母a，b，x，y等表示，而用大写字母A，B等表示集合。把被讨论的对象的全体叫做论域。论域U上的集合A指A的元素都是U的元素。从论域U中任意指定一个元素u及U上的集合A。如果u是集合A的一个元素，则说“元素u属于集合A”，记u属于A。如果u不是集合A的一个元素，则说“元素u不属于集合A”。在普通集合中，元素u与集合A的关系是：要么u属于A，要么u不属于A，二者必居其一。论域U中的一个模糊集合F，是指对于任意的U，指定数0，1，称为对F的隶属程度，映射称为F的隶属函数。: 完全属于F 完全不属于F 不完全不属于F其中：论域U为一个可能是离散或连续的集合。3.2.2 模糊集合的运算(1) 模糊集合相等如果集合A里的元素属于B，集合B里的元素也属于A，则说明集合A和B相等，记作A=B。(2) 模糊集合的包含关系若有两个模糊集合A和B，对于所有的xX,均有 A(x) B(x)，则A包含于B或A是B的子集，记作。(3) 模糊空集若对所有x X，均有 A(x)0，则称A为模糊空集，记作A=.(4) 模糊集合的并集若有三个模糊集合A、B和C ,对于所有的x X，均有则称C为A与B的并集，记作CAB。(5) 模糊集合的交集若有三个模糊集合A、B和C,对于所有的x X，均有则称C为A与B的并集，记作CAB。(6) 模糊集合的补集若有两个模糊集合A和B，对于所有的x X，均有，则称B为A的补集，记为。(7) 模糊集合的直积。若有两个模糊集合A和B，其论域分别为X和Y，则定义在空间X Y上的模糊集合A B为A和B的直积，其隶属度函数为模糊集合运算的基本性质(1) 分配律(2) 结合律 (3) 交换律 (4) 幂等律 (5) 同一律 其中X表示论域全集，表示空集。(6) 达摩根律 3.3 模糊逻辑及近似计算3.3.1 模糊逻辑定义命题：能够判定真、假的陈述句。模糊命题：指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。模糊逻辑：用来研究模糊命题的逻辑。若P、Q、R为三个模糊命题，则定义如下：逻辑补： 和取： 析取： 蕴涵：如果P为真，则Q也为真 等价： 限界积： 限界和： 限界差： 运算(1) 常规运算法则：1P = 1 0P = P 0P = 0 1P =0(2) 互补运算：3.3.2 近似推理前件：若A则B后件：若B则C结论：若A则C模糊逻辑推理法：以模糊命题(判断)为前提，运用模糊语言规则，推出一个新的模糊命题(判断)。近似推理前提1：如果x是A,则y是B(记为AB)。前提2：如果x是A，结论：y是其中R模糊蕴含关系，算符“ ”代表合成运算。3.3.3 合成运算方法的选择通常可以采用如下4种不同方法。(1) 最大最小合成法(2) 最大代数积合成法(3) 最大有界积合成法=(4) 最大强制积合成法 在模糊控制的应用中，最常用的是第1和第2两种方法，即最大最小和最大积合成法。原因是这两种方法计算比较简单。尤其是实时性要求很高的控制问题，这是一个首要考虑的因素。本论文采用的均为第一种方法。3.3.4 句子连接关系的逻辑运算(1) 句子连接词“and”模糊条件的假设部分是将模糊命题用“and”连接起来的。一般情况下可以有多个“and”将多个模糊命题连接在一起。(2) 句子连接词“also”如果规则为：如果x是Ai and y是Bi,则z是Ci (i =1,2,3. )，这些规则之间无先后次序之分。连接这些句子的连接词用“also”。对于“also”的运算具有能够任意交换和任意结合的性质。3.4 本章小结本章介绍了模糊控制的相关知识，包括模糊控制的基本思想、逻辑集合运算和模糊逻辑关系，为建立模糊控制器打下基础。第4章 模糊控制算法设计第4章 模糊控制系统设计4.1 模糊控制器的基本结构和组成模糊控制器的基本结构如图41 所示图4-1 模糊控制器的结构图模糊控制器的三项重要功能：(1)把系统的偏差，从数字量转化为模拟量(模糊化、数据库实现)；(2)对模糊量按给定的规则进行模糊推理(规则库、模糊推理实现)；(3)把推理结果的模糊输出量转化为实际系统能够接受的精确数字量或模拟量(解模糊实现)。(1) 模糊化作用是将输入的精确量转化成模糊化量。其中输入量包括外界的参考输入、系统的输出或状态等。过程如下：(1)对这些输入量进行处理以变成模糊控制器要求的输入量。(2)将上述处理过的输入量进行尺度变换，再使其变换到各自论域范围。(3)已经变换到论域范围的输入量进行模糊处理，使原先精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集合来表示。2. 模糊控制算法是模糊控制器的核心，它具有模拟人的基于模糊概念的推理能力，所以具有很大的认为判定因素，该推理过程是基于模糊逻辑中的蕴含关系及推理规则来进行的。3. 模糊判决（解模糊）是将模糊推理得到的控制量(模糊量)变换为实际用于控制的清晰量。它包含一下两部分内容：将模糊的控制量经解模糊变成表示在论域范围的清晰量。将表示在论域范围的清晰量经尺度变换变成实际的控制量。4.2 模糊控制的机构介绍4.2.1 单输入-单输出模糊控制器结构1. 一维单输入单输出模糊控制器的输入量只有一个，称为一维模糊控制器，如图42 所示。一维模糊控制器的输入变量往往选择为受控变量和输入给定的偏差e。由于仅仅采用偏差值，很难反映受控过程的动态特性品质，因此所能获得的系统动态性能是不能令人满意的。这种控制器的结构简单，但往往被采用于一阶被控对象。图中 e为系统误差，u控制器输出，y系统输出。图4-2 一维单输入一维单输出模糊控制器2. 二维单输入单输出模糊控制器二维单输入单输出模糊控制器结构如图43 所示图4-3 二维单输入-单输出模糊控制二维模糊控制器的两个输入变量基本上都采用受控变量的输入偏差e和偏差的变化，由于它们能够严格地反映受控过程中输出变量的动态特性，因此在控制效果上要比一维模糊控制器好得多，也是目前采用较广泛的一类模糊控制器。3. 三维单输入单输出模糊控制器三维单输入单输出模糊控制器结构如图44 所示。三维模糊控制器的输入变量分别为系统偏差量、偏差变化量和偏差变化的变化率。由于这类模糊控制器结构较复杂，推理运算时间长，因此，除非对动态特性要求高的场合，一般较少使用。图4-4 三维单输入单输出模糊控制器4.2.2 多输入-多输出模糊控制器一个多变量模糊控制系统所采用的模糊控制器，往往具有多变量结构(如图4.5 所示)，称之为多变量模糊控制器(MVFC Multiple Variable Fuzzy Controller)，也称之为多输入多输出模糊控制器。被控对象U1UnY1.Y2图4-5 多输入-多输出模糊控制器由于此控制器存在模糊解耦问题，目前还没有一个公认的有效设计方法，因此目前还正处于研究阶段.本次课题中选择的是二输入一输出的模糊控制器。4.3 倒立摆的模糊控制器的设计4.3.1 模糊控制器的设计步骤模糊逻辑控制器(Fuzzy Logic Controller)简称模糊控制器(Fuzzy Controller)，因为模糊控制器的控制规则是基于模糊条件语句描述的语言控制规则，所以模糊控制器又称为模糊语言控制器。模糊控制器的设计包括以下几项内容：(1) 确定模糊控制器的输人变量和输出变量(即控制量)。(2) 设计模糊控制器的控制规则。(3) 确立模糊化和非模糊化(又称清晰化)的方法。(4) 选择模糊控制器的输人变量及输出变量的论域并确定模糊控制器的参数(如量化因子、比例因子)。4.3.2 模糊控制器的结构设计模糊控制器的结构设计实质确定模糊控制器的输入变量和输出变量.究竟选择那些变量作为模糊控制器的信息量,还必须深入研究在手动控制过程中,人如何获取、输出信息，因为模糊控制器的控制规则归根到底还是模拟人脑的思维决策方式。在手动过程中，人所能会的信息量基本为三个：误差、误差的变化，误差变化的变化，即误差变化的速率。一般来说，人对误差最敏感 ，其次是误差的变化，再次是误差变化的速率。对于本设计来说，我们确定,即实际位移与期望位移的差、实际速度与期望速度的差值、摆角的误差、角速度的误差这四个输入变量，加给小车的外力为输出变量，本课题采用了二输入一输出模糊控制器。4.3.3 模糊控制器规则的设计控制规则的设计是设计模糊控制器的关键，一般包括三部分设计内容：选择描述输入输出变量的词集，定义各模糊变量的模糊子集及建立模糊控制器的控制规则。1. 选择描述输入和输出变量的词集 模糊控制器的控制规则表现为一组模糊条件语句，在条件语句中描述输入输出变量状态的一些词汇（如“正大”、“负小”等）的集合，称为这些变量的词集（亦可以成为变量的模糊状态）。选择较多的词汇描述输入、输出变量，可以是制定控制规则方便，但是控制规则相应变得复杂。选择词汇过少，使得描述变量变得粗糙，导致控制器的性能变坏。所以要根据实际系统需要选择。本课题的控制对象是一级倒立摆系统，既要使倒立摆在垂直方向达到平衡，要使小车能够到达指定的位置，其中以控制倒立摆的平衡为主。因此，对，模糊集定义如下：，模糊集均为NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB的模糊集为NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB。2. 定义各模糊变量的模糊子集 定义一个模糊子集，实际上就是要确定模糊子集隶属函数曲线的形状。将确定的隶属函数曲线离散化，就得到有限点上的隶属度，便构成了一个相应的模糊变量的模糊子集。这五个变量的隶属度函数曲线均采用三角形隶属函数的图形。3. 建立模糊控制器的控制规则模糊控制器的控制规则是基于手动控制策略，而手动控制策略又是人们通过学习、试验以及长期经验积累而逐渐形成的，存贮在操作者头脑中的、一种技术知识集合。手动控制过程一般是通过对被控对象（过程）的一些观测，操作者再根据已有的经验和技术知识，进行综合分析并做出控制决策，调整加到被控对象的控制作用，从而使系统达到预期的目标。手动控制的作用同自动控制系统中的控制器的作用是基本相同的，所不同的是手动控制决策是基于操作系统经验和技术知识，而控制器的控制决策是基于某种控制算法的数运算。建立模糊控制规则语句的基本思想是,对系统过程的分析:在控制过程中被控量既有倒立摆的角度,又有小车的位移,并且两者之间存在彼此的关联,如倒立摆偏向右侧,则小车向右运动,而当小车向右运动超过某一范围后,倒立摆又开始向左侧偏,为了保持倒立摆的平衡,小车又随之向左运动,如此反复直到倒立摆和小车都回到指定位置并保持平衡.比如，当摆竿略偏向左侧，且它的角速度为零，为了使摆竿恢复垂直位置，对小车施加向左的略小的力就能使倒立摆垂直；当摆竿偏向右侧，偏角很大，且它的角速度偏向右，有增大趋势，就地对小车施加向右的很大的力，这样分析下去，就得到了以上的规则。而且根据趋势的强弱，选择不同程度的控制量。4.4精确量的模糊化将精确量(数字量)转换为模糊量的过程称为模糊化(fuzzification)或称为模糊量化。精确量只有经过模糊化处理，变为模糊量，才能便于实现模糊控制算法。1. 把精确量离散化 如把在控制力-16，16之间变化的连续量分为几个档次，每一档对应一个模糊集，这样处理使模糊化过程简单。否则，将每一精确量对应一个模糊子集，有无穷多个模糊子集，使模糊化过程复杂化。如果精确量x的实际变化范围为a, b，将a, b区间的精确量转化为-6，6区间变化的变量Y，采用如下公式 （41）由式4-1计算的y值若不是整数，可以把它归人最接近于y的整数。实际上的输入变量（如误差和误差的变化等）都是连续变化的量，通过模糊推理，把连续量离散为-6，6之间有限整数值的做法是为了使模糊推理合成方便。2. 第二种方法更为简单，它是将在某区间的精确量x模糊化成这样的一个模糊子集，它在点x处隶属度为1，除x点外其余各点的隶属度均取0，本文所采用的即是这种方法。这种模糊化方法只是形式上将清晰量转变成了模糊量，而实质上它表示的仍是准确量。在模糊控制中，当测量数据准确时，采用这样的模糊化方法是十分自然和合理的。4.5 模糊推理及解模糊方法模糊控制器的输出是一个模糊集合，它反映控制语言的不同取值的一种组合，如果被控过程只能够接受一个控制量，这就需要从输出的模糊子集判决出一个精确的控制量，也就是设计一个由模糊集合到普通集合的映射，这个映射称为判决。判决的方法很多，较常用的有下列几种。(1) 最大隶属度函数法最大隶属度法又称直接法，该方法是直接选择输出模糊子集的隶属度函数峰值为输出的确定值。若输出论域是E，输出模糊子集的逻辑“并”为 ，即其隶属度函数峰值是 （4-2）(2) 重心法：这种方法也称为质心法或面积中心法，是所有解模糊化法中最为合理的方法。该方法的数学表达式是： （4-3） (3) 加权平均法 加权平均法比较适合于输出模糊的隶属度函数是对称的情况，因此，在模糊控制系统中应用较广泛。其计算公式是： （为任选加权系数） （4-4）在本课题中采用的是重心法。4.6模糊控制规则表模糊控制规则，实质上是将操作者在控制过程中的实践经验（即手动控制策略）加以总结而得到模糊语句的集合，它是模糊控制器的核心。模糊控制表一般由两种方法获得，一种是采用离线算法，以模糊数学为基础进行合成推理，根据采样得到的误差、误差的变化,计算出相应的控制量变化，对所有的误差、误差的变化中元素的所有组合全部计算出相应的控制量变化值，可写成矩阵 。一般将这个矩阵制成表，称为查询表，也称为控制表。查询表由计算机事先离线计算好后，存于计算机内存中，实时控制过程中，根据模糊量化后的误差值及误差变化值，直接查找查询表以获得控制量的变化值,再乘以比例因子即可作为输出去控制被控对象。另一种是以操作人员的经验为依据，由人工经验总结得到模糊控制表。然而这种模糊控制表是非常粗糙的，引起粗糙的原因，是确定模糊子集时，完全靠人的主观而定，不一定符合实际情况，在线控制时有必要对模糊控制表进行在线修正。本课题采用两者相结合的方法，即首先离线计算出模糊控制表，然后在线调试时，再根据实际情况进行适当地修改。4.7论域、量化因子、比例因子的选择4.7.1 论域及基本论域模糊控制器的输人变量误差、误差变化的实际范围称为这些变量的基本论域。显然基本论域内的量为精确量。被控制对象实际要求的控制量的变化范围，称为模糊控制器输出变量（控制量）的基本论域，控制量的基本论域内的量也是精确量。若设误差变量所取的模糊子集的论域为n ，n1，.，0，.，n1，n 误差变化变量所取的模糊子集的论域为m ，m1，.，0，.，m1，m 控制量所取的模糊子集的论域为 l ， 1 + . l .，0，.， 1 . . l ，l 有关论域的选择问题，一般选误差的论域的n6，选误差变化的论域m6，选控制量的论域的l7。这是因为语言变量的词集多半选为七个（或八个），这样能满足模糊集论域中所含元素个数为模糊语言词集总数的二倍以上,确保诸模糊集能较好地覆盖论域，避免出现失控现象。可提高控制精度，但这受到计算机字长的限制，另外也要增大计算量。因此，把等级分得过细，对于模糊控制显得必要性不大。关于基本论域的选择，由于事先对被控对象缺乏先验知识,所以误差及误差变化的基本论域只能做初步的选择，待系统调整时再进一步确定。控制量的基本论域根据被控对象提供的数据选定。4.7.2量化因子及比例因子在控制系统中，误差以其变化率的实际变化范围，称为误差及其变化率语言变量的基本论域，分别记为-，。设误差的基本论域为-，以及误差所取的模糊集合的论域为X=-n,-n+1,，0，n-1，n，其中表征误差大小的精确量，n是在0e范围内连续变化的误差离散化（或量化）后分成的档数，它构成论域X的元素，一般常取n=6或7。在实际的控制系统中，误差的变化一般不是论域X中的元素，即n。在这种情况下，需要通过所谓量化因子进行论域变换。其中量化因子的定义是: (4-5)一旦量化因子选定，系统的任何误差总可以量化为论域X上的某一个元素。从式（4-5）给出的量化因子定义可见，一旦给定论域X，即选定论域-，的量化等级数n之后，量化因子的取值大小可使基本论域-，发生不同程度的缩小与放大，即当大时，基本论域-，缩小，而当小时，基本论域-，放大，从而降低了误差控制的灵敏度。同理，对于误差变化率的基本论域-,，若选定构成论域Y=-n，-n+1，0，n-1，n的元素的量化档数n，则误差变化率的量化因子定义为： （4-6）对于系统控制量的变化u，基于量化因子的概念，定义： （4-7）其中，-u, u为控制量变化的基本论域；n为基本论域-u, u的量化档数。从式（4-7）可见，比例因子与量化档数n之积便是实际加到被控过程上去的控制量的变化u。注意，比例因子若过大，则会造成被控过程阻尼的下降；相反，若取得过小，则将导致被控过程的响应特性迟缓。4.8本章小结本章对倒立摆的模糊控制方法进行了研究，分析了模糊控制器的基本结构和组成，介绍了精确量的模糊化，模糊控制算法的设计以及输出信息的模糊判决方法。第5章 MATLAB仿真研究第5章 MATLAB仿真研究5.1 MATLAB软件的介绍MATLAB软件于1984年由美国的Math Works公司推出，该软件提供了丰富的数值分析、矩阵运算、图形绘制、数据处理能、图像处理等功能，此外，针对不同的应用学科，MATLAB还推出了三十多个应用工具箱，如控制系统工具箱、模糊控制工具箱、神经网络工具箱等。目前，它已经成为国际控制界最为广泛流行的语言之一。本节在MATLAB7.0的基础之上，介绍了SIMULINK工具箱及模糊逻辑工具箱的功能，并介绍如何使用SIMULINK工具箱和模糊逻辑工具箱相结合的方法对一级倒立摆系统进行仿真设计，使其达到预期目标。5.2 SIMULINK工具箱和模糊逻辑工具箱SIMULINK工具箱是MATLAB软件的扩展，主要用于动态系统的建模和仿真。SIMULINK的目的就是让用户能把更多的精力投入到模型设计本身。SIMULINK模块库中提供了建立系统模型所需的大部分模块，进入MATLAB环境后，只需键入SIMULINK命令可以打开该模块库，用户可以根据自己的系统选择所需的模块，将其用鼠标拖到自己的系统模型中，然后用鼠标划线连起来，就构成了系统的SIMULINK描述。系统模型建好后，可以根据系统的不同需要，设置或更该模块的参数，然后打开仿真菜单（Simulation），设置仿真参数，启动仿真过程。仿真结束后，可以通过输出示波器（Scope）或plot绘图函数观察系统的仿真输出。模糊逻辑工具箱包括了进行模糊分析与模糊系统设计的各种途径。工具箱提供了生成和编辑模糊推理系统（FIS）常用的工具函数，如news、add mf、add rule等，它包含了生成新的FIS、给FIS加入隶属度函数、规则等功能，用户可以用命令调用这些函数生成新的FIS。工具箱还提供了图形用户界面（GUI）编辑函数，利用它用户可以更直观迅速地生成FIS。在MATLAB环境中键入fuzzy，敲回车键，屏幕上就会出现一个基本的FIS编辑器，用户可以在窗口菜单中修改它的各种特性，如改变输入/输出的变量数、编辑隶属度函数、编辑模糊规则等，从而生成新的FIS。5.3 一级倒立摆模糊控制系统仿真5.3.1 一级倒立摆系统模块建立由第1章中数学模型的建立我们可以知道倒立摆系统的状态方程为： 图5-1 倒立摆系统仿真模块图图5-1为倒立摆的SIMULINK仿真模块。图5-2 状态方程仿真内部数据图5-2为状态方程的内部数据，需要注意的是状态方程为一输入四输出方程，所以C矩阵输入的时候应该注意是44的矩阵。5.3.2 模糊控制器的设计本课题的目的就是要使倒立摆保持在竖直位置，小车稳定在平衡位置附近，这样，就得控制4个量，为了避免复杂，将采用2个模糊控制器串联控制。一个是位置控制，以小车位置和速度为输入，另一个是角度控制器，以角度作为输入，位置控制器的输出同时也作为角度控制器的输入，从而达到将2个控制器进行耦合的目的。（1）输入输出量的模糊分割对于时间问题输入的模块化是建立模糊推理的第一步，也就是选择系统的输入变量并根据其响应的隶属度函数来确定输入分别归属于恰当的模糊集合。在MATLAB模糊逻辑工具箱中，模糊化过程的输入必须是一个确定的数值，这也对输入变量的广泛性起到了一些限制作用，而输出则是一个特定的模糊集合上的隶属程度。输入的模糊化相当于一个对应的查表或是函数计算。当输入已经被模糊化后，就可以知道这些输入满足相应的模糊推理规则的程度。但是如果给定的模糊规则的条件部分不是单一输入，而是多输入，就需要运用模糊合成运算对这些多输入进行综合考虑和分析。经过模糊合成运算，这多个输入可以得到一个数值来表示对该多条件输入规则的综合满足程度，继而被用于输出函数中。模糊合成运算的输入对象是两个或多个经过模糊化后的输入变量的隶属度值，输入是一个唯一确定的数值。而且，任何完善合理的模糊合成方法都可以用与和或来实现。位置模糊控制器是二维模糊控制器，以小车位移误差和小车速度误差为该模糊控制器的输入。其输入-输出的SIMULINK图如图5-3所示。在MATLAB编辑界面输入FUZZY，则出现模糊控制器编辑图，设置一个二输入一输出的控制器。图5-3 模糊控制器输入-输出简图（2）输入输出量的模糊化位移误差，速度误差，控制输出均使用三角形隶属度函数，模糊化曲线如图5-4，5-5，5-6所示。图5-4 模糊控制器位移误差隶属函数图5-5 模糊控制器速度误差隶属函数图5-6模糊控制器输出隶属函数小车位置的模糊控制器采用二维控制器，小车的位移e和速度误差 为输入，u为输出。把位移偏差e和速度偏差以及输出的论域进行7级分割。位移偏差和速度误差以及输出均采用三角形隶属函数。输出量的模糊运算采用中心法。（3）模糊规则的制定模糊规则的推理采用Mamdani的max-min合成算法（如图5-7）。表5-1为模糊控制规则，一共是49条规则。图5-7 模糊控制器的规则编辑界面表5-1 小车位置模糊控制器的控制规则ueNBNMNSZEPSPMPBNBNBNBNBNMNMNSNSNMNBNBNMNMNSNSZENSNMNMNSNSZEPSPSZENMNSNSZEPSPSPMPSNSNSZEPSPSPMPMPMZEZEPSPSPMPMPBPBPSPSPMPMPBPBPB假设位移误差的实际范围为-0.6 0.6，则=60.6=10，速度误差实际范围为-1，1，则=6，本文只讨论平衡点附近的倒立摆的稳定，设输出量（虚拟角）实际范围为-0.18 0.18，则=0.186=0.03。在SIMULINK下搭建如图5-7所以的位置模糊控制器。图5-8 位置模糊控制器仿真图（3）角度模糊控制器 角度模糊控制器也是二维的控制器，把摆角偏差e和角速度误差作为输入，u作为输出，和位置模糊控制器一样，均采用三角形隶属函数。角度控制器采用Mamdani的max-min合成算法进行推理，使用重心法对输出进行解模糊运算，输出量即是施加在小车上的推力。把摆角偏差和角速度误差以及输出做7级分割，表示为NB NM NS ZE PS PM PB。角度模糊控制的e、u的设置和位置控制的一样，不同的是控制规则，角度模糊控制器的规则如表5-2.表5-2角度模糊控制规则ueNBNMNSZEPSPMPBNBNBNBNBNBNMZEZENMNBNBNBNMNMZEZENSNMNMNMNSZEPSPSZENMNMNSZEPSPMPMPSNSNSZEPSPMPMPMPMZEZEPMPMPBPBPBPBZEZEPMPMPBPBPB图5-8，5-9，5-10分别角度控制器的摆角误差，角速度误差和输出的仿真图。图5-9摆角误差隶属函数图5-10 角速度误差隶属函数图5-11 输出隶属函数假设摆角误差的实际范围为-0.3 0.3，则=20，角速度误差实际范围为-1.2 1.2，则=5，设输出量u实际范围为-60 60，则=10。如图5-8为角度模糊控制器的SIMULINK仿真结构图：图5-12 角度控制器仿真图5.4 倒立摆系统仿真5.4.1 倒立摆系统的仿真图如图为倒立摆系统模糊控制的SIMULINK仿真图：图5-13 倒立摆系统仿真图在MATLAB中运用readfis命令把编辑好的控制器和SIMULINK仿真图中的速度控制器和位置控制器连接起来。5.4.2 仿真结果小车位置示波器图如图5-14图5-14 位置仿真曲线纵坐标为小车偏离平衡位置的距离 ，横坐标为时间 。图5-15 角度仿真曲线纵坐标为摆杆偏离平衡位置的角度 ，横坐标为时间 。仿真过程中对该模型参数进行多次的寻优，得到如下仿真结果：仿真的初始条件:r=0，=0.lrad=5.7度。小车位移和速度曲线、摆角和角速度曲线和控制量曲线如图5-14和图5-15所示。仿真步长是1ms，仿真时间是12秒钟。从仿真曲线来看，摆角的最大角度在0.02rad以内，在9s左右达到平衡。小车位移偏离平衡位置的距离小，系统在8秒左右到了平衡位置。仿真证明:模糊控制器可以稳定一级倒立摆系统，而且响应速度快，可以用于倒立摆的实物系统控制。5.5 本章小结由仿真可以看出，最终小车和摆杆都达到了平衡位置，达到了设计要求，说明了系统的数学模型线性化处理在平衡位置有效，也说明了模糊控制能有效的控制倒立摆的平衡，设计的角度模糊控制器和位置模糊控制器是可行的。结论结论一级倒立摆是一个多输入、单输出、非线性、强耦合的动态对象，一级倒立摆运动过程是一个具有强干扰、非线性、时变、多变量的复杂过程。本文先以倒立摆系统为切入点，简单介绍倒立摆研究的历史背景及其发展状况，一级倒立摆的基本结构并且运用牛顿力学方程通过实验的方式详细介绍倒立摆的数学模型（包括非线性和线性化后的）。本文的综合分析：经典控制理论特别是现代控制理论已经在工业生产过程、军事科学以及航空航天等许多方面都取得了成功的应用。但是它有一个基本的要求：需要建立被控对象的精确数学模型。随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制系统控制精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。然而由于一系列原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强烈耦合、较大的随机干扰、过程激励错综