学海导航高考数学第一轮总复习6.3不等式的证明第3课时课件 文 广西专

1 第六章 不等式 2 6 3不等式的证明 第三课时 题型6用反证法证不等式 1 已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 证法1 假设三式同时大于 3 即有 1 a b 1 b c 1 c a 三式同向相乘 得 1 a a 1 b b 1 c c 又 1 a a 2 同理 1 b b 1 c c 所以 1 a a 1 b b 1 c c 因此与假设矛盾 故结论正确 证法2 假设三式同时大于 因为0 a 1 所以1 a 0 4 所以同理 都大于 三式相加得 矛盾 故假设不成立 从而原命题成立 点评 证明有关 至少 最多 唯一 或含有其他否定词的命题 可采用反证法 反证法的证题步骤是 反设 推理 导出矛盾 得出结论 5 已知a b c R 求证 a2 2c b2 2a c2 2b三个式子中至少有一个不小于 1 证明 假设三式都同时小于 1 即a2 2c 1 b2 2a 1 c2 2b 1 三式相加 得a2 2c b2 2a c2 2b 3 所以a2 2c b2 2a c2 2b 3 0 即有 a 1 2 b 1 2 c 1 2 0 这与 a 1 2 b 1 2 c 1 2 0 矛盾 故结论成立 6 2 已知a b R a2 b2 4 求证 3a2 8ab 3b2 20 证明 因为a b R a2 b2 4 所以可设a rcos b rsin 其中0 r 2 所以 3a2 8ab 3b2 r2 3cos2 4sin2 r2 5cos 2 arctan 5r2 20 所以原不等式成立 题型7用换元证不等式 7 点评 换元法一般有代数式的整体换元 三角换元等换元方式 换元时要注意新变元的取值范围 以及换元后的式子的意义 常用的换元有 若x2 y2 a2 可设x acos y asin 若可设x acos y bsin 若x2 y2 1 可设x rcos y rsin 0 r 1 8 已知1 x2 y2 2 求证 x2 xy y2 3 证明 设x rcos y rsin 且1 r 2 R 则由 1 sin2 1 得 1 sin2 又1 r2 2 所以 r2 1 sin2 3 即 x2 xy y2 3 拓展练习 9 3 求证 证明 令x R 则yx2 yx y x2 x 1 于是 y 1 x2 y 1 x y 1 0 1 若y 1 则x 0 符合题意 2 若y 1 则 式是关于x的一元二次方程 题型8判别式法证不等式 10 由x R 知 y 1 2 4 y 1 2 0 解得 y 3且y 1 综合 1 2 得 y 3 即点评 与二次式有关的不等式证明 可通过构造二次方程 然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围 就是所要证明的不等式 11 求证 证明 令则yx2 y 1 x y 1 0 1 当y 0时 得x 1 符合题意 2 当y 0时 则 式是关于x的一元二次方程 由x R 得 y 1 2 4y y 1 0 解得 1 y 且y 0 综合 1 2 得 1 y 所以 拓展练习 12 已知函数f x ln x 1 x 若x 1 证明 ln x 1 x 证明 令f x 0 得x 0 当x 1 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 题型不等式与函数的综合应用 13 所以f x 在区间 1 0 上是增函数 在区间 0 上是减函数 所以当x 1时 f x f 0 0 即ln x 1 x 0 故ln x 1 x 令则令g x 0 得x 0 当x 1 0 时 g x 0 当x 0 时 g x 0 14 所以g x 在 1 0 上是减函数 在 0 上是增函数 故当x 1时 g x g 0 0 即故综上知 15 1 在已知中如果出现两数相加等于一个正常数 可联想到公式sin2 cos2 1 进行三角换元 2 含有字母的不等式证明 可以化