山东乐陵第二中学高中数学 一元二次不等式及其解法课件 新人教B必修5

3 3一元二次不等式及其解法 考察下面含未知数x的不等式 15x2 30 x 1 0和3x2 6x 1 0 这两个不等式有两个共同特点 1 含有一个未知数x 2 未知数的最高次数为2 一般地 含有一个未知数 且未知数的最高次数为2的整式不等式 叫做一元二次不等式 一元二次不等式的一般表达式为ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 其中a b c均为常数 一元二次不等式一般表达式的左边 恰是关于自变量x的二次函数f x 的解析式 即f x ax2 bx c a 0 一元二次不等式f x 0 或f x 0 a 0 的解集 就是分别使二次函数f x 的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合 一元二次方程f x 0 a 0 的解集 就是使二次函数f x 为零时自变量x的取值的集合 因此二次函数 一元二次方程 一元二次不等式之间有非常密切的联系 下面我们通过实例 研究一元二次不等式的解法 以及它与相应的方程 函数之间的关系 例如解不等式 1 x2 x 6 0 2 x2 x 6 0 我们来考察二次函数f x x2 x 6 的图象和性质 方程x2 x 6 0的判别式于是可知这个方程有两个不相等的实数根 解此方程得x1 2 x2 3 建立直角坐标系xOy 画出f x 的图象 它是一条开口向上的抛物线 与x轴的交点是M 2 0 N 3 0 观察这个图象 可以看出 抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零 因此这些点的横坐标的集合A x x3 是一元二次不等式x2 x 6 0的解集 抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零 因此这些点的横坐标的集合B x 2 x 3 是一元二次不等式x2 x 6 0的解集 事实上 当x A时 若x0 若x 3 同样可推知 x 2 x 3 0 当x B时 即 20 x 3 0 因此 x 2 x 3 0 不等式 1 和 2 还可以通过下述方法求解 1 因为x2 x 6 x 2 x 3 所以解x2 x 6 0 就是解 x 2 x 3 0 相对于解不等式组或 解这两个不等式组得x 3或x 2 2 因为x2 x 6 x 2 x 3 所以解x2 x 6 0 就是解 x 2 x 3 0 相对于解不等式组或 解这两个不等式组得 2 x 3 比较上面的两种解法 可以明显地体会到 作出相应的二次函数的图象 并由图象直接写出解集的方法更简便一些 例1 解不等式 1 x2 2x 3 0 2 x2 2x 3 0 分析 考察方程x2 2x 3 0的判别式 2 2 4 1 30 解 对于任意实数x x2 2x 3 x 1 2 2 0 因此不等式 1 的解集为实数集R 不等式 2 无解 或说它的解集为空集 通过以上两例 我们不难对一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 和ax2 bx c0 解集的形式作一般性的分析 设方程ax2 bx c 0 a 0 的判别式为 1 当 0时 二次方程ax2 bx c 0有两个不等的实数根x1 x2 设x1 x2 考察这类二次函数f x ax2 bx c的图象 这时 函数的零点把x轴分成三个区间 x1 x1 x2 x2 不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 简单的说是 大于在两边 小于在中间 2 当 0时 通过配方得 由图可知 ax2 bx c 0的解集是的全体实数 即ax2 bx c 0的解集是空集 即不等式无解 3 当 0的解集是实数集R 不等式ax2 bx c 0的解集是空集 例2 解不等式1 x 4x2 0 解 原不等式化为4x2 x 10 方程4x2 x 1 0的根是 所以不等式的解集是 例3 解不等式x2 4x 4 0 解 因为 42 4 1 4 0 原不等式化为 x 2 2 0 所以不等式的解集是 x R x 2 例4 解不等式 2x2 4x 3 0