（试题 试卷 真题）专题63 直线与圆相切的性质【教师版】

专题63 直线与圆相切的性质【母题来源】2013年浙江金华、丽水第21题（8分）【母题原题】如图，在ABC中，AB=AC，BAC=540，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F。（1）求证：BE=CE；（2）求CBF的度数；（3）若AB=6，求弧AD的长。【试题答案】（1）证明见解析；（2）270；（3）。【试题解析】（1）如图，连接AE，AB是O的直径，AEB900，即AEBC。又AB=AC，BE=CE。 （2）BAC=540，AB=AC，ABC=630。 又BF是O的切线，ABF900。 CBFABF一ABC270。（3）连接OD， OA=OD，BAC=540，AOD720。 又AB=6，OA=2。 弧AD。1.【2013年四川内江12分】如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD，垂足为D，连接BC（1）求证：BC平分PDB；（2）求证：BC2=ABBD；（3）若PA=6，PC=6，求BD的长【答案】解：（1）证明：连接OC，PD为圆O的切线，OCPD。BDPD，OCBD。OCB=CBD。OC=OB，OCB=OBC。CBD=OBC，即BC平分PBD。（2）证明：连接AC，AB为圆O的直径，ACB=90。ACB=CDB=90，ABC=CBD，ABCCBD。，即BC2=ABBD。（3）PC为圆O的切线，PAB为割线，PC2=PAPB，即72=6PB，解得：PB=12。AB=PBPA=126=6。OC=3，PO=PA+AO=9。OCPBDP，即。BD=4。2.【2013年四川德阳14分】如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦EDAB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P（1）求证：PCPG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为时，求弦ED的长【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，PC为O的切线，OCPC。OCG+PCG=90。EDAB，B+BGF=90。OB=OC，B=OCG。PCG=BGF。又BGF=PGC，PGC=PCG。PC=PG。（2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BOBF。理由如下：如图，连接OG，点G是BC的中点，OGBC，BG=CG。OGB=90。OBG=GBF，RtBOGRtBGF。BG：BF=BO：BG。BG2=BOBF。CG2=BOBF。（3）如图，连接OE，由（2）得BGBC，OG=。在RtOBG中，OB=5，。由（2）得BG2=BOBF，。OF=1。在RtOEF中，。ABED，EF=DF。DE=2EF=。3.【2013年山东烟台8分】如图，AB是O的直径，BC是O的切线，连接AC交O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EFEB（1）求证：CB=CF；（2）若点E到弦AD的距离为1，求O的半径【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，圆周角、弧、弦间的关系，垂径定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）如图，通过相似三角形（AEFAEB）的对应角相等推知，1=EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得2=3；最后根据等角对等边证得结论。（2）如图，连接OE交AC于点G，设O的半径是r，由（1）中的相似三角形的性质证得EAF=EBA，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OEAD；然后通过解直角ABC求得cosC=sinGAO=，即可求得r的值。4.【2013年辽宁营口10分】如图，点C是以AB为直径的O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D（1）求证：AC平分BAD；（2）若CD=1，AC=，求O的半径长【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，OA=OC，ACO=CAO。CD切O于C，OCCD。又ADCD，ADCO。DAC=ACO。DAC=CAO，即AC平分BAD。（2）如图，过点O作OEAC于E在RtADC中，OEAC，AE=AC=。CAO=DAC，AEO=ADC=90，AEOADC。，即，AO=，即O的半径为。5.【原创题】如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，DE是O的切线。（1）求证：DEAC；（2）如果BC=8，AB=5，求CE的长。【答案】（1）如图，连接OD。OD=OB，B=ODB。AB=AC，B=C。C=ODB。ODAC。ODE=DEC。DE是O的切线，ODE=90。DEC=90，即DEAC。（2）如图，连接AD。AB是O的直径，ADB=90