探索直角三角形斜边上的高与斜边的关系.doc

探索直角三角形斜边上的高与斜边的关系八（3）班 陈富祥 一、课题研究缘起最近我们刚刚学完特殊三角形这一单元，让我们懂得了等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质，受益匪浅。在学完勾股定理之后，我们突发奇想，想研究一下直角三角形斜边上的高与斜边在长度上的关系。想必通过查询资料与解析例题，必能探寻出其中的联系。 二、普通直角三角形斜边上的高与斜边的关系例一、有一直角三角形ABC，AB长3m, AC长4m, A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=32+42=52， BC=5m； 直角三角形ABC面积为：（34）/2=6， BD=（6*2）/BC=（6*2）/5=2.4m。例二、有一Rt三角形ABC，AB长5m, AC长12m, A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=62+82=102， BC=10m； Rt三角形ABC面积为：（6*8）/2=24， =（24*2）/BC=（24*2）/10=4.8m。根据勾股定理，两条直角边a、b,斜边c与斜边上的高h的规律，绘制以下表格： 三角形的边a的长度b的长度c的长度h的长度规律3452.4h=c/2-c/5051688540.8h=c/2-c/5068104.8h=c/2-c/50912157.2h=c/2-c/5015202512h=c/2-c/5018243014.4h=c/2-c/5030405024h=c/2-c/5039526531.2h=c/2-c/50当a、b、c、h都取有理数时，斜边c与斜边上的高h的规律为（h=c/2-c/50）。但如果Rt三角形ABC为等腰三角形时，是否还会满足这个规律呢？ 三、等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系根据我们学过的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，而等腰三角形的性质又有等腰三角形三线合一，地边上的中线等于地边上的高，所以等腰直角三角形中斜边上的中线等于斜边上的高，h=c/2。例三、有一等腰直角三角形ABC，AB长1m, AC长1m, A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=12+12=2， BC=根号2m； Rt三角形ABC面积为：（1*1）/2=1/2， BD=（(1/2）*2）/BC=（(1/2)*2）/根号2=1/根号2m。h=1/根号2m,代入（h=c/2-c/50）不符，所以等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系应为h=c/2。既然已经知道普通直角三角形（a、b、c、h都取有理数）与等腰直角三角形斜边上的高与斜边的关系，那当普通直角三角形a、b、c、h中产生无理数时，他们的关系又会是什么呢？ 四、普通直角三角形（a、b、c、h中产生无理数）斜边上的高与斜边的关系例四、有一直角三角形ABC，AB长5m, AC长12m, A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=52+122=132， BC= 13m； Rt三角形ABC面积为：（5*12）/2=30， BD=（30*2）/BC=（30*2）/根号13=60/ 13m。例五、有一直角三角形ABC，AB长8m, AC长15m, A=90度，求斜边BC上的高BD的长度。 解：根据勾股定理，BC2=82+152=172， BC= 17m； Rt三角形ABC面积为：（8*15）/2=60， BD=（60*2）/BC=（60*2）/ 17=120/ 17m。三角形的边a的长度b的长度c的长度h的长度规律5121360/13无81517120/17无102426120/13无163034240/17无94041360/41无由于全部直角三角形斜边上的高与斜边的长度关系为h=ab/c，所以当普通直角三角形a、b、c、h中产生无理数时，他们之间的关系规律只有h=ab/c，所以没有其他的存在关系。 五、探索直角三角形斜边上的高与斜边关系的意义 生活中，我们在哪些方面能运用直角三角形斜边上的高与斜边关系呢？如建设幼儿园滑滑梯、游乐园滑滑梯，滑滑梯需要支架来支撑。滑滑梯上方顶部与地面正好组成一个直角三角形或直角等腰三角形。怎样做支架最节省材料？自然要取斜边上的高。但如何才能知道支架的长度呢？只要运用规律，求出滑滑梯地上的跨度长度、滑滑梯顶部与滑滑梯两边滑滑梯通道的长度，支架的高度便轻而易举得为我们所破解。 C A D B注释：AB为滑滑梯跨度的长度，AC与BC均为滑滑梯通道的长度，CD垂直于AB，CD为支架，CD的高度为滑滑梯顶部垂直于地面AB支架的长度。 六、小结根据我们的计算与验证，终于得出了直角三角形斜边上的高与斜边的长度的关系，分为四种：1、普通直角三角形（a,b,c,h均为有理数）：h=c/2-c/502、等腰直角三角形：h=c/2-c/503、普通直角三角形（a,b,c,h中含有无理数）：无（除h=ab/c外）4、