新课标苏教高一数学正弦定理

正弦定理 A B BC的长度与角A的大小有关吗 三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系 在Rt ABC中 各角与其对边的关系 不难得到 C B A a b c 在非直角三角形ABC中有这样的关系吗 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 1 若直角三角形 已证得结论成立 所以AD csinB bsinC 即 同理可得 过点A作AD BC于D 此时有 证法1 2 若三角形是锐角三角形 如图1 由 1 2 3 知 结论成立 且 仿 2 可得 3 若三角形是钝角三角形 且角C是钝角如图2 此时也有 交BC延长线于D 过点A作AD BC 2R为 ABC外接圆直径 2R 思考 求证 证明 作外接圆O 过B作直径BC 连AC A c b C B D a 向量法 证法2 利用向量的数量积 产生边的长与内角的三角函数的关系来证明 证明 而 同理 ha 证法3 剖析定理 加深理解 正弦定理可以解决三角形中哪类问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 定理的应用 例1 在 ABC中 已知c 10 A 45 C 30 求a b 精确到0 01 解 且 19 32 已知两角和任意边 求其他两边和一角 14 14 a 在 ABC中 已知A 75 B 45 c 求a b 在 ABC中 已知A 30 B 120 b 12求a c a c 练习 例2 已知a 16 b A 30 求角B C和边c 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 解 由正弦定理 得 所以 60 或 120 C 90 C 30 当 120 时 变式 a 30 b 26 A 30 求角B C和边c 由于154 30 300 1800 故B只有一解 如图 C 124 30 变式 a 30 b 26 A 30 求角B C和边c 所以 25 70 C 124 30 a b A B 三角形中大边对大角 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 1 根据下列条件解三角形 1 b 13 a 26 B 30 B 90 C 60 c 2 b 40 c 20 C 45 练习 注 三角形中角的正弦值小于 时 角可能有两解 无解 课堂小结 1 三角形常用公式 2 正弦定理应用范围 已知两角和任意边 求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 注意解的情况 正弦定理 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角时 三角形什么情况下有一解 二解 无解 课后思考 A C a b a bsinA 无解 A C a b a bsinA 一解 A C a b bsinA a b 两解 B B1 B2 B A C b a 一解 a A B a b C A B a b C A B a b C a b 无解 a b 无解 a b 一解 正弦定理的综合应用 实际问题 例1 如图 要测底部不能到达的烟囱的高AB 从与烟囱底部在同一水平直线上的C D两处 测得烟囱的仰角分别是 CD间的距离是12m 已知测角仪器高1 5m 求烟囱的高 图中给出了怎样的一个几何图形 已知什么 求什么 想一想 实例讲解 分析 如图 因为AB AA1 A1B 又已知AA1 1 5m 所以只要求出A1B即可 解 答 烟囱的高为29 9m A 解斜三角形的问题 通常都要根据题意 从实际问题中抽象出一个或几个三角形 然后通过解这些三角形 得出所要求的量 从而得到实际问题的解 在这个过程中 贯穿了数学