广西壮族自治区崇左市天等县小山乡初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段检测数学试题（含解析）

天等县小山乡中学2026年秋季学期九年级第一次月考数学试题（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可．【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求．B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求．C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求．D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求．2.将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.3，， B.3，，1 C.3，2，1 D.3，2，【答案】D【解析】【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可．【详解】解：将原方程移项整理为一般形式，移项可得，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．3.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：原方程为，移项得，等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，由完全平方公式整理得．4.已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围．【详解】解：∵方程有两个实数根，∴，，∴的取值范围是且．5.若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根．【详解】解：当时，代入方程左边得：，，满足方程，因此方程必有一根为．6.设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先根据两根之和结合求出两个根，再通过两根之积计算的值，即可选出正确选项．【详解】解：∵、是方程的两个根，∴根据一元二次方程根与系数的关系可得，，又∵，∴，解得，∴，∴．7.某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是理解题意并由等量关系建立等式．设平均每次降价的百分率为x，根据连续两次降价列出方程即可．【详解】解：∵每次降价率为x，∴第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元，又∵最终售价为100元，∴．故选：C．8.若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设方程的两个根分别为和，通过韦达定理得到的两个等式，即可推导得出结论．【详解】解：根据“倍根方程”的定义，设一元二次方程的两个根分别为和．∴，化简得；又．∴

，∴．9.如图，一块矩形铁片的长是宽的倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，若设原铁皮的宽为，则可列方程()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查一元二次方程的应用．设正方形铁皮的边长应是厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长为，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．【详解】解：正方形铁皮的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长为，宽为厘米，高为厘米，根据题意列方程得，，故选：B．10.某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可．【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍，∴第一次升级后的能量密度为，∴第二次升级后的能量密度为，又∵最终能量密度达到，∴可列方程为．11.毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（）A.40人 B.41人 C.42人 D.43人【答案】D【解析】【分析】先设这个班级共有x名学生，根据礼物总数相等列出一元二次方程，求出解并判断符合题意的答案即可．【详解】解：设这个班级共有x名学生，根据题意，得，解得（舍去），所以这个班级共有学生43人．12.如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第（）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…，所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；由题知，，解得，，又因为n为正整数，所以，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故选：D．二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）13.用配方法将一元二次方程化为的形式为______．【答案】【解析】【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果．【详解】解：，，，即．14.已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可．【详解】解：，∴，即，∵方程通过配方可变形为，∴，∴．15.近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为______．【答案】【解析】【分析】设月平均增长率为，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果．【详解】解：设该新能源汽车月平均增长率为．根据题意列方程得：，解得：，，因为增长率不能为负，不合题意，舍去．∴该新能源汽车月平均增长率为．16.如图，机器人从点沿（长）以向移动，机器人从点沿（长）以向移动，当的面积为两机器人协作区域的面积的时，运动时间为_____．【答案】1或3【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用；由题意得，则得，由面积关系建立一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得：，则，∵的面积为两机器人协作区域的面积的，∴，即，整理得：，解得：，故答案为：1或3．三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）．17.计算或解方程（1）；（2）（公式法）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的乘法，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）首先计算零指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减；（2）利用公式法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）；（2），，∴∴∴；（3）或∴；（4）∴或∴．18.已知关于的方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键．（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解．【小问1详解】解：∵方程有两个实数根，，∴，解得：；【小问2详解】解：∵方程有两个实数根，，∴，∵，∴，解得：．19.已知关于x的一元二次方程．（1）若该方程有一个根为，求方程的另一个根；（2）若该方程有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）该方程的另一个根为（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）结合两根之和，进行列式计算，即可作答．（2）根据该方程有两个相等的实数根，得，解得，即可作答．【小问1详解】解：∵关于x的一元二次方程，且方程的一个根为，∴另一个根，∴另一个根为，【小问2详解】解：∵关于x的一元二次方程，且该方程有两个相等的实数根，∴，解得．20.行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计：（1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？（2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明；【答案】（1）有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛（2）解：小江说的有道理，理由如下：设有x个队伍报名参赛，根据题意得，整理，得：，解得：（不是整数，不合题意），∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理．【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．（1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为；（2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论．【小问1详解】解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为，答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛；【小问2详解】略21.某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为．求道路的宽度．【答案】道路的宽度为2米【解析】【分析】设道路的宽度为，根据种花的面积列出一元二次方程并求解即可．【详解】解：设道路的宽度为，则，即，，（不符合，舍去）答：道路的宽度为2米．22.实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由．【答案】可以，米【解析】【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可．【详解】解：可以，理由如下：设米，则米，根据题意得∴，解得，，当时，，不符合题意，舍去，∴，即米．23.某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染．（1）每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？【答案】（1）每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑（2）四轮感染后机房内所有电脑都被感染【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一