2019_2020学年高中数学穿越自测（含解析）新人教A版.docx

穿越自测一、选择题12017全国卷理3，本题考查了复数的概念和运算，命题的真假性判断设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibi/ R，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10a1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题故选B.22017全国卷理1，本题考查了复数的计算，考查了运算求解能力()A12i B12i C2i D2i答案D解析2i.故选D.32017全国卷理7，本题考查了分析推理能力甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D.42017全国卷理11，本题考查了利用导数求函数的极值，考查了运算求解能力若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3 C5e3 D1答案A解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.52017全国卷理2，本题考查了复数运算，模的求解，考查了运算求解能力设复数z满足(1i)z2i，则|z|()A. B. C. D2答案C解析由(1i)z2i得z1i，|z|.故选C.2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得z1i，|z|.故选C.62017北京高考理2，本题考查了复数的计算，复数的几何意义若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)答案B解析(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，解得a1.故选B.72017山东高考理2，本题考查了复数的运算，考查了运算求解能力已知aR，i是虚数单位若zai，z4，则a()A1或1 B.或C D.答案A解析z4，|z|24，即|z|2.zai，|z|，2，a1.故选A.二、填空题82017天津高考理9，本题考查了复数的计算，考查了运算求解能力已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_答案2解析aR，i为实数，0，a2.92017山东高考理15，本题考查了新定义的理解和应用，考查了学生分析，推理能力，运算求解能力若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中所有具有M性质的函数的序号为_f(x)2x；f(x)3x；f(x)x3；f(x)x22.答案解析设g(x)exf(x)对于，g(x)ex2x(xR)，g(x)ex2xex2xln 2(1ln 2)ex2x0，函数g(x)在R上单调递增，故中f(x)具有M性质对于，g(x)ex3x(xR)，g(x)ex3xex3xln 3(1ln 3)ex3x0，函数g(x)在R上单调递减，故中f(x)不具有M性质对于，g(x)exx3(xR)，g(x)exx3ex3x2(x3)exx2，当x3时，g(x)0，g(x)单调递减，故中f(x)不具有M性质对于，g(x)ex(x22)(xR)，g(x)ex(x22)ex2x(x22x2)ex(x1)21ex0，函数g(x)在R上单调递增，故中f(x)具有M性质综上，具有M性质的函数的序号为.102017浙江高考理12，本题考查了复数的计算，考查了方程思想，计算能力已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.112017江苏高考理2，本题考查了复数的计算，考查了计算能力已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_答案解析z(1i)(12i)12ii213i，|z|.|z|1i|12i|.三、解答题122017全国卷理21，本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，考查了运算求解能力，分类讨论的数学思想已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)单调递减()若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点()若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数n0满足n0ln 1，则f(n0)en0(ae n0a2)n0e n0n02 n0n00.由于ln 1ln a，因此f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)132017全国卷理21，本题考查了利用导数研究函数的极值，证明不等式等，考查了综合分析问题，解决问题的能力，运算求解能力已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.解(1)f(x)的定义域为(0，)设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x时，h(x)0.所以h(x)在上单调递减，在上单调递增又h(e2)0，h0；当x(x0,1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)0，故当x1，x0)时，H1(x)0，H1(x)单调递增因此，当x1，x0)(x0,2时，H1(x)H1(x0)f(x0)0，可得H1(m)0，即h(m)0.令函数H2(x)g(x0)(xx0)f(x)，则H2(x)g(x0)g(x)由(1)知，g(x)在1,2上单调递增，故当x1，x0)时，H2(x)0，H2(x)单调递增；当x(x0,2时，H2(x)0，H2(x)单调递减因此，当x1，x0)(x0,2时，H2(x)H2(x0)0，可得H2(m)0，即h(x0)0，所以h(m)h(x0)0.(3)证明：对于任意的正整数p，q，且1，x0)(x0,2，令m，函数h(x)g(x)(mx0)f(m)由(2)知，当m1，x0)时，h(x)在区间(m，x0)内有零点；当m(x0,2时，h(x)在区间(x0，m)内有零点所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x1，则h(x1)g(x1)f0.由(1)知，g(x)在1,2上单调递增，故0g(1)g(x1)0，故f(x)在1,2上单调递增，所以f(x)在区间1,2上除x0外没有其他零点而x0，故f0.又因为p，q，a均为整数，所以|2p43p3q3p2q26pq3aq4|是正整数，从而|2p43p3q3p2q26pq3aq4|1，所以.所以只要取Ag(2)，就有.172017山东高考理20，本题考查了导数的计算，几何意义，利用导数研究函数的单调性，极值，考查了分类讨论思想，运算求解能力，分析推理能力已知函数f(x)x22cosx，g(x)ex(cosxsinx2x2)，其中e2.71828是自然对数的底数(1)求曲线yf(x)在点(，f()处的切线方程；(2)令h(x)g(x)af(x)(aR)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解(1)由题意知f()22.又f(x)2x2sinx，所以f()2，所以曲线yf(x)在点(，f()处的切线方程为y(22)2(x)，即y2x22.(2)由题意得h(x)ex(cosxsinx2x2)a(x22cosx)因为h(x)ex(cosxsinx2x2)ex(sinxcosx2)a(2x2sinx)2ex(xsinx)2a(xsinx)2(exa)(xsinx)，令m(x)xsinx，则m(x)1cosx0，所以m(x)在R上单调递增因为m(0)0，所以当x0时，m(x)0；当x0时，m(x)0.当a0时，exa0，当x0时，h(x)0，h(x)单调递减；当x0时，h(x)0，h(x)单调递增所以当x0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)2a1.当a0时，h(x)2(exeln a)(xsinx)，由h(x)0得x1ln a，x20.a当0a1时，ln a0，当x(，ln a)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递增；当x(ln a,0)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递减；当x(0，)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递增所以当xln a时h(x)取到极大值，极大值为h(ln a)aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2；当x0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)2a1.b当a1时，ln a0，所以当x(，)时，h(x)0，函数h(x)在(，)上单调递增，无极值c当a1时，ln a0，所以当x(，0)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递增；当x(0，ln a)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递减；当x(ln a，)时，exeln a0，h(x)0，h(x)单调递增所以当x0时h(x)取到极大值，极大值是h(0)2a1；当xln a时h(x)取到极小值，极小值是h(ln a)aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2综上所述：当a0时，h(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)2a1；当0a1时，函数h(x)在(，ln a)和(0，)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2，极小值是h(0)2a1；当a1时，函数h(x)在(，)上单调递增，无极值；当a1时，函数h(x)在(，0)和(ln a，)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(0)2a1，极小值是h(ln a)aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2182017浙江高考理20，本题考查了导数的计算，用导数研究函数的极值，最值，考查了运算求解能力已知函数f(x)(x)ex.(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围解(1)因为(x)1，(ex)ex，所以f(x)ex(x)ex.(2)由f(x)0，解得x1或x.因为x，111，f(x)00f(x)e0e又f(x)(1)2ex0，所以f(x)在区间上的取值范围是.192017江苏高考理20，本题考查了利用导数研究函数的零点，极值，最值等知识，考查了函数与方程的思想，分析推理能力，运算求解能力已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值