重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第十三章《立体几何》第5讲 直线、平面垂直的判定与性质指导课件 新人教A版 .ppt

第5讲直线 平面垂直的判定与性质 1 直线与平面垂直 任意 垂直 1 直线与平面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的 一条直线都 那么这条直线和这个平面垂直 2 直线与平面垂直判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 3 直线与平面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 相交 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义 相交成直二面角的两个平面 叫做互相垂直的平面 2 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平 面的 那么这两个平面互相垂直 垂线 3 平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面 3 直线与平面所成的角 1 如果直线与平面平行或者在平面内 则直线与平面所成的角等于0 交线 2 如果直线和平面垂直 则直线与平面所成的角等于90 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角 其范围是 0 90 斜线与平面所成的 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最 的角 4 二面角 线面角 小 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角 的二面角叫做 直二面角 1 垂直于同一条直线的两条直线一定 d a 平行c 异面 b 相交d 以上都有可能 2 a b为空间两点 l为一条直线 则过a b且垂直于l 的平面 b a 不存在c 有且只有1个 b 至多1个d 有无数个 4 如图13 5 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 下列结论 d 图13 5 1 中正确的个数是 bd1 ac bd1 a1c1 bd1 b1c a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 3 设直线m与平面 相交但不垂直 则下列说法中正确的是 a 在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直b 过直线m有且只有一个平面与平面 垂直c 与直线m垂直的直线不可能与平面 平行d 与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 b 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 d a 和 b 和 c 和 d 和 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图3 5 2 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 再过a作ae sb于e点 过e作ef sc交sc于f点 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于g 求证 ag sd 图13 5 2 解析 1 证明 因为bc 面sab 且ae在面sab内 所以ae bc 又因为ae sb sb bc b 所以ae 面sbc 而sc在面sbc内 所以ae sc 又因为ef sc ef ae e 所以sc 面aef 而af在面aef内 所以af sc 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与直线垂直 通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题 出现中点时 平行要联想到三角形中位线 垂直要联想到三角形的高 出现圆周上的点时 联想直径所对圆周角为直角 互动探究 1 如图13 5 3 pa o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上的一点 e f分别是a在pb pc上的射影 给出下 面结论 其中正确命题的个数是 b 图13 5 3 af pb ef pb af bc ae 平面pbc a 2个c 4个 b 3个d 5个 解析 正确 又af 平面pbc 错误 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 例2 2011年江苏 如图13 5 4 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab ad bad 60 e f分别是ap ad的中点 求证 1 直线ef 平面pcd 2 平面bef 平面pad图13 5 4 bf ad bf 面pad 因为平面pad 平面abcd 平面bef 平面pad 因为bf 平面bef 前者利用面面垂直的性质定理 后者利用面面垂直的判定定理 互动探究 2 2011年浙江 下列命题中错误的是 d a 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 b 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 c 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 d 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 因为若这条线是平面 和平面 的交线l 则交线l在平面 内 明显可得交线l在平面 内 所以交线l不可能垂直于平面 平面 内所有直线都垂直于平面 是错误的 考点3 线面所成的角 例3 如图13 5 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd所成的角 图13 5 5 求直线和平面所成的角时 应注意的问题是 1 先判断直线和平面的位置关系 2 当直线和平面斜交时 常有以下步骤 作 作出或找到斜线与射影所成的角 证 论证所作或找到的角为所求的角 算 常用解三角形的方法求角 结论 点明斜线和平面所成的角值 互动探究 3 如图13 5 6 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 则ac1与平面a1b1c1d1所成角的正弦值为 图13 5 6 答案 d 图d27 考点4 立体几何中的探索性问题 例4 2011年广东茂名一模 如图13 5 7 在四棱锥p abcd中 底面abcd为菱形 bad 60 q为ad的中点 1 若pa pd 求证 平面pqb 平面pad 2 点m在线段pc上 pm tpc 试确定t的值 使pa 平面mqb 图13 5 7 解析 1 如图13 5 8 连接bd 四边形abcd菱形 bad 60 abd为正三角形 又 q为ad中点 ad bq pa pd q为ad的中点 ad pq 又bq pq q ad 平面pqb 又ad 平面pad 平面pqb 平面pad 图13 5 8 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题 此类题目的条件或结论不完备 要求解答者自己去探索 结合已有条件 进行观察 分析 比较和概括 它对学生的数学思想 数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求 它有利于培养学生探索 分析 归纳 判断 讨论与证明等方面的能力 使学生经历一个发现问题 研究问题 解决问题的全过程 互动探究 4 2011年广东深圳一模 如图13 5 9 在四棱锥s abcd中 ab ad ab cd cd 3ab 平面sad 平面abcd m是线段ad上一点 am ab dm dc sm ad 1 证明 bm 平面smc 图13 5 9 1 证明 平面sad 平面abcd 平面sad 平面abcd ad sm 平面sad sm ad sm 平面abcd bm 平面abcd sm bm 四边形abcd是直角梯形 ab cd am ab dm dc mab mdc都是等腰直角三角形 amb cmd 45 bmc 90 bm cm sm 平面smc cm 平面smc sm cm m bm 平面smc 2 解 三棱锥c sbm与三棱锥s cbm的体积相等 由 1 知sm 平面abcd 1 证明线面垂直的方法 1 用线面垂直的定义 若一直线垂直于平面内任一直线 这 条直线垂直于该平面 2 用线面垂直的判定定理 若一直线垂直于平面内两条相交 直线 这条直线垂直于该平面 3 用线面垂直的性质定理 若两平行直线之一垂直于平面 则另一条直线也垂直于该平面 4 用面面垂直的性质定理 若两个平面垂直 在一个平面内 垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 5 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个 那么也垂直 于另一个平面 6 如果两个相交平面都和第三个平面垂直 那么相交平面的 交线也垂直于第三个平面 2 判定面面垂直的方法 1 定义法 首先找二面角的平面角 然后证明其为直角 2 用面面垂直的判定定理 一个平面经过另一个平面的一条 垂线 3 垂直于同一个平面的两条直线平行 是判定两条直线平行的又一重要方法 是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件下相互转化的一种手段 4 本节教材中线面垂直的性质定理的证明用到反证法 反证法属逻辑方法范畴 它的严谨体现在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中第一个否定是指否定结论 第二个否定是指 逻辑推理结果否定了假设 5 常用定理 1 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂 直于第二个平面的直线必在第一个平面内 1 面面垂直的性质定理是证明线面垂直的依据和