高中数学思想方法的教与学.doc

高中数学思想方法的教与学 摘要：问题是数学的心脏，问题解决是数学教学与学习的核心。无论是学习数学还是研究数学都离不开数学问题及对数学问题的解决方法。一切思想方法都是为问题解决服务的，没有一种思想方法可以脱离数学问题独立存在和发展。 关键词：数学思想问题教学 高中数学涉及的主要思想方法有观察与发现、联想与猜想、类比思想、分类思想、方程与函数思想、数形结合等，要提高高中学生的数学思维品质，数学思想方法的教与学是我们教育工作者一项长期而艰苦的任务。 一、观察与发现 数学问题中，各类式子里出现的一些关系与形式，常可给问题的求解指出探索的思路。 如：若x0，求函数y=4x2+8x+13/6(x+1)的最小值。 分析：一般观察可用判别式法，但若再仔细观察则可发现分子能写成4（x+1）2+9、分母能写成6（x+1）。这类关系能否可用呢？ 因为：y=4x2+8x+13/6(x+1)=4(x+1)2+9/6(x+1)=2/3(x+1)+， 且x0 从而可知：当x=时，ymin=2，它可用基本不等式来解决。 二、联想与猜想 联想与猜想是对研究对象或问题在观察、类比、归纳等基础上，对已有知识作出符合一定经验的推测性想象的思想方法，是一种合情推理，在我们新课标下加强了这方面的探索。 如：平面上的n条直线两两相交，其中任意三条不共点，问它们能把平面分成多少部分？ 分析：设f（n）为n条直线把平面分成的部分数，考察n取1、2、3等特殊情形可得：f（1）=2，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，因而猜想： f（n）=f（n-1）+n=f（n-1）+（n-1）+n=2+2+（n-1）+n=1+。这一猜想很容易用数学归纳法来证明。 三、类比 类比是通过比较两类事物相同或相似的属性，由其中一类事物的某种已知属性去推测另一类事物也共有相同或相似的属性的思想方法。在立体几何中，四面体与多面体可类比；在解析几何中，各种圆锥曲线可类比，圆与球、面积与体积均可类比。 如：求证正四面体内任一点到各面距离之和为一定值。 分析：平面几何中证明过正三角形内任一点到各边距离之和为定值，使用的最佳方法是面积法，类比联想，我们可用体积法进行试探，从而得到该点到正四面体各面距离之和为该正四面体的高。 四、分类 数学知识结构本身就是由不同层次的内容分类组成的，讨论数学问题时，不同范围内所得的结果往往是不同的。 分类必须遵循：（1）同一问题过程中，分类标准必须一致；（2）分类不重复、不遗漏。 如：已知函数f（x）=（m+1）x2-2mx+m-2在xR的图像与x轴有交点，试求m的取值范围。 分析：本题并未指出函数一定是二次函数，因而必须按照函数的次数分类讨论。 当m+1=0，即m=-1时，函数为一次函数，显然图像与x轴有交点。 当m+10时，函数为二次函数，因而要求=（-2m）2-4（m+1）（m-2）0，即m-2。 综上所述，满足要求的m的取值范围是m-2。 五、方程与函数 方程与函数是可以相互转化的，以方程或方程组的解为坐标的点在函数图像上，反之亦成立。函数思想的最大特点就是从变化运动的观点来认识数学对象和它们性质之间的关系。如：解方程2x+1+xx2+2+（x+1）x2+2x+3=0。 分析：这个无理方程用平方法或换元法均不可取，可把方程变形为：x（1+x2+2）+（x+1）（1+（x+1）2+2）=0。 构造函数f（x）=x（1+x2+2），容易证明这是定义在R上的单调递增的奇函数。 故方程可改写为：f（x）+f（x+1）=0，从而f（x+1）=-f（x）=f（-x），所以x+1=-x，即x=-0.5。 六、数形结合 数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，数缺形时少直观，形少数时难入微，数与形表示在互相转化和互相结合上。 如：设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知：当x2，3时，f（x）=x。求：x-2，0时f（x）的解析式。 分析：先画出x2，3时f（x）的图像，再由周期性可画出f（x）在0，1和-2，-1上的图像，再由偶函数图像的特征性质，可画出x-3，-2和x-1，0的图像（如上图）。由图像不难求出： （1）f（x）=3+（x+1），x-2，-1。 （2）f（x）