32立体几何中的向量方法4(夹角问题张用)

3 2立体几何中的向量方法 夹角问题 1 直线与直线所成角 l m l m 若两直线所成的角为 则 复习引入 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 2 二面角 若二面角的大小为 则 法向量法 3 线面角 l 设直线l的方向向量为 平面的法向量为 且直线与平面所成的角为 则 解1 以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示 设则 所以与所成角的余弦值为 例3如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 侧棱PA 底面ABCD PA AB 1 AD 在线段BC上是否存在一点E 使PA与平面PDE所成角的大小为450 若存在 确定点E的位置 若不存在说明理由 D B A C E P 设BE m 则 解 以A为原点 AD AB AP所在的直线分别为X轴 Y轴 Z轴 建立空间直角坐标系 设BE m 则 例题1 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 A 45 B 135 C 45 或135 D 90 解析即 m n 45 其补角为135 两平面所成二面角为45 或135 C 三 例题 解题时角的取值根据图形判断 例4如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F A B C D P E F 3 解建立空间直角坐标系 设DC 1 例4如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 3 求二面角C PB D的大小 A B C D P E F 平面PBC的一个法向量为 解2如图所示建立空间直角坐标系 设DC 1 平面PBD的一个法向量为 G 四 教学过程的设计与实施 P119B 3已知ABCD是直角梯形 DAB ABC 90 SA 平面ABCD SA AB BC 1 求平面SAB与SCD所成二面角的余弦值 四 教学过程的设计与实施 例题2 解 分别以DA DC DS为x y z轴如图建立空间直角坐标系D xyz 则 例题4 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC 4 AA1 2 点Q是BC的中点 求此时二面角A A1D Q的余弦 解 如图2 建立空间直角坐标系 依题意 A1 0 0 2 Q 2 2 0 D 0 4 0 2 4 2 面AA1D的法向量 设面A1DQ的法向量为 则 令a1 1 则 结论 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作 证二面角的过程 解题的关键是确定相关平面的法向量 如果图中的法向量没有直接给出 那么必须先创设法向量 利用法向量求二面角的平面角的一般步骤 建立坐标系 例5如图5 在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中 AD BC ABC 900 SA 面ABCD AB BC 1 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦 解 以A为原点如图建立空间直角坐标系 则 1 1 显然平面SBA的一个法向量为 设平面SCD的一个法向量为 则 则 评析 因为所求的二面角的交线在图中较难作出 所以用传统的方法求二面角比较困难 向量法在这里就体现出它特有的优势 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 点Q是BC的中点 求锐二面角A DQ A1的余弦值 课后思考 2009 天津理 19 如图 在五面体ABCDEF中 FA 平面ABCD AD BC FE AB AD M为EC的中点 AF AB BC FE 1 求异面直线BF与DE所成的角的大小 2 证明 平面AMD 平面CDE 3 求锐二面角A CD E的余弦值 1 解如图所示 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 设AB 1 依题意得B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 2 证明 又AM AD A 故CE 平面AMD 而CE 平面CDE 所以平面AMD 平面CDE 3 解设平面CDE的法向量为u x y z 令x 1 可得u 1 1 1 又由题设 平面ACD的一个法向量v 0 0 1 因为二面角A CD E为锐角 所以其余弦值为 已知 ABC和 DBC所在的平面互相垂直 且AB BC BD CBA DBC120 求 1 直线AD与平面BCD所成角的大小 2 直线AD与直线BC所成角的大小 3 二面角A BD C的余弦值 解 1 过A作AE CB与CB的延长线交与E 连接DE 平面ABC 平面DBC AE 平面DBC ADE即为AD与平面CBD所成的角 AB BD CBA DBC EB EB ABE DBE DBE ABE DE CB且DE AE ADB 45 AD与平面CBD所成的角为45 E 2 由 1 知CB 平面ADE AD BC即AD与BC所成的角为90 3 过E作EM BD于M由 2 及三垂线定理知 AM BD AME为二面角A BD C的平面角的补角 AE BE 2ME tg AME 2 故二面角A BD C的正切值为 2 E 四 课堂练习 余弦值 解答如下 六 课外作业 解答在这儿 空间中的角包括两条异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角等 这些角都是通过两条射线所成的角来定义的 因而这些角的计算方法 都是转化为平面内线与线所成的角来计算的 确切地说 是 化归 到一个三角形中 通过解三角形求其大小 定义如下 空间中的角 3 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 设l1与l2是两异面直线 a b分别为l1 l2的方向向量 l1 l2所成的角为 则 a b 与 相等或互补 1 异面直线所成的角求法 解析 注 由于两条直线所成的角 线面角都是锐角或直角 因此可直接通过绝对值来表达 故可直接求出 而二面角的范围是 0 有时比较难判断二面角是锐角还是钝角 因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断 故这是求二面角的 难点 口诀 1 同进同出 一进一出2 同号相等 异号互补 跟踪练习 2011 山东19题 跟踪练习 点评 利用平面的法向量求二面角的大小和将二面角转化为在两半平面内与棱垂直的两个向量的夹角来求 两种方法都是利用向量的夹角来求二面角的大小 在方法一中要注意两法向量的夹角的大小不一定就是所求二面角的大小 有可能两法向量夹角的补角的大小才为所求 验 提高 2011 山东19题 第 1 向量法 思考 1 向量法 解2 练习空间四边形ABCD中 AB BC CD AB BC BC CD AB与CD成600角 求AD与BC所成的角大小 例 的棱长为1 解1建立直角坐标系 例 的棱长为1 解2 练习 的棱长为1 解1建立直角坐标系 平面PBD1的一个法向量为 平面CBD1的一个法向量为 的棱长为1 解2 例2 空间四边形ABCD中 AB BC CD AB BC BC CD AB与CD成600角 求AD与BC所成的角 注意异面直线所成的角与异面直线上两向量夹角的关系 相等或互补求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积 而要求两向量的数量积 必须把所求向量用空间的一组基向量来表示 本题正遵循了这一规律本题多次运用了封闭回路 评述 练习 A B C D A1 B1 C1 D1 正方体ABCD A1B1C1D1中 P为DD1的中点 O1 O2 O3分别是平面A1B1C1D1 平面BB1C1C 平面ABCD的中心 O3 P 2 求异面直线PO3与O1O2成的角 O2 O1 1 求CD的长 2 CD与AB所成的角 练习 2 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a 1 0 1 b 0 1 1 那么这条斜线与平面所成的角是 3 已知两平面的法向量分别m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的钝二面角为 基础训练 1 已知 2 2 1 4 5 3 则平面ABC的一个法向量是 600 1350 N 解 如图建立坐标系A xyz 则 N 又 例2 如图 在四棱锥S ABCD中 底面ABCD为平行四边形 侧面SBC底面ABCD 已知AB 2 BC SA SB 1 求证 2 求直线SD与平面SAB所成角的正弦值 S A B C D 典例剖析 例4 2004 天津 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 证明 PA 平面EDB 2 求EB与底面ABCD所成的角的正切值 典例剖析 A B C D P E 巩固练习 1三棱锥P ABCPA ABC PA AB AC E为PC中点 则PA与BE所成角的余弦值为 2直三棱柱ABC A1B1C1中