211矩阵的概念.doc

2.1.1矩阵的概念三维目标1.知识与技能了解矩阵产生的背景，并会用矩阵表示一些实际问题.了解矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义及表示.2.过程与方法在大量举例的基础上引出矩阵的概念和表示方法，使学生认识到矩阵的实际背景，并让学生举出一些可以用矩阵形式表示的实际例子，深化对矩阵概念的认识.3.情感、态度与价值观以已有知识为平台，结合实例，创设良好情境，调动学生学习的积极性，发挥学生的主动性.让学生体会到矩阵从实际产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，使得他们感悟到数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决.重点与难点矩阵的概念教学过程一、设置情境情境一、向量如图所示，已知点O（0,0），P（1,3）向量 如果把的坐标排成一排，那么可以用右边的表来表示，并简记为.情境二、某学生的语数外两次考试成绩语数外期中125142109期末130145112如果把表中的说明舍弃，将表中的数据按原来的位置排成一张矩形数表，简记为情境三、运动会的成绩下表是某次校运会高二年级部分班级获得名次的统计（单位：人次）第一名第二名第三名第四名第五名第六名高二班311341高二班145523高二班232412高二班323241如果把表中的说明舍弃，将表中的数据按原来的位置排成一张矩形数表，简记为情境四、将方程组中未知数x，y，z的系数按原来的次序排列就下表，简记为二、建构数学1.矩阵的概念我们把形如，这样的矩形数表（或字母）阵列称做矩阵，一般地用大写黑体拉丁字母A，B，或者(aij)来表示矩阵，其中i,j分别表示元素aij所在的行与列.同一横排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.2.矩阵的分类（按照行与列来分）记为21矩阵，记为23矩阵.3.几个特殊矩阵所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵.我们把像这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母，来表示列矩阵.4.矩阵的相等对于两个矩阵A，B只有当A，B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，此时记为AB.5.行向量与列向量平面上的向量a(x,y)的坐标和平面上的点P(x,y)都可以看做是行矩阵，也可以看成列矩阵.因此，我们将称为行向量，称为列向量.习惯上，我们把平面向量(x,y)的坐标写成列向量的形式.三、数学应用例1用矩阵表示下图中的ABC，其中A(1,0),B(0,2),C(2,0).解：因为ABC由点A，B，C唯一确定，点A，B，C可以分别由列向量来表示，所以ABC可表示为思考：如果像例1中那样用矩阵表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？等腰梯形（数形结合）例2已知A，B，若AB，试求x,y,z.分析：抓住相等的条件即可四、课堂练习1.设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，则A=2.由矩阵所表示的三角形的面积是 3.已知，若A=B，则 1 五、回顾总结1. 矩阵的概念 2.几个特殊矩阵 3.矩阵的相等 4.行向量与列向量六、课外作业1.已知A(3,1),B(5,2)，则表示的列向量为 2.方程组中的系数按原有次序排列，可得到矩阵是 3.某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S，黄灯3S，红灯20S，如果分别用1，0，1表示绿灯、黄灯、红灯，试用2矩阵表示该路口的时间设置为4.设矩阵A为矩阵，且规定其元素，其中，那么A中所有元素之和为 38 5.已知，则 -2 6.由矩阵表示平面中的图形的面积为 4 。7.设矩阵，且，试求。答案：由已知，从而，从而，8.观察下列甲、乙、丙三城市之间的联络道路路线图，并回答后面的问题。（1）完成下面表中一城市直达另一城市的道路数，并写出对应的矩阵A。终点起点甲乙丙甲乙丙 甲乙 丙答案：（1）。（2）矩阵A中的元素这是因为从城市到城市的直达道路数与从城市到城市的直达道路数相等。答案：（1）。（2）矩阵A中的元素这是因为从城市到城市的直达道路数与从城市到城市的直达道路数相等。 2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法三维目标1.知识与技能通过具体的例子，理解并掌握二阶方阵左乘二维列向量的运算；理解二阶方阵左乘二维列向量就是把该向量变成另外一个向量.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.2.过程与方法通过校运动会总分的计算，来归纳法则，进一步利用法则进行计算3.情感、态度与价值观以已有知识为平台，结合实例，创设良好情境，调动学生学习的积极性，发挥学生的主动性.教学重点： 掌握二阶方阵左乘二维列向量的运算及其变换作用。教学难点：二阶方阵左乘二维列向量的变换作用。教学过程： 一、情境设置下表是本次校运会高二年级部分班级获得名次的统计（单位：人次）。 第一名第二名第三名第四名第五名第六名高二1班311341高二2班145523高二3班232412高二4班323241 你能计算出各班团体总分吗？(第一到第六名的分值依次为7、5、4、3、2、1)学生活动你能将以上的表格及运算过程用矩形的数表来表达吗？ 你能分别算出高二（3）、（4）班第一名、第二名共为本班得多少分吗？ =如果已知高二（3）、（4）班第一名、第二名的人次，即，为本班得分，你能算出第一、二名分别记分多少吗？设第一、二名的得分分别为x、y，则（*），得。这个过程可以表示为：=三、建构数学一般地，我们规定行矩阵 与列矩阵的乘法法则为二阶矩阵与列向量的乘法法则为。一般地，对于平面上的任意一个点（向量）(x,y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点（向量）(x,y),则称T为一个变换，简记为T：(x,y)(x,y),或一般地，对于平面向量的变换T，如果变换法则为，那么，根据二阶矩阵与列向量的乘法法则可以改写为由矩阵确定的变换T，通常记为.根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当表示平面图形F上的任意点时，这些点就组成了图形F，它在的作用下，将得到一个新图形F原象集F的象集F.三、数学运用 例1 ：计算（1）；（2） ； 解：（1）= （2）=思考：二阶矩阵与列向量的乘法和函数xf(x)的定义有什么异同？函数是建立在数集上的对应，而二阶矩阵与列向量的乘法可以看作是一个有序数对的对应，或者是一个平面上的几何变换.例2 ：若=，求解： =例3已知变换，试将它写成坐标变换的形式；已知变换，试将它写成矩阵乘法的形式.解四、课堂练习1.的结果是 2.已知变换，将它写成坐标变换的形式是3. 计算，并解释计算结果的几何意义。它表示点（1，2）在矩阵的作用下变成了点（5，8）。4.已知，将它写成矩阵的乘法形式是五、回顾总结二阶方阵A左乘21矩阵X的方法; 二阶方阵A和21矩阵X、左乘的结果三者知二求一（知X、B求A时，A不唯一）；二元一次方程组可以写出其矩阵形式；二阶方阵左乘21矩阵的过程可以看作一个映射； 六、作业1.= 2.点A(3,4)在矩阵对应的变换作用下得到的点坐标为（3，8）3.设，点P经过矩阵A变换后得到点(5,5),.若P，则 3 4.计算 5.若ABC的顶点，经变换后，新图形的面积为 3 6.，求 A解：设，则解之得。则A =7.请用矩阵表示二元一次方程组答案：。8.求矩阵A，使点A(0,3),B(-3,0)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点。解：设，则，2.21-2 恒等变换伸压变换三维目标1.知识与技能理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换掌握恒等变换、伸压变换的矩阵表示与几何意义2.过程与方法通过实例，借助几何图形来研究平面图形的几何变换，让学生感到生动。 3.情感、态度与价值观将新旧知识结合起来，体现知识的螺旋上升。教学重点与难点恒等变换伸压变换教学过程一、复习回顾1.二阶矩阵与列向量的乘法法则是2.它的几何意义是点P(x0,y0)在矩阵的作用下变换成另一个点Q(a11x0a12y0,a21x0a22y0).给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上的一个点（或向量）变换成另一个点（或向量）.平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示？如果可以，又该怎样来表示？已知ABC，A(2,0),B(1,0),C(0,2),它们在变换T作用前后保持不变，能否用矩阵M来表示？如果能，矩阵M是什么？从图中你发现了什么？在在变换T的作用前后，ABC上所有点的位置都没有发生变化.你能用符号语言来表示它吗？二、建构数学1.恒等变换对平面上一点（向量）或图形施以矩阵对应的变换，都把自己变成自己.我们把这种特殊的矩阵称为恒等矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称做恒等变换.二阶单位矩阵一般记为E.2.伸压变换做一个演示实验(纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍)，变换T对应的矩阵是什么？将图形作沿x轴方向伸长或缩短，或作沿y轴方向伸长或缩短的变换矩阵，通常称做沿x轴或y轴的垂直伸压变换矩阵，对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换.三、数学应用例1如图所示，已知曲线ysinx经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式.解析：相当于横向压缩结果为例2验证圆C：x2y21在矩阵对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.解析：纵向拉伸结果为探究：将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y轴方向呢？四、课堂练习1.平面上任意一点在矩阵的作用下 ( B )A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到倍C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到倍2下列矩阵表示伸压变换的是 （ C ）A、 B、 C、 D、五、回顾总结1.恒等变换 2.伸压变换六、作业1、函义数在矩阵M=变换作用下的结果是2、试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。（1）方程为； （2）曲线方程为解：（1）所给方程表示的是一条直线。设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A（ x1,y1） 变换后的方程仍为：该变换是恒等变换。（2）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变换后的点为,则将之代入到可得方程，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换。3、将圆在矩阵A=对应的伸压变换下变成一个椭圆，则 3 4、曲线C在伸压变换下T：）作用得到的图象，则曲线C的方程为5、求出矩形在矩阵对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图。其中解析：所得图形为原矩形横向压缩所得6.研究函数在矩阵对应的变换作用下的结果，并画出示意图解析：所得图形为函数图像纵向压缩所得2.2.3 反射变换三维目标1.知识与技能掌握反射变换的矩阵表示与几何意义从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明(12)12.2.过程与方法通过实例，借助几何图形来研究平面图形的几何变换，让学生感到生动.3.情感、态度与价值观将新旧知识结合起来，体现知识的螺旋上升。教学重点反射变换教学难点证明(12)12.教学过程一、情境设置已知在平面直角坐标系的第一象限有一张汽车图片F，将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换，分别得到图片F1，F2，F3.这些变换能用矩阵来表示吗？在图片F上任取一个P(x,y)，假设三个变换分别为T1，T2，T3，对应的矩阵分别记为M1，M2，M3，则有，二、建构数学1.反射变换像这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.相应地，前者叫做轴反射，后者称为中心反射，其中的定直线称为反射轴，定点称做反射点.探究已知格子纸上有一面小旗（如图），请在格纸上画出它关于x轴、关于y轴和关于原点对称的图形.三、数学应用例1、求直线y4x在矩阵作用下变换所得的图形.解：设P(x0,y0)为直线y4x上的任一点，它在矩阵作用下变换变为点P(x0,y0)，则有故从而直线y4x在矩阵作用下变成直线例2、求曲线y24x在矩阵作用下变换所得的图形.解：设P(x0,y0)为曲线y24x上的任一点，它在矩阵作用下变换变为点P(x0,y0)，则有，故从而曲线y24x在矩阵作用下变成曲线例3、二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.详见教材21页-22页部分说明：把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换（平面上的线性变换都可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的线性变换）.当abcd0时，把平面上的所有点都变换到坐标原点（0,0），此时为线性变换的退化情况，因此在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察顶（端）点的变化结果即可.想一想：曲线yf(x)在矩阵作用下变换所得图形的方程分别是什么？四、练习1、表示轴的反射变换的矩阵是 ( B )A. B. C. D. 2、变换的几何意义为 ( B )A.关于y轴反射变换 B. 关于x轴反射变换C. 关于原点反射变换 D.以上都不对五、回顾反思1.知识点：反射变换，线性变换2.思想方法：数形结合，类比六、作业1、矩阵将点A（2，5）变成了什么，并指出该变换是什么变换。解：经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换2、求出曲线在矩阵作用下变换得到的曲线解： T：，则 3、求出平行四边形在矩阵对应的变换作用下得到的几何图形，并画出示意图。其中解析：所得图形与原平行四边形关于轴对称4、写出对直线的反射矩阵M。解：设平面上任一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为，则，又M，M=。2.2.4旋转变换三维目标1.知识与技能掌握旋转变换的矩阵表示与几何意义2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。教学重点旋转变换教学难点旋转矩阵的导出教学过程一、情境设置假设电风扇的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如图所示.已知电风扇叶片上一点P(x,y)，它绕中心O旋转角到另外一点P(x,y)，因此旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做一个几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？不妨设OP与x轴正方向的夹角为，|OP|=r，则有从而有即T：二、建构数学矩阵通常叫做旋转矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中的角叫做旋转角，点O叫做旋转中心.说明：旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.恒等变换、伸压变换、反射变换这三个变换中还有哪些变换，只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状？反射变换恒等变换与旋转变换的关系是什么？0反射变换与旋转变换的关系是什么？绕定点作旋转180的变换相当于关于定点作中心反射变换.我们学过那部分知识与旋转有联系？推广角的概念三、数学运用例1已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.解：由题意，得旋转矩阵因此，矩形ABCD在矩阵M的作用下变成了矩形ABCD，其中点A(0,0),B(0,2),C(1,2),D(1,0)，如图所示.变：已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转30后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.解：由题意，得旋转矩阵因此，矩形ABCD在矩阵M的作用下变成了矩形ABCD，其中点A(0,0), 如图所示.例2已知曲线y24x绕原点逆时针旋转90后所得到的曲线C，求曲线的方程.解：由题意，得旋转矩阵设P(x0,y0)为曲线y24x上的任一点，它在矩阵作用下变换变为点P(x0,y0)，则有，故从而曲线y24x在矩阵作用下变成曲线四、课堂练习1、在平面上任意四边形ABCD，经过下列变换后，使所得图形与原四边形ABCD全等的变换矩阵是 （ C ）A、 B、 C、 D、2、求出在矩阵对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图其中，解析：即把绕原点逆时针旋转3、已知曲线将它绕坐标原点顺时针旋转后，求曲线方程解析：旋转后曲线方程为五、回顾反思1.知识点：旋转变换2.思想方法：数形结合六、作业1、已知平面四边形ABCD在旋转变换作用下变成四边形，那么下面基本量：四边形的面积；四边形的形状；四边形的周长；四边形的顶点坐标。其中不改变的有 （写出所有正确的序号）2、坐标平面上A(2,1),AOB为一等腰直角三角形，且AOB=90，点B在第二象限则点B的坐标为3、矩阵将点（2，1）变成了什么?指出该变换是什么变换？解： =即点：（，）经过变化后变为 A（，）该变换是把向量绕着原点逆时针旋转得到向量该变换为旋转变换4、 在坐标平面上，求将点P(3,4) 以原点为中心，顺时针旋转60后的点P坐标。解：，P（，）。5、将双曲线C：上点绕原点逆时针旋转45，得到新图形，试求的方程。解：由题意，得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线上的一点，它在变换TM作用下变为，则有M=，故，又因为点P在曲线上，所以，即有。所求的方程为。6、已知二次曲线，若将其图形绕原点逆时针旋转角后，所得图形的新方程式中不含项，求 解：由已知得旋转变换矩阵M=T：，从而有代入原二次曲线方程，得到关于的新方程式，要使其中不含项，必须满足，即，。2.25投影变换三维目标1.知识与技能掌握投影变换的矩阵表示与几何意义2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。教学重点投影变换教学难点投影变换矩阵教学过程一、情境设置如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T，并且有T：故变换T对应的矩阵为M二、建构数学像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射.三、数学运用例1、研究矩阵所确定的变换.解：对于平面上的向量，有，因此，矩阵使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x轴方向投影到直线yx上，如图所示.例2、研究线段AB在矩阵作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2).解：因为，所以在矩阵对应的变换作用下，线段AB变换成线段AB，其中A(0,0),B(1/2,1/2)，如图所示.变：研究直线y=2x在矩阵作用下变换得到的图形.解：在直线y=2x上取点A(0,0),B(1,2)因为，所以在矩阵对应的变换作用下，点A、B分别变换成点A(0,0),B(1/2,1/2)，因此直线y=2x在矩阵作用下变换得到直线yx.思考矩阵的变换作用如何？对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到y轴上时，纵坐标保持，横坐标变化为0.思考我们学习过的变换中，哪些是一一映射？哪些不是？恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、切变变换都是一一映射，投影变换是映射，但不是一一映射.四、回顾反思1.知识点：投影变换2.思想方法：数形结合五、作业1、直线在矩阵A对应的变换作用下变成直线，则A=2、直线在矩阵变换下变成什么图形。解：任取直线上一点，它在矩阵变换下变成，则有，故，因此，直线在矩阵作用下变成点（1，1）。3、研究直线在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义。解：任取直线的一点，它在矩阵对应的变换作用下变为，则有，故即又因为点P在直线上，所以即有从而直线在矩阵作用下变成直线。其几何意义是：把直线上的每一点沿垂直于直线的方向投影到该直线上。4、研究双曲线在矩阵作用下变换得到的图形，并说明变换的几何意义。解：设所求图形上任一点为，与之对应的原图形上的点为，则，图形略。其变换的几何意义是把双曲线上的任一点垂直投影到上。5、研究圆在矩阵作用下变换得到的图形。解：设所求图形上任一点，与之对应的原图形上的点为则，又在已知圆上，在矩阵对应的变换作用下，圆变换成线段AB，其中，如图所示。6、若直线在矩阵M=对应的变换作用下，把自己变为自己，求 的值解：由题意知TM：，故，易求得。2.26切变变换三维目标1.知识与技能 掌握切变变换的矩阵表示与几何意义2.过程与方法 通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.3.情感、态度与价值观利用函数映射思想作为一以贯之的线索，来帮助学生理解和建构数学。教学重点 切变变换教学难点 切变矩阵的导出教学过程一、情境设置下图是一副码好的纸牌，现将它的右边对齐一把直尺，保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动，用直尺轻轻地推动纸牌，使得纸牌的形状变换为图所示的模样.因此纸牌推动前后的正视图可以看做是一个平面几何变换.这个变换能否用一个矩阵来该画呢？这个变换为T，对应的矩阵为M，考察点B的坐标，若B(a,b)B(a+m,b),mR,则T：于是，有M，不妨令则有mkb(当k0时，是恒等变换).一般地，对于图形中的任意一点P(x,y)，纵坐标保持不变，而横坐标依纵坐标的比例增加，且(x,y)(x+ky,y)，故T：M这就是说，矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向平移|ky|个单位：当ky0时，沿x轴正方向移动；当ky0时，沿x轴负方向移动；当ky0时，原地不动.在此变换作用下，x轴上的点称为不动点.思考：矩阵把平面上