2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教B版选修1_2.docx

2.1.2演绎推理学 习 目 标核 心 素 养1理解演绎推理的意义(重点) 2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(难点) 3了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系(易混点)通过学习演绎推理及利用演绎推理证明数学问题，提升学生的逻辑推理素养.一、演绎推理1含义由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理2特点当前提为真时，结论必然为真二、三段论一般模式常用格式大前提已知的一般性原理M是P小前提所研究的特殊对象S是M结论根据一般性原理，对特殊对象做出的判断S是P1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)演绎推理一般模式是“三段论”形式()(2)演绎推理的结论是一定正确的()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()解析(1)正确演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论(2)错误在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的(3)错误演绎推理是由一般到特殊的推理答案(1)(2)(3)2锐角三角形ABC中，求证sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.证明ABC为锐角三角形，AB，AB.ysin x在上是增函数，sin Asincos B.同理可得sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数(2)三角形的内角和为180，RtABC的内角和为180.(3)菱形的对角线互相平分(4)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列思路探究三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果bc，ab，则ac.”其中，bc为大前提，提供了已知的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果解(1)一切奇数都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇数(结论)(2)三角形的内角和为180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的内角和为180.(结论)(3)平行四边形的对角线互相平分(大前提)菱形是平行四边形(小前提)菱形的对角线互相平分(结论)(4)数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列(大前提)通项公式an3n2，n2时，anan13n23(n1)23(常数)(小前提)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列(结论)1三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其结论一定是正确的1(1)三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()ABCD(2)将推断“若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若1和2是对顶角，则1和2相等”改写三段论的形式解析(1) 大前提为，小前提为，结论为.答案D(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)1和2是对顶角，(小前提)1和2相等(结论)演绎推理的应用【例2】证明f(x)x3x在R上为增函数，并指出证明过程中所运用的“三段论”思路探究可利用函数单调性定义证明解在R上任取x1，x2，且x10.因为f(x)x3x，所以f(x2)f(x1)(xx2)(xx1)(xx)(x2x1)(x2x1)(xx2x1x1)(x2x1)，因为2x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)x3x在R上是增函数在证明过程中所用到的“三段论”：大前提是“增函数的定义”，小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”，结论是“f(x)是增函数”1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提2如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA，求证：DEAF.写出“三段论”形式的演绎推理证明因为同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFAE.(结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形(结论)因为平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DEAF.(结论)合情推理与演绎推理的综合应用探究问题1我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义提示如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积2若an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式提示由于an是等积数列，且首项a12，公积为6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此an的通项公式为an其前n项和公式Sn3甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为A，B，C三个城市中的哪一个？提示由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.【例3】如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影(1)求证：O为BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明思路探究(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为BCD的重心(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明解(1)证明：ABAD，ACAD，ABACA，AD平面ABC.又BC平面ABC，ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可证CDBO，O为BCD的垂心(2)猜想：SSSS.证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE，BO，CO，由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EOED，即SSBOCSBCD.同理可证：SSCODSBCD，SSBODSBCD.SSSSBCD(SBOCSCODSBOD)SBCDSBCDS.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).3已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn(nN)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列bn也是等差数列证明如下：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列1演绎推理中的“一般性原理”包括()已有的事实；定义、定理、公理等；个人积累的经验ABC D解析演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”答案A2下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an(n2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式解析A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理答案A3用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D是正确的解析这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a20”显然结论错误，原因是大前提错误答案A4函数y2x5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_；小前提：_；结论：_.答案一次函数的图象是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2