高中数学必考点典型例题合集.docx

典型例题一、集合二、映射三、函数四、导数五、微积分六、三角函数七、平面向量八、数列九、不等式十、解析几何十一、立体几何十二、空间向量十三、统计十四、概率十五、排列组合十六、二项式定理十七、推理与证明十八、简单逻辑十九、算法语言二十、复数一、集合（1）已知集合，则 ( )A、或 B、或 C、或 D、或（2）已知集合A=x|x22x0，B=x|x，则 ( ) A、AB= B、AB=R C、BAD、AB（3）已知集合A=x|x1，B=x|，则 ( )A、B、C、 D、二、映射（1）集合，那么可建立从到的映射个数是_，从到的映射个数是_（2）如果函数对任意都有，试求的值三、函数（1）已知，则（A） （B） （C） （D）（2）已知函数f(x)，若| f(x)|ax，则a的取值范围是()A、（，0 B、（，1 C、2，1 D、2，0（3）已知函数ae2x+(a2) exx.（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求a的取值范围.（4）已知函数有两个零点. ()求a的取值范围； ()设x1，x2是的两个零点，证明：+x22.（5）定义在R上的增函数yf(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)()求f(0)；()求证：f(x)为奇函数； ()若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围四、导数（1）已知函数（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围（2）已知函数（I）当时，求函数的最大值；（II）若函数没有零点，求实数的取值范围。（3）已知是函数的一个极值点（）（I）求实数的值； （II）求函数在的最大值和最小值五、微积分（1）如图，阴影部分的面积是A B C D（2）已知函数f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)成立，则a_（3）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2.（I）求y=f（x）的表达式；（II）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.六、三角函数（1）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（A）11（B）9（C）7（D）5（2）求函数 的周期和单调增区间（3）已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.（4）（5）（6）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长七、平面向量（1）已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |=（2）如图OAB，其中、，M、N分别是边、上的点，且，设与相交于P，用向量a，b表示（3）已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，试求点的坐标和M，N两点间的距离（4）已知a(cosa ，sina )，b(cosb ，sinb )，(0a b p )(I)求证：ab与ab互相垂直；(II)若kab与kab大小相等，求b a (其中kR，k0)八、数列（1）设等比数列满足满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为。（2）记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D8（3）已知数列满足. （）求；（）证明：.（4）数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.（5）已知数列an中，a1=1,an+1=2an+3,求an.（6）已知数列an满足a1=1，a2=3,an+2=3an+1-2an（）证明数列an+1-an是等比数列；（）求数列an的通项公式；九、不等式（1）已知集合Mx|x24，Nx|x22x30，则集合MN（ ）（A）x|x2 （B）x|x3 （C）x|1x2 （D）x|2x3（2）已知实数x、y满足则z2xy的取值范围是 _ .（3）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。学.科网该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元。（4）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）（5）已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0x11x20; （）若z=a+2b,求z的取值范围。十、解析几何（1）两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）A B C D （2）椭圆的一个焦点坐标为，则其离心率等于 （ ）A. 2 B. C. D. （3）设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）A B C D（4）下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号_.（写出所有真命题的序号）。 设为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线； 设为两个定点，若动点满足，且，则的最大值为8； 方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； 双曲线与椭圆有相同的焦点（5）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.十一、立体几何（1）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （）（A） （B）4 （C）4 （D）6（2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(D)A168 B88C1616 D816（3）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD（I）证明：；（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高（4）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点()证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。（5）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（）证明：平面PAB平面PAD；（）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.十二、空间向量图1（1）如图1，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是（ ）A.a+b+cB. a+b+cC. ab+cD.ab+c图2（2）已知三棱柱ABCA1B1C1，在某个空间直角坐标系中，=0，0，n.（其中m、n0）.如图2.（）证明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱；（）若m=n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小. （3）如图3，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a.（）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（）求AC1与侧面ABB1A1所成的角图3（4）四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， =2，1，4，=4，2，0，=1，2，1.（1）求证：PA底面ABCD；（2）求四棱锥PABCD的体积；（5）如图4在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中图4点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30。（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为，求cos的值.十三、统计（1）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 （ ）（A）9 （B）18 （C）27 (D) 36（2）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 .（3）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为（ ）A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64（4）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：您是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（）能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828十四、概率（1）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A） （B） （C） （D）（2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是ABCD（3）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5。现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0.20.45bc（）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件；求a、b、c的值。（）在（）的条件下，将等级系数为4的3件记为x1、x2、x3，等级系数为5的2件记为y1、y2。现从这五件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。（4）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（）当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.（5）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望； （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数（6）设XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）AP（Y2）P（Y1）BP（X2）P（X1）C对任意正数t，P（Xt）P（Yt）D对任意正数t，P（Xt）P（Yt）十五、排列组合（1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙最右端不能排甲，则不同的排发共有_（3）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_十六、二项式定理（1）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A212B211C210D29（2）二项式（x+1）n（nN+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A7B6C5D4（3）已知（）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）ABC6D6十七、推理与证明（1）函数由下表定义：若，则 （2）已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 （3）已知，证明方程没有负数根（4）已知数列满足, ，求证：是等比数列；（5）用数学归纳法证明：十八、算法语言（1）执行右面的程序图，如果输入的，则输出x，y的值满足（A）（B）（C）（D）（2）右面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000和n=n+1BA1 000和n=n+2CA1 000和n=n+1DA1 000和n=n+2十九、简单逻辑（1）给出下列3个命题判断“至多有两个”的否定是“至少有两个”若ab，则关于x的不等式解集为xaxb是真命题向量a、b，若a0，ab0，则b0是假命题其中真命题的序号是( )ABCD（2）命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是( )A若loga