函数单调性的应用高三数学复习研讨课 新课标 人教

函数单调性的应用 第一部分 回顾知识点 一般地 设函数的定义域为A 如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值 当时 都有那么就说在这个区间上是增函数 1 函数单调性的定义 一般地 设函数的定义域为A 如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值 当时 都有那么就说在这个区间上是减函数 2 证明函数单调性的一般方法 1 定义法 设 作差 一般结果要分解为若干个因式的乘积 且每一个因式的正或负号能清楚地判断出 判断正负号 若差为负值则为增函数 反之则为减函数 做商法也行 最后判断商与 1 的大小 如果恒有 则是常数 3 求单调区间的方法 定义法 导数法 图象法4 一些有用的结论 一次函数y kx b k 0 反比例函数二次函数y ax2 bx c a 0 指数函数y ax a 0 a 1 对数函数y logax a 0 a 1 5 利用函数的运算性质判断函数的单调性 若f x g x 为增函数 则有 f x g x 为增函数 f x g x 为增函数 f x 0 g x 0 f x 为减函数 6 复合函数单调性的判断 同增异减 函数的单调性是函数的重要性质函数的单调性常应用在 1 求函数的值域 包括最值 2 确定单调区间 3 求参数取值范围 4 解不等式或方程 第二部分 应用1求函数的值域 方法一 利用换元思想转化成求二次函数在定区间上的值域 方法二 用函数单调性求解 解法一 换元法 令 t t 0 则x y t t 1 2 1 值域为 解法二 利用函数单调性 函数y x 在 上是减函数 当x 时 y有最小值 值域为 例2 求函数y log0 1 2x x2 的单调区间 解 y log0 1u u 2x x2 由u 2x x2解得原复合函数的定义域为0 x 2 由于y log0 1u在定义域 0 内是减函数 所以 原复合函数的单调性与二次函数u 2x x2的单调性正好相反 易知u 2x x2 x 1 2 1在x 1时单调增 由0 x 2 复合函数定义域 且x 1 u增 解得0 x 1 所以 0 1 是原复合函数的单调减区间 又u x 1 2 1在x 1时单调减 由x 2 复合函数定义域 x 1 u减 解得1 x 2 所以 1 2 是原复合函数的单调增区间 注 以上解法中 让定义域与单调区间取公共部分 从而保证了单调区间落在定义域内 应用二求函数的单调区间 解设y u 7 6x x2 由7 6x x2 0 解得原复合函数的定义域为 7 x 1 因为y 在定义域 0 内是增函数 所以原复合函数的单调性与二次函数u x2 6x 7的单调性相同 易知u x2 6x 7 x 3 2 16在x 3时单调递增 由 7 x 1 复合函数定义域 x 3 u增 解得 7 x 3 所以 7 3 是复合函数的单调增区间 易知u x2 6x 7 x 3 2 16在x 3时单调减 由 7 x 1 复合函数定义域 x 3 u减 解得 3 x 1 所以 3 1 是复合函数的单调减区间 练习2 求y 的单调区间 应用三利用单调性求参数的取值范围 例3 已知函数在上是增函数 求a的取值范围 例4 已知在R上是减函数 求a的取值范围 练习3 若在 0 1 上是x的减函数 则a的取值范围是 A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 2 分析 本题存在多种解法 但不管哪种方法 都必须保证 使loga 2 ax 有意义 即a 0且a 1 2 ax 0 使loga 2 ax 在 0 1 上是x的减函数由于所给函数可分解为y logau u 2 ax 其中u 2 ax在a 0时为减函数 所以必须a 1 0 1 必须是y loga 2 ax 定义域的子集 解法一 因为f x 在 0 1 上是x的减函数 所以f 0 f 1 即loga2 loga 2 a 解法二 由对数概念显然有a 0且a 1 因此u 2 ax在 0 1 上是减函数 y logau应为增函数 得a 1 排除A C 再令a 3 则的定义域为 但 0 1 不是该区间的子集 故排除D 选B 课后作业 1 求的值域 2 设 则实数a的取值范围是 A B C D 3 求函数的值域 4 函数在区间 4 上是减函数 则实数a的取值范围是 A a 3B a 3C a 5D a 3 思考题 如果函数在定义域的一个子区间 k 1 k 1 上不是单调函数 则k的取值范围是 A B C D 一次函数y kx b k 0 当k 0时 是这个函数的单调增区间 当k 0时 是这个函数的单调减区间 当k 0时 0 和 0 都是这个函数的单调减区间 当k 0时 0 和 0 都是这个函数的单调增区间 反比例函数 二次函数y ax2 bx c a 0 当a 0时 是这个函数的单调减区间 是它的单调增区间 当a 0时 是这个函数的单调增区间 是它的单调减区间 指数函数y ax a 0 a 1 当a 1时 是这个函数的单调增区间 当0 a 1时 是这