§1-2 条件分布与条件数学期望

1 2条件分布与条件数学期望 一 条件分布二 条件数学期望 一 条件分布 设pij P X xi Y yj i j 1 2 是二维离散型随机向量 X Y 的联合分布律 则在事件 Y yj 已发生的条件下 事件 X xi 发生的条件概率P X xi Y yj i 1 2 称为在Y yj的条件下随机变量X的条件分布律 条件分布律的定义 在事件 X xi 已发生的条件下 事件 Y yj 发生的条件概率P Y yj X xi j 1 2 称为在X xi的条件下随机变量Y的条件分布律 X Y 为二维离散型随机向量 在Y yj的条件下随机变量X的条件分布律 条件分布律的计算公式 在X xi的条件下随机变量Y的条件分布律 X Y 为二维离散型随机向量 2 条件分布律由联合分布律确定 3 联合分布律由边际分布律和条件分布律共同确定 1 条件分布律计算公式成立的条件 注记 X Y 为二维离散型随机向量 4 离散型随机变量X Y相互独立的充要条件 例题1 X Y 1 2 3 4 2 3 4 P X m Y n P 共射击n次 其中第m n次击中目标 其余n 2次不击中目标 p2 1 p n 2 m n 0 0 0 0 0 0 一战士进行射击 击中目标的概率为p 0 p 1 射击到击中目标两次为止 设X以表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 试求X和Y的联合分布律及条件分布律 p2 p2 1 p p2 1 p p2 1 p 2 p2 1 p 2 p2 1 p 2 X Y 为二维离散型随机向量 在Y yj的条件下随机变量X的条件分布函数 条件分布函数的计算公式 在X xi的条件下随机变量Y的条件分布函数 X Y 为二维离散型随机向量 设F x y 是二维随机向量 X Y 的联合分布函数 条件分布函数的定义 X Y 为二维连续型随机向量 给定y 设对于任意固定的正数 P y Y0 且若对于任意实数x 极限 存在 则称此极限为在Y y的条件下X的条件分布函数 记为 条件分布函数的计算公式 X Y 为二维连续型随机向量 若对于固定的x fX x 0 则 设f x y 是二维连续型随机向量 X Y 的联合概率密度 若对于固定的y fY y 0 则 在Y y的条件下X的条件概率密度 条件概率密度的计算公式 在X x的条件下Y的条件概率密度 X Y 为二维连续型随机向量 2 条件概率密度由联合概率密度确定 3 联合概率密度由边缘概率密度和条件概率密度共同确定 1 条件概率密度计算公式成立的条件 X Y 为二维连续型随机向量 注记 4 连续型随机变量X Y相互独立的充要条件 例题2 0 1 1 y x y G 设二维连续型随机变量 X Y 的联合概率密度函数为 求fX Y x y 0 y 1 X Y 为二维连续型随机向量 条件分布函数的定义 X Y 为一般二维随机向量 条件分布函数的计算公式 重要结论 X Y 为一般二维随机向量 如果X Y相互独立 则FY X y x FY y 证明 如果X Y相互独立 则F x y FX x FY y 进而 二 条件数学期望 如果R S积分绝对收敛 则称它为X在Y y的条件下的条件数学期望 记为 条件数学期望的定义 条件数学期望的计算公式 条件数学期望的性质 1 当X Y相互独立时 E Y X E Y 2 E c X c c为常数 3 E g X X g X 4 E aY bZ X aE Y X bE Z X 5 全数学期望公式E E Y X E Y 全数学期望公式的证明 假设 X Y 为二维连续型随机向量 得 条件数学期望的性质 条件数学期望的性质 6 E g X Y X g X E Y X 7 E Y E Y X 2 E Y g X 2 一个工人看管分布在一直线上的n台同类型机床 相邻两台机床之间相距a 假设每台机床需调整的概率为1 n 求工人两次调整机床之间所走路程的数学期望 例题3 设Y 工人两次调整机床之间所走路程 E Y E E Y X X 第一次调整的机床号码 E Y X i i 1 a 1 n i 2 a 1 n a 1