2019-2020学年佛山市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省佛山市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】由倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，化成一般式.【详解】直线倾斜角为，则斜率为-1，且经过点，直线方程为，即.故选:B【点睛】本题考查求直线方程，属于基础题.2已知命题p：，则为 A，B，C，D，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案【详解】解：命题p：，则为，故选：D【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键3已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ）ABCD【答案】C【解析】求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.4圆与圆的位置关系为（ ）A外离B相切C相交D内含【答案】C【解析】求出两圆的圆心和半径，判断圆心距和两半径和与差的绝对值的关系，即可得出结论.【详解】化为，圆心，半径；化为，圆心，半径，所以两圆相交.故选:C【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.5过点的双曲线的渐近线方程为，则的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据渐近线方程，设出双曲线方程，将点代入，即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为将点代入，得.故选:B【点睛】本题考查已知双曲线渐近线方程求标准方程，合理设双曲线方程是解题的关键，属于基础题.6函数，则“”是“，使”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出“，使”成立时，的取值范围，与“”比较，即可得出结论.【详解】，使即，需，“”是“，使”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查存在不等式成立，属于基础题.7已知是平面的一条斜线,直线过平面内一点,那么下列选项中能成立的是( )A,且B,且C,且D,且【答案】A【解析】将选项BCD一一当做条件，都会得出与题中矛盾的结论，故选项BCD错误，选项A得不出矛盾，选项A正确.【详解】解：若,且，则或，不符合题意，选项B错误；若,且，则，不符合题意，选项C错误；若,且，则，不符合题意，选项D错误.故选：A.【点睛】本题考查了空间中线面平行与垂直关系的判定与性质，属于基础题.8正四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用空间向量法，求出所成角余弦的绝对值，即为所求.【详解】设，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选:D 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，属于基础题.9如图，长方体中，点，分别为，的中点，过点的平面与平面平行，且与长方体的面相交，则交线围成的几何图形的面积为（ ）ABC12D24【答案】A【解析】过点作两条相交的直线与平面平行，这两条相交线确定的平面即为，作出平面与长方体交线，可得交线围成图形为等腰梯形，求出等腰梯形的面积，即可求解.【详解】取中点，连，点，分别为，的中点， 由长方体， 确定平面，平面，平面，平面，同理可证平面，平面， 平面平面，平面即为所求的平面， ，平面与长方体交线围成的图形是等边梯形等腰梯形的高为，面积为.故选:A【点睛】本题考查面面平行的判定，以及平面与空间图形的相交线组成的图形，属于较中档题.10已知为双曲线：的上焦点，若圆：上恰有三个点到的一条渐近线的距离为，则的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】圆圆心为双曲线焦点，可求出圆心到渐近线的距离，若圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为，则与渐近线平行且与渐近线距离为的直线与圆相切，可求出圆心到切线的距离且等于，得出关系，进而得出结论.【详解】双曲线：的一条渐近线方程为，圆心到直线距离为，圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为，则与渐近线平行且与渐近线距离为的直线与圆相切，圆心到切线的距离为，.故选:A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题.二、多选题11瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）ABCD【答案】AD【解析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为， 由，重心为，代入欧拉线方程，得，由 可得或 .故选:AD【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.12在平面直角坐标系中，曲线上任意点与两个定点和点连线的斜率之和等于2，则关于曲线的结论正确的有（ ）A曲线是轴对称图形B曲线上所有的点都在圆外C曲线是中心对称图形D曲线上所有点的横坐标满足【答案】BC【解析】根据已知条件求出曲线的方程，即可求得结论.【详解】设点，得不满足方程，图像如下图所示： 曲线对应的函数是奇函数，图像关于原点对称，无对称轴，选项C正确，选项A不正确；，选项B正确；当时，则选项D不正确. 故选:BC【点睛】本题考查求曲线方程，并研究曲线的几何性质，属于较难题.三、填空题13将边长为1的正三角形绕其一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为_.【答案】【解析】所得的几何体为同底等高的圆锥组合体，根据圆锥的体积公式，即可求解.【详解】将边长为1的正三角形绕其一边所在直线旋转一周，所得几何体是底面半径为，高均为的两个同底圆锥组合体，其体积为.故答案为:【点睛】本题考查旋转体的体积，属于基础题.14已知直线互相垂直，则的值为_ .【答案】.【解析】根据两条直线垂直的条件，得到所满足的等量关系式，解方程，求得的值.【详解】因为直线 互相垂直，则有，即，进一步化简得，解得或，故答案是0或2.【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用垂直的条件是，得到关于所满足的等量关系式，求得结果.15表面积为的球面上有、三点，且，则球心到平面的距离为_.【答案】【解析】求出球的半径，为直角三角形，求出的外接圆的半径，根据截面圆的性质，即可求解.【详解】球的表面积为，可得球半径， ，为直角三角形，的外接圆的半径， 球心到平面的距离为球心与的外接圆圆心的距离为.故答案为:【点睛】本题考查球截面的性质，球心与截面圆（小圆）圆心连线垂直截面圆所在的平面是解题的关键，属于基础题.16在棱长为2的正方体中，点是正方体棱上一点，.若，则满足条件的点的个数为_；若满足的点的个数为6，则的取值范围是_.【答案】4 【解析】（1）由题意可得点是以为焦距，以为长半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求解；（2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点的个数为6个时，短半轴范围，即可求解.【详解】（1）正方体的棱长为，是以为焦距，以为长半轴的椭圆，在正方体的棱上，应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可得，满足条件的点为，以及棱各有一点满足条件，故满足条件的点的个数为；（2），当椭圆短半轴时，椭圆与棱,各有一个交点，与其它棱无交点，满足题意，当时，由（1）得不合题意.当时，根据正方体的性质，至多只有4个点在棱上，不合题意；当时，椭圆与棱 各有一个交点，满足题意， ，；当，椭圆至多与正方体的棱有4个交点，不合题意.综上 或.故答案为:（1）4；（2）【点睛】本题以正方体为载体，考查了椭圆定义的灵活应用，属于难题.四、解答题17已知点，.（1）判断、四点能否围成四边形，并说明理由；（2）求的面积.【答案】（1）、四点不能围成四边形,详见解析（2）【解析】（1）利用斜率判断是否存在三点共线；（2）求出所在的直线方程，再求出点到直线的距离，运用面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，即，所以、三点共线，故、四点不能围成四边形.（2）由（1）可知，所以直线的方程为，即，点到直线的距离，又，所以的面积为.【点睛】本题考查点共线问题，可用：求斜率；求出某两点所在的直线方程，其它点代入验证；用向量坐标判断是否共线.18如图，四棱锥的底面为平行四边形，点、分别在、上，为中点，且平面.（1）若，求证：平面平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由已知平面，可得，结合，可证平面，即可证明结论；（2）连交于，连，可得，即可证明结论.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）连接交于，连接，因为四边形为平行四边形，所以，又为中点，所以，又平面，平面，所以平面.【点睛】本题考查空间垂直和平行的证明，属于基础题.19在平面直角坐标系中，直线：，圆的圆心在直线上，半径为2.（1）若圆被轴截得的弦长为，求圆的方程；（2）已知，圆上存在点，使得，求圆心横坐标的取值范围.【答案】（1）圆的方程为或（2）【解析】（1）根据已知条件设圆心坐标为，求出圆心到轴的距离，结合弦长公式，即可求解； （2）在线段的垂直平分线上，又点在圆上 转化为圆与的垂直平分线有交点，利用圆与直线的位置关系，即可求解.【详解】（1）设圆：，因为圆被轴截得的弦长为，所以圆心到轴的距离，即，解得或，所以圆的方程为或.（2）题意等价于的中垂线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径2，即.解得，即圆心横坐标的取值范围为.【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，要注意点到直线距离的灵活运用，属于中档题.20已知抛物线：，过定点的直线为.（1）若与仅有一个公共点，求直线的方程；（2）若与交于、两点，直线、的斜率分别为、，试探究与的数量关系.【答案】（1）直线的方程为或或（2）【解析】（1）点在抛物线外，对直线斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立，利用方程组只有一个解，即可得出结论；（2）由（1）中结合韦达定理，确定关系，利用斜率公式，即可求解.【详解】（1）当直线的斜率不存在时，：，显然满足题意；当直线的斜率存在时，设：，联立，消去整理得当时，方程只有唯一解，满足题意，此时的方程为.当时，解得，此时的方程为.综上，直线的方程为或或.（2）设，由可知，又，所以，即与满足的数量关系为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，当点在抛物线外，过点直线与抛物线只有一个交点的直线有三条，考查定值问题，属于中档题.21如图，梯形中，将沿折到的位置，使得平面平面.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用长度关系可证，根据面面垂直的性质定理，可得平面，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，运用空间向量法,即可求解.【详解】（1）在梯形中，过作于，则，又，所以，故，即.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设平面的法向量，则，即，解得，令，得，设平面的法向量，则，即，解得，令，得，所以，结合图形可知，二面角为钝角，它的余弦值为.【点睛】本题考查空间垂直的转换证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角，考查计算能力，属于中档题.22某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.【答案】（1）此隧道设计的拱宽至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小【解析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，根据对称性，将点代入椭圆方程，即可求解；（2）由点在椭圆上或在椭