北京市2017届高三数学理科一轮复习专题突破训练：圆锥曲线

北京市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 圆锥曲线 一、选择、填空题 1、（ 2016 年北京高考） 双曲线 221（ 0a ， 0b ） 的渐近线为正方形 边 C 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点 ， 若正方形 边长为 2，则 a _. 2、（ 2015 年北京高考） 已知双曲线 01222 3 则 a 3、（ 2014 年北京高考） 设双曲线 C 经过点 2,2 ，且与 2 2 14y x具有相同渐近线，则 C 的方程为 _； 渐近线方程为 _. 4、（朝阳区 2016 届高三二模） 双曲线 2 2:13的渐近线方程是 ；若 抛物线2 2 ( 0 )y px p的焦点与 双曲线 C 的一个焦点重合， 则 p 5、（东城区 2016 届高三二模） 若点 2,0)F 分别为双曲线 2 22 1x （ 0）的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 222 +1_ 6、（丰台区 2016 届高三一模） 已知双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy 的一条渐近线为 3，那么双曲线的离心率为 _. 7、（石景山区 2016 届高三一模） 双曲线 2 2 12x y的焦距是 _， 渐近线方程是 _ 8、（西城区 2016 届高三二模） 设双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 22，则 其 离心率为 _；若点 (4,2) 在 C 上，则双曲线 C 的方程为 _. 9、（朝阳区 2016 届高三上学期期末） 已知点)0,22(上一动点 ( , )则y 的最小值是 A 12B 1 C 2 D 3 10、（大兴区 2016 届高三上学期期末） 双曲线 222的一条渐近线的方程是 （ A） 2 （ B） 22 C） （ D） 2 11、（海淀区 2016 届高三上学期期末） 抛物线 2 4的准线与 y 轴的 交 点 的 坐标为 A. 1(0, )2B.(0, 1) C.(0, 2) D.(0, 4) 12、（石景山区 2016 届高三上学期期末） 若曲线 )0(22 只有一个点到其焦点的距离为1，则 p 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、解答题 1、（ 2016 年北京高考） 已知椭圆 C： 2210 ）的离心率为 32， ( ,0) (0, )0,0)O ， 的面积为 1. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 P 的椭圆 C 上一点，直线 y 轴交于点 M，直线 x 轴交于点 N. 求证： 为定 值 . 2、（ 2015 年北京高考） 已知椭圆C： 012222 1,0P 和点 0, 在椭圆 上，直线 于点 M （ ）求椭圆求点 （ ）设 关于 线 ：得 ？若存在，求点不存在，说明理由 3、（ 2014 年北京高考） 已知椭圆 22: 2 4C x y， （ 1） 求椭圆 C 的离心率 . （ 2） 设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 2y 上，且 B ，求直线 圆222的位置关系，并证明你的结论 . 4、（朝阳区 2016 届高三二模） 在平面直角坐标系 0 0 0( , ) ( 0 )P x y y 在椭圆 :C 2 2 12x y上，过点 P 的直线 l 的方程为 00 12xx （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 ,求 面积的最小值； （ ）设椭圆 C 的左、右焦点分别为1F，2F，点 Q 与 点1l 对称，求证：点2,三点共线 5、（东城区 2016 届高三二模） 已知椭圆 C： )0(12222 2 ， 1 )，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形 . ( )求椭圆的标准方程； ( )设 M , )是椭圆 C 上的动点， P ,0)p（ 是 X 轴上的定点，求 最小值及取最小值时点M 的坐标 . 6、（丰台区 2016 届高三一模） 已知椭圆 G：)0(12222 半轴长为 1. （ ）求椭圆 G 的方程； （ ）设 椭圆 G 的短轴端点分别为 , P 是椭圆 G 上异于点 ,点，直线 ,别与直线 4x 于 ,线段 直径作圆 C . 当点 P 在 y 轴左侧时，求圆 C 半径的最小值； 问：是否存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由 . 7、（海淀区 2016 届高三二模） 已知点1 1 2 2( , ) , ( , ) (A x y D x 曲线 2 4 ( 0 )y x y上的 两点， ,x 轴上的射影 分别为 点 , | | 2. （） 当点 B 的坐标为 (1,0) 时，求直线 斜率； （） 记 的面积为1S，梯形 面积为2S，求证：1214 . 8、（石景山区 2016 届高三一模） 已知椭圆 2222: 1 ( 0 )a 的短轴长为 2 ， 离心率为 22，直线 :l y kx m与椭圆 C 交于 两点，且 线段 垂直平分线通过点 1(0 )2， （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）求 O 为 坐标 原点）面积的最大值 9、（西城区 2016 届高三二模） 已知椭圆 C ： )0(12222 短轴 的 两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为 24 . （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设过点 )0)(,0( 直线 l 与椭圆 C 相交于 , B 关于原点的对称点为 D，若点 D 总 在 以线段 直径的圆内，求 m 的取值范围 . 10、（东城区 2016 届高三上学期期末） 已知椭圆 221（ 0 ）的焦点是12且122离 心率为 12 （）求椭圆 C 的方程； （）若 过椭圆右焦点2l 交椭圆于 A ， B 两点，求22| | | | 11、（丰台区 2016 届高三上学期期末） 已知定 点 (1,0)M 和直线 1x 上的 动点 ( 1, )，线段 垂直平分线交直线 于点 R ， 设点 R 的轨迹为曲线 E . （）求曲线 E 的方程； （）直线 ( 0 )y kx b k 交 x 轴于点 C ， 交曲线 E 于不同的两点 ,点 B 关于 关于 y 轴的对称点为 Q ， 求证： A， P， Q 三点共线 . 12、（海淀区 2016 届高三上学期期末） 已知 椭圆 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 32，其左顶点 A 在圆 22: 1 6O x y上 . （ ） 求椭圆 W 的 方程； （ ） 若点 P 为 椭圆 W 上不同于点 A 的点， 直线 圆 O 的另一个交点为 Q . 是否存在点 P ，使得 |3 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 . 参考答案 一、选择、填空题 1、 【答案】 2 2、33解 析 ： 渐近线为 03 以有 3222 b 且02213 12； 2 双曲线 22 14y x的渐近线为 2 ，故 C 的渐近线为 2 设 C ： 224y 并将点 (2 2)， 代入 C 的方程，解得 3m 故 C 的方程为 22 34y x ，即 2213 124、 33， 4 5、 31, 22 6、 2 7、 23， 228、 62221849、 C 10、 C 11、 B 12、 C 二、解答题 1、 【答案】（ 1） 2 2 14x y； （ 2） 详见 解析 . 【解析】 228844224844400000000000000002020 . 当 00 10 y， ,2,2 所以 4 综上， 为定值 . 2、 解析 : （ I）由题意得,22,1222 2 a ， 故椭圆 C 的方程为 2 设 ) 因为 0m ，所以 n 直线 方程为 1 ， 所以 1，即 )( 因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称，所以 , . 设 )0,( 1. “存在点 ),0( ”等价于“存在点 ),0( ”，即 2. 因为 1， 1， 2 所以 2 故在 y 轴上存在点 Q ，使得 ， 点 Q 的坐标为 )2,0( 或 )2,0( . 3、 椭圆的标准方程为： 22142， 2a ， 2b则 2c ，离心率 22ce a; 直线 圆 222相切 法一： 设点 的坐标分别为 00 2x y t ，其中0 0x . 因为 B ，所以 0B，即0020tx y，解得002yt x . 当0， 20 2，代入椭圆 C 的方程，得 2t , 故直线 方程为 2x 到直线 距离 2d . 此时直线 圆 222相切 . 当0，直线 方程为 0022 yy x ， 即 0 0 0 02 2 0y x x t y x t y . 圆心 O 到直线 距离 00220022x x t . 又 220024，002yt x ，故 220002 4 222 0 0 000 220024224 8 1 642x . 此时直线 圆 222相切 . 法二： 由题意知，直线 斜率存在，设为 k ，则直线 方程为 y ， B ， 当 0k 时， 20A ，易知 02B ，此时直线 方程为 2 或 2 ， 原点到直线 距离为 2 ，此时直线 圆 222相切； 当 0k 时，直线 方程为 1， 联立2224y 得点 A 的坐标22221 2 1 2或22221 2 1 2 ； 联立 12得点 B 的坐标 22k ， 由点 A 的坐标的对称性 知，无妨取点 1 2进行计算， 于是直线 方程为： 22222 212122 2 22 1 1 2212x k x ， 即 2 2 21 2 1 1 2 2 2 0k k x k k y k ， 原点到直线 距离 22222 21 2 1 1 2k k k , 此时直线 圆 222相切。 综上知，直线 定与圆 222相切 . 法三： 当 0k 时， 20A ，易知 02B ，此时 22O A O B ， 222 2 2 2 ，原点到直线 距离 22 222O A O ，、 此时直线 圆 222相切； 当 0k 时，直线 方程为 1， 设 1 1 2 2A x y B x y ，则 211OA k x， 2 221 2 1O B k y k ， 联立2224y 得点 A 的坐标22221 2 1 2或22221 2 1 2 ； 于是 22221112 k ， 221OB k, 2222 24 1 2 2 14112 12 kk k ， 所以 2222221 2112 22 2 112k O B ,直线 圆 222相切； 综上知，直线 定与圆 222相切 4、 解： （ ） 依题意可知 2a ， 2 1 1c ， 所以椭圆 C 离心率为 1222e 3 分 （ ）因为 直线 l 与 x 轴， y 轴分别相交于 ,以000, 0 令 0y ，由 00 12xx 得02x x ，则02( ,0)A x 令 0x ，由 00 12xx 得01y y ，则01(0, )B y 所以 的面积0 0 0 01 1 2 122O A A O B x y x y 因为点00( , )P x C 2 2 12x y上，所以 2 200 12x y 所以 2 0020 0122 2y 即0022，则001 2 所以0011 22O A A O B 当且仅当 2 2002x y ，即0021, 2 时， 面积的最小值为 2 9 分 （ ） 当0 0x 时， (0, 1)P 当直线 :1时，易得 ( 1,2)Q ，此时2 1，2 1 因为22F Q F 所以三点2,共线 同理，当直线 :1 时，三点2,共线 当0 0x 时，设点 ( , )因为点 Q 与点1l 对称， 所以000011,2 2 202 ( ) 1 12x y 整理得 0 0 00 0 02 4 0 ,2 2 0 .x m y n xy m x n y 解得220 0 022000 0 0220044 ,448 x y 所以点 220 0 0 0 0 02 2 2 20 0 0 04 4 4 8( , )44x x y x y x y x 又因为2 0 0( 1, )F P x y， 220 0 0 0 0 02 2 2 2 20 0 0 04 4 4 8( 1 , )44x x y x y x y x ， 且 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 04 4 4 8 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )4 4 4x x y x y y x y x xy x yy x y x y x 220 0 0 00 22004 8 ( 4 4 8 )4x y x 2 2 2 20 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 08 4 8 4 ( 2 ) 8 4 2 8 04 4 4y x y xy y yy x y x y x 所以2 /以点2,三点共线 综上所述，点2,三点共线 14 分 5、 解 :（ ）由题意 ,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形 , 所以 , 22 2 , 则椭圆 C 的 方程为 12 2222 又因为椭圆 C:过点 A( 2 ， 1)，所以 1122 22 a=2,b=. 2 所以 椭圆的的标准方程为 12422 ( ) 222 )( . 因为 M(x,y)是椭圆 C 上的动点，所以 12422 故 22)41(2222 . 所以 22 2 2 2 2 211( ) 2 2 2 ( 2 ) 2 2 x p x p x p x p p 因为 M(x,y)是椭圆 C 上的动点， 所以 2x . （ 1） 若 22 p 即 1p ，则当 2时 最小值 22 p ， 此时 M 2( 2 , 2 2 ) . （ 2）若 1p ，则当 2x 时 ， 最小值 2p ，此时 M )0,2( . （ 3）若 1p ，则当 2x 时 ， 最小值 2p ，此时 M )0,2( . 6、 解：（ ） 因为)0(12222 半轴长为 1. 所以2 2 213 ,2b c 得到21,3 所以椭圆的方程为2 2 14x y+= （ ） 设00( , )P x y， ( 0 ,1), ( 0 , 1) 所以直线 方程为：0011 令 4x ，得到004 ( 1 ) 1x 同理得到 004 ( 1 ) 1x ，得到08| | | 2 |MN x 所以，圆 C 半径004| 1 | ( 2 0 ) 当 0 2x 时，圆 C 半径的最小值为 3. 当 P 在左端点时，圆 C 的方程为：22( 4) 9 =当 P 在右端点时，设 (2,0)P ， ( 0 ,1), ( 0 , 1) 所以直线 方程为： 112令 4x ，得到 1 同理得到 1 ， 圆 C 的方程为：( 4) 1- + =， 易知与定圆( 2) 半径 1R= 由前一问知圆 C 的半径0000041 , 2 04| 1 |4 1 , 0 2 因为 004 ( 1 ) 1x ， 004 ( 1 ) 1x ，圆 C 的圆心坐标为 004(4, )圆心距 22004( 4 2 ) ( ) = 20201 6 (1 )44=000004 , 2 044| , 0 2 当020，0044(1 ) 1d r R - = - - = -，此时定圆与圆 C 内切； 当002x?时，0044( 1 ) 1d r R = - + =，此时定圆与圆 C 外切； 存在一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为 (2,0) 和半径 1R . (注 : 存在另一个圆心在 x 轴上的定圆与圆 C 相切，该定圆的圆心为 (6,0) 和半径 1R 7、 解：（ ）因为 (1,0)B ，所以 1(1, ),入 2 4，得到 1 2y ， 1 分 又 | | 2，所以 212，所以 2 3x ， 2 分 代入 2 4，得到1 23y ， 3 分 所以21212 3 2 312 . 5 分 （） 法一：设直线 方程为 y kx m. 则1 2 11 | ( ) | | | D O M S m x x m 7 分 由2 4y kx , 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x k m x m , 所以2 2 212 2212 2( 2 4 ) 4 1 6 1 6 042k m k m k 9 分 又2 1 2 2 1 1 2 1 214( ) ( )2S y y x x y y k x m k x m k , 11 分 又注意到12 04，所以 0, 0， 所以12 1 2 4S m y y ， 12 分 因为 1 6 1 6 0 ，所以 01,所以12144S . 13 分 法二： 设直线 方程为 y kx m. 由2 4y kx , 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x k m x m , 所以2 2 212 2212 2( 2 4 ) 4 1 6 1 6 042k m k m k 7 分 2 2 21 2 1 2| | 1 | | 1 | | 2 1A D k x x k x x k , 8 分 点 O 到直线 距离为2|1, 所以1 1 | | | | | |2S A D d m m 9 分 又2 1 2 2 1 1 2 1 214( ) ( )2S y y x x y y k x m k x m k , 11 分 又注意到12 04，所以 0, 0， 所以12 1 2= 4S m k mS y y， 12 分 因为 1 6 1 6 0 ，所以 01,所以12144S . 13 分 法三： 直线 方程为22 , 6 分 所以点 A 到直线 距离为1 2 2 122|x y x 7 分 又 22|O D x y, 8 分 所以1 1 2 2 111| | | |22S O D d x y x y 又2 1 2 2 1 1 21 ( ) ( )2S y y x x y y ， 9 分所以 1 2 2 11 1 2 2 12 1 2 1 21 |2( ) 2 ( )x y x yS x y x yS y y y y 2212211 2 1 21 2 1 2| |442 ( ) 8 ( )y y yy y y y 10 分 因为 21122244, 所以 222 1 2 14 ( ) 8y y x x 11 分 代入得到， 221 1 2 1 2 1 2 1 222 1 2 1 2| | | |8 ( ) 8 ( )S y y y y y y y yS y y y y12212() 12 分 因为1 2 1 22y y y y, 当且仅当 12时取等号， 所以 1 1 22 1 2144S y yS y y. 13 分 8、 解： （ ）由已知可得2 2 22222b c ，解得 2221， ， 2 分 故椭圆 C 的 标准方程为 2 2 12x y 3 分 （ ）设11()A x y，22()B x y， 联立方程 22 12y kx mx y ，消去 y 得 2 2 2( 1 2 ) 4 2 2 0k x k m x m 4 分 当 228 ( 2 1 ) 0 ， 即 2221时 ， 5 分 12 2412k， 212 22212k 6 分 所以 12222 1 2xx ， 1222 1 2yy m k 当 0k 时， 线段 垂直平分线 显然 过点 1(0 )2，211 2 2 122A O B m m m 222 (1 ) 因为 ( 1, 0 ) ( 0 , 1 )m ,所以 2 (0,1)m 1 1 22 ( 1 )2 2 2A O ，当 2 12m 时 ， 取到 等号 . 8 分 当 0k 时， 因为线段 垂直平分线过点 1(0 )2， 所以12121()12202k ， 化简 整理得 22 1 2 9 分 由 2222 1 221，得 02m 10 分 又原点 O 到直线 距离为21 222212 24 2 21 2 112 k x x 所以 2224 2 212 1 2A O Bm k B 11 分 而 22 1 2 且 02m， 则 21 4 2 , 0 22A O BS m m m 12 分 所以当 1m ， 即 2 12k 时 ，得最大值 22 13 分 综上 ，大值 为 22 14 分 9、 （ ） 解 ：由题意，得： ,4 4 2, 2 分 又因为 222 解得 2a ， 1b ， 1c ， 4 分 所以椭圆 C 的方程为 12 22 5 分 （ ） 解 ：（方法一） 当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l 的方程为 0x ， 此时 E， F 为椭圆的上下顶点，且 2 因为 点 (0, )总 在 以线段 直径的圆内， 且 0m ， 所以 10 m . 故点 B 在椭圆内 . 6 分 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 . 由方程组2 2,1,2y kx mx y 得 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k m x m ， 8 分 因为 点 B 在椭圆内， 所以直线 l 与椭圆 C 有两个公共点，即 0)22)(12(4)4( 222 设 ),(),( 2211 则12 2421k ， 212 22221k . 9 分 设 中点 ),( 00 则12 22 2210 k 2 200 k 所以 )12,12 2( 22 k mk 10 分 所以 2222 )12()122( mk mk 12 4124224 k 212212 4)(1 12 12122 2 22 k 11 分 因为 点 D 总 在 以线段 直径的圆内， 所以2对于 kR 恒成立 . 所以 12 121212 4124 2222224 k 化简，得 132372 2422242 整理，得31222 13 分 而 2221 2 2 1( ) 1 13 3 3 3 （当且仅当 0k 时等号成立） . 所以312 m ，由 0m ，得330 m. 综上， m 的取值范围是330 m. 14 分 （方法二） 则12 2421k ， 212 22221k . 9 分 因为 点 D 总 在 以线段 直径的圆内， 所以 0F. 11 分 因为11( , )DE x y m，22( , )D F x y m， 所以 21 2 1 2 1 2()D E D F x x y y m y y m 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )x x k x m k x m m k x m k x m m 221 2 1 2( 1 ) 2 ( ) 4k x x k m x x m 2222 2 4( 1 ) 2 4 02 1 2 1m k mk k m ， 整理，得31222 13 分 （以下与 方 法一相同，略） 10、 解（）因为 椭圆 的标准 方程为 22 1 ( 0 )xy ， 由 题意 知2 2 21222a b ， 解 得 2, 3 所以椭圆的标准 方程为 22143 5 分 （） 因为2(1, 0)F，当直线 l 的斜率不存在时， 3(1, )2A， 3(1, )2B ， 则22 9| | | | 4A F F B g，不符合题意 . 当直线 l 的斜率存在时，直线 l 的方程可设为 ( 1)y k x 由 22( 1),1,43y k 消 y 得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k （ *） 设 ),( 11 ),( 22 则 1x 、 2x 是方程（ *）的两个根， 所以 222 2834k ， 212 24 1 234k 所以 2 2 22 1 1 1| | ( 1 ) 1 1A F x y k x ， 所以 2 2 22 2 2 2| | ( 1 ) 1 1F B x y k x 所以 22 2 1 2 1 2| | | | ( 1 ) ( ) 1A F F B k x x x x 2 8( 1 ) 13 4 3 4 2 29(1 ) 34k k 2229(1 )3491(1 ) 4当 2 0k 时，22| | | | ， 所以 22| | | | ,34 . 又当 k 不存在，即 AB x 轴时，22| | | | 4 所以22| | | | ,34. 13 分 11、 （）有题意可知： M ，即点 R 到直线 1x 和点 M 的距离相等 . 根据抛物线的定义可知： R 的轨迹为抛物线，其中 M 为焦点 . 设 R 的轨迹方程为： 2 2y ， 12p， 2p 所以 R 的轨迹方程为： 2 4. 5 分 （） 由条件可知 ( ,0)则 ( ,0)联立2 4y kx ,消去 y 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x b k x b ， 2 2 2( 2 4 ) 4 1 6 ( 1 ) 0b k b k b k . 设1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) ( )A x y B x y x x，则22( , )P x y12 242k，1 24 2 4 12b k b kx k ，2 24 2 4 12b k b kx k . 因为 1 2 1 2122( ) 28 1 12y k x x b b k b ， 11110 ( ) 2 ( 1 1 ) 22 ( 1