2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.2.1平面向量基本定理教案（含解析）新人教B版.docx

2.2.1平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1了解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理和向量的线性运算进行向量之间的相互表示(重点)2理解直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式(难点)1通过平面向量基本定理的学习，培养学生数学抽象核心素养2借助平面向量基本定理的应用，提升学生的逻辑推理和直观想象核心素养.1平面向量基本定理(1)平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.(2)基底：把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式2直线的向量参数方程式(1)向量参数方程式：已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式(1t)t；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应向量等式(1t)t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数(2)线段中点的向量表达式：在向量等式(1t)t中，令t，点M是AB的中点，则()这是线段AB的中点的向量表达式思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？提示平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.，B.，C.， D.，D由于，不共线，所以是一组基底2已知AD为ABC的边BC上的中线，则等于()A.B.C. D.D根据线段BC的中点向量表达式可知()，故选D.3下列关于基底的说法正确的是_(填序号)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底基底中的向量可以是零向量平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的正确；对于，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量用基底表示向量【例1】设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来思路探究把a，b看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将，用基底来表示解ab.b(ab)ab.()(ab)平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.1.如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则_，_.(用a，b表示)abab()ab.()ab.直线的向量参数方程式的应用【例2】已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有3(13)(R，点O为直线AB外一点)，则点C的轨迹是什么图形？并说明理由思路探究将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点解将已知向量等式两边同时减去，得(31)(13)(13)()(13)，即(13)，R，又，共始点，A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.理解直线的向量参数方程式时要注意(1t)t中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.2.如图，设一直线上三点A，B，P满足 (1)，O是平面上任意一点，则()A.(1)B.C.(1)D.A一条直线上三点A、B、P满足(1)，(O)，化为(1)平面向量基本定理的综合应用探究问题1在向量等式xy中，若xy1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？提示三点P，A，B在同一直线上在向量等式xy中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1.2平面向量基本定理的实质是什么？提示平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解【例3】如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求.思路探究可利用t及s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.解A()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解3如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.解易得b，a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a，b为基底，所以解得所以ab.(教师用书独具)1基底的性质(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.1已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线B共线C相等D不确定Bab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线2如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是()A若实数1，2，使1e12e20，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任意一向量a，使a1e12e2的实数1、2有无数对A考查平面向量基本定理因为e1，e2不共线，所以1e12e20，只能120.B选项1，2R不对，应该是唯一数对；C选项1e12e2一定在平面内；D选项应该是唯一一对3已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有，则_.A，B，D三点共线，存在实数t，使t，则t