高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 古典概型课件 理 苏教版.ppt

12 2古典概型 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为 简称古典概型 1 所有的基本事件只有个 2 每个基本事件的发生都是的 知识梳理 互斥 基本事件 古典概率模型 有限 等可能 3 如果1次试验的等可能基本事件共有n个 那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 如果某个事件a包含了其中m个等可能基本事件 那么事件a发生的概率为p a 4 古典概型的概率公式 p a 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 在适宜条件下 种下一粒种子观察它是否发芽 属于古典概型 其基本事件是 发芽与不发芽 2 掷一枚硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三个结果是等可能事件 3 从市场上出售的标准为500 5g的袋装食盐中任取一袋 测其重量 属于古典概型 4 教材改编 有3个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 5 从1 2 3 4 5中任取出两个不同的数 其和为5的概率是0 2 6 在古典概型中 如果事件a中基本事件构成集合a 且集合a中的元素个数为n 所有的基本事件构成集合i 且集合i中元素个数为m 则事件a的概率为 考点自测 从5本书中取出2本书 基本事件有10个 从3本数学书中取出2本书的事件有3个 故所求的概率为 1 已知书架上有3本数学书 2本物理书 若从中随机取出2本 则取出的2本书都是数学书的概率为 答案 解析 从甲 乙等5名学生中随机选2人共有10种情况 甲被选中有4种情况 则甲被选中的概率为 2 2016 北京改编 从甲 乙等5名学生中随机选出2人 则甲被选中的概率为 答案 解析 3 2015 课标全国 改编 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 答案 解析 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 其中勾股数只有 3 4 5 所以概率为 4 从正方形四个顶点及其中心这5个点中 任取2个点 则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 答案 解析 取两个点的所有情况为10种 所有距离不小于正方形边长的情况有6种 概率为 5 教材改编 同时掷两个骰子 向上点数不相同的概率为 答案 解析 掷两个骰子一次 向上的点数共6 6 36 种 可能的结果 其中点数相同的结果共有6个 题型分类深度剖析 题型一基本事件与古典概型的判断 例1 1 有两颗正四面体的玩具 其四个面上分别标有数字1 2 3 4 下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验 用 x y 表示结果 其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数 y表示第2颗正四面体玩具出现的点数 试写出 试验的基本事件 解答 这个试验的基本事件为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 事件 出现点数之和大于3 包含的基本事件 解答 事件 出现点数之和大于3 包含的基本事件为 1 3 1 4 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 事件 出现点数相等 包含的基本事件 解答 事件 出现点数相等 包含的基本事件为 1 1 2 2 3 3 4 4 2 袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解答 由于共有11个球 且每个球有不同的编号 故共有11种不同的摸法 又因为所有球大小相同 因此每个球被摸中的可能性相等 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解答 由于11个球共有3种颜色 因此共有3个基本事件 分别记为a 摸到白球 b 摸到黑球 c 摸到红球 又因为所有球大小相同 所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 而白球有5个 故一次摸球摸到白球的可能性为 同理可知摸到黑球 红球的可能性均为 显然这三个基本事件出现的可能性不相等 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 一个试验是否为古典概型 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性 只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 思维升华 跟踪训练1下列试验中 古典概型的个数为 向上抛一枚质地不均匀的硬币 观察正面向上的概率 向正方形abcd内 任意抛掷一点p 点p恰与点c重合 从1 2 3 4四个数中 任取两个数 求所取两数之一是2的概率 在线段 0 5 上任取一点 求此点小于2的概率 答案 解析 1 中 硬币质地不均匀 不是等可能事件 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限个 不是古典概型 符合古典概型的特点 是古典概型 题型二古典概型的求法 例2 1 2015 江苏 袋中有形状 大小都相同的4只球 其中1只白球 1只红球 2只黄球 从中一次随机摸出2只球 则这2只球颜色不同的概率为 答案 解析 设取出的2只球颜色不同为事件a 2 2016 山东 某儿童乐园在 六一 儿童节推出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的数 设两次记录的数分别为x y 奖励规则如下 a 若xy 3 则奖励玩具一个 b 若xy 8 则奖励水杯一个 c 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动 求小亮获得玩具的概率 解答 用数对 x y 表示儿童参加活动先后记录的数 则基本事件空间 与点集s x y x n y n 1 x 4 1 y 4 一一对应 因为s中元素的个数是4 4 16 所以基本事件总数n 16 记 xy 3 为事件a 则事件a包含的基本事件共5个 即 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 并说明理由 解答 记 xy 8 为事件b 3 xy 8 为事件c 则事件b包含的基本事件共6个 即 2 4 3 3 3 4 4 2 4 3 4 4 事件c包含的基本事件共5个 即 1 4 2 2 2 3 3 2 4 1 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 引申探究1 本例 1 中 若将4个球改为颜色相同 标号分别为1 2 3 4的四个小球 从中一次取两球 求标号和为奇数的概率 解答 基本事件数仍为6 设标号和为奇数为事件a 则a包含的基本事件为 1 2 1 4 2 3 3 4 共4种 2 本例 1 中 若将条件改为有放回地取球 取两次 求两次取球颜色相同的概率 解答 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数 这就需要正确列出基本事件 基本事件的表示方法有列举法 列表法和树形图法 具体应用时可根据需要灵活选择 思维升华 跟踪训练2 1 2016 全国乙卷改编 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中 余下2种种在另一个花坛 有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 红紫 黄白 黄白 红紫 共6种种法 其中红色和紫色不在一个花坛的种法有 红黄 白紫 白紫 红黄 红白 黄紫 黄紫 红白 共4种 故所求概率为p 答案 解析 2 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况 数据如下表 单位 人 解答 从该班随机选1名同学 求该同学至少参加上述一个社团的概率 由调查数据可知 既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人 故至少参加上述一个社团的共有45 30 15 人 在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中 有5名男同学a1 a2 a3 a4 a5 3名女同学b1 b2 b3 现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人 求a1被选中且b1未被选中的概率 解答 从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人 其一切可能的结果组成的基本事件有 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3 a4 b1 a4 b2 a4 b3 a5 b1 a5 b2 a5 b3 共15个 根据题意 这些基本事件的出现是等可能的 事件 a1被选中且b1未被选中 所包含的基本事件有 a1 b2 a1 b3 共2个 题型三古典概型与统计的综合应用 例3 2015 安徽 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况 随机访问50名职工 根据这50名职工对该部门的评分 绘制频率分布直方图 如图所示 其中样本数据分组区间为 40 50 50 60 80 90 90 100 1 求频率分布直方图中a的值 解答 因为 0 004 a 0 018 0 022 2 0 028 10 1 所以a 0 006 2 估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率 解答 由所给频率分布直方图知 50名受访职工评分不低于80的频率为 0 022 0 018 10 0 4 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0 4 3 从评分在 40 60 的受访职工中 随机抽取2人 求此2人的评分都在 40 50 的概率 解答 受访职工中评分在 50 60 的有50 0 006 10 3 人 记为a1 a2 a3 受访职工中评分在 40 50 的有50 0 004 10 2 人 记为b1 b2 从这5名受访职工中随机抽取2人 所有可能的结果共有10种 它们是 a1 a2 a1 a3 a1 b1 a1 b2 a2 a3 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 又因为所抽取2人的评分都在 40 50 的结果有1种 即 b1 b2 故所求的概率为p 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型 已成为高考考查的热点 概率与统计结合题 无论是直接描述还是利用频率分布表 频率分布直方图 茎叶图等给出信息 只要能够从题中提炼出需要的信息 则此类问题即可解决 思维升华 跟踪训练3海关对同时从a b c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如下表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 解答 1 求这6件样品中来自a b c各地区商品的数量 所以a b c三个地区的商品被选取的件数分别是1 3 2 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 解答 设6件来自a b c三个地区的样品分别为a b1 b2 b3 c1 c2 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为 a b1 a b2 a b3 a c1 a c2 b1 b2 b1 b3 b1 c1 b1 c2 b2 b3 b2 c1 b2 c2 b3 c1 b3 c2 c1 c2 共15个 每个样品被抽到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件d 抽取的这2件商品来自相同地区 则事件d包含的基本事件有 b1 b2 b1 b3 b2 b3 c1 c2 共4个 所以p d 即这2件商品来自相同地区的概率为 典例 14分 一个袋中装有四个形状 大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4 1 从袋中随机取两个球 求取出的球的编号之和不大于4的概率 2 先从袋中随机取一个球 该球的编号为m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为n 求n m 2的概率 六审细节更完善 审题路线图系列 审题路线图 规范解答 1 基本事件为取两个球 两球一次取出 不分先后 可用集合的形式表示 把取两个球的所有结果列举出来 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 两球编号之和不大于4 注意 和不大于4 应为小于4或等于4 1 2 1 3 利用古典概型概率公式求解 2 两球分两次取 且有放回 两球的编号记录是有次序的 用坐标的形式表示 基本事件的总数可用列举法表示 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 注意细节 m是第一个球的编号 n是第2个球的编号 n m 2的情况较多 计算复杂 将复杂问题转化为简单问题 计算n m 2的概率 n m 2的所有情况为 1 3 1 4 2 4 返回 解 1 从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6个 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有 1 2 1 3 共2个 2 先从袋中随机取一个球 记下编号为m 放回后 再从袋中随机取一个球 记下编号为n 其一切可能的结果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个 8分 又满足条件n m 2的事件为 1 3 1 4 2 4 共3个 返回 课时作业 1 2016 全国丙卷改编 小敏打开计算机时 忘记了开机密码的前两位 只记得第一位是m i n中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 答案 解析 第一位是m i n中的一个字母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 所以总的基本事件的个数为15 密码正确只有一种 概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若某公司从五位大学毕业生甲 乙 丙 丁 戊中录用三人 这五人被录用的机会均等 则甲或乙被录用的概率为 答案 解析 由题意知 从五位大学毕业生中录用三人 所有不同的可能结果有 甲 乙 丙 甲 乙 丁 甲 乙 戊 甲 丙 丁 甲 丙 戊 甲 丁 戊 乙 丙 丁 乙 丙 戊 乙 丁 戊 丙 丁 戊 共10种 其中 甲与乙均未被录用 的所有不同的可能结果只有 丙 丁 戊 这1种 故其对立事件 甲或乙被录用 的可能结果有9种 所求概率p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2015 广东改编 已知5件产品中有2件次品 其余为合格品 现从这5件产品中任取2件 则恰有一件次品的概率为 答案 解析 设3件合格品为a1 a2 a3 2件次品为b1 b2 从5件产品中任取2件有 a1 a2 a1 a3 a1 b1 a1 b2 a2 a3 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 共10种 0 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 无锡模拟 若从1 2 3 4这四个数中一次随机取两个数 则取出的两个数中一个是奇数一个是偶数的概率为 答案 解析 从四个数中随机取两个数 基本事件有6个 其中一奇一偶的事件有4个 1 2 1 4 3 2 3 4 故所求的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 连掷两次骰子分别得到点数m n 则向量 m n 与向量 1 1 的夹 答案 解析 m n 1 1 m nn 基本事件总共有6 6 36 个 符合要求的有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 4 6 1 6 5 共1 2 3 4 5 15 个 角 90 的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 南通模拟 在平面直角坐标系中 从下列五个点 a 0 0 b 2 0 c 1 1 d 0 2 e 2 2 中任取三个 则这三点能构成三角形的概率是 答案 解析 从5个点中取3个点 列举得abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde 共10个基本事件 而其中ace bcd两种情况三点共线 其余8个均符合题意 故能构成三角形的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 苏州高三一模 若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子 六个面上分别有数字1 2 3 4 5 6 则两次向上的数字之和等于7的概率为 连续抛掷骰子两次 基本事件有36个 两次向上的数字之和等于7的事件有6个 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 故所求的概率为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 镇江模拟 若箱子中有形状 大小完全相同的3个红球和2个白球 一次摸出2个球 则摸到的2个球颜色不同的概率为 答案 解析 从5个球中摸出2个球 基本事件共有10个 摸到的2个球颜色不同的事件为 红1 白1 红1 白2 红2 白1 红2 白2 红3 白1 红3 白2 共6个 故所求的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 如下图的茎叶图是甲 乙两人在4次模拟测试中的成绩 其中一个数字被污损 则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 答案 解析 0 3 依题意 记题中的被污损数字为x 若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩 则有 8 9 2 1 5 3 x 5 0 x 7 即此时x的可能取值是7 8 9 因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率p 0 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 连续2次抛掷一枚骰子 六个面上分别标有数字1 2 3 4 5 6 记 两次向上的数字之和等于m 为事件a 则p a 最大时 m 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 5 7 2 6 8 依次列出m的可能取值 知7出现次数最多 7 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n 令平面向量a m n b 1 3 1 求事件 a b 发生的概率 解答 由题意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的取法共36种 因为a b 所以m 3n 0 即m 3n 有 3 1 6 2 共2种 所以事件a b发生的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求事件 a b 发生的概率 解答 由 a b 得m2 n2 10 有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 共6种 其概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 甲 乙两人用4张扑克牌 分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4 玩游戏 他们将扑克牌洗匀后 背面朝上放在桌面上 甲先抽 乙后抽 抽出的牌不放回 各抽一张 1 设 i j 表示甲 乙抽到的牌的牌面数字 如果甲抽到红桃2 乙抽到红桃3 记为 2 3 写出甲 乙两人抽到的牌的所有情况