2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系学案北师大版必修4.docx

1同角三角函数的基本关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan .(重点)2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式(难点)1.通过学习同角三角函数基本关系式提升数学抽象素养2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养.同角三角函数基本关系式(1)关系式平方关系：sin2cos2_1_；商数关系：tan_.(2)文字叙述同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切(3)变形形式1sin2cos2；sin21cos2；cos21sin2；sin ；cos ；sin cos tan ；(sin cos )212sin_cos_.思考：sin230cos245等于1吗？有意义吗？提示不等于1，分母为0，无意义1已知sin ，是第三象限角，则tan 等于()ABCDC因为sin ，且是第三象限角所以cos .所以tan .2已知3sin cos 0，则tan _.因为3sin cos 0，所以cos 3sin ，所以tan .3已知sin ，cos ，则m_.0或8由sin2cos21得，m0或8.4.cos2x()Atan x Bsin xCcos xDD原式cos2xcos2x.利用同角基本关系式求值【例1】已知cos ，求sin ，tan 的值解cos 0，是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin ，tan .如果是第三象限角，同理可得sin ，tan .已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1sin2cos2”.本题没有指出是第几象限的角，则必须由cos 的值推断出所在的象限，再分类求解.1已知tan 且为第三象限角，求sin ，cos 的值解由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2，又是第三象限角，cos ，sin .利用sin cos ，sin ，cos 之间的关系求值【例2】已知0，sin cos ，求tan 的值解由sin cos ，得sin cos 0，又00，cos 0，sin cos ，由解得sin ，cos ，tan .sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos ，利用此关系求sin cos 或sin cos 的值时，要注意判断它们的符号2sin cos ，且，则cos sin 的值为()ABCDB(cos sin )2sin22sin cos cos212，cos sin .又cos ，cos sin .利用同角三角函数关系化简、证明探究问题1平方关系对任意R均成立，对吗？商数关系呢？提示平方关系中对任意R均成立，而商数关系中k(kZ)2证明三角恒等式常用哪些技巧？提示切弦互化，整体代换，“1”的代换3证明三角恒等式应遵循什么样的原则？提示由繁到简【例3】(1)化简tan ，其中是第二象限角；(2)求证：.思路探究(1)先确定sin ，cos 的符号，结合平方关系和商数关系化简(2)逆用平方关系结合tan 化简解(1)因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0.故tan tan tan 1.(2)证明：左边右边所以原式成立1将例3(1)变为“”，试对该式进行化简解原式1.2将例3(2)变为试证“”证明左边右边，所以等式成立1化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数从而减少函数名称，达到化简的目的(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2证明三角恒等式常用的方法有：(1)从一边开始，证得它等于另一边；(2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式1“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关如：sin23cos231等2已知角的一个三角函数值，求的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号3计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：(1)“1”的代换为了解题的需要，有时可以将1用“sin2cos2”代替(2)切化弦利用商数关系把切函数化为弦函数(3)整体代换将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin2cos21.()(2)对任意角，tan .()(3)利用平方关系求sin 或cos 时，会得到正负两个值()(4)若sin ，则cos .()答案(1)(2)(3)(4)2若sin ，且是第二象限角，则tan 的值等于()ABCDA为第二象限角，sin ，cos ，tan .3已知角A是三角形的一个内角，sin Acos A，则这个三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形Bsin Acos A，12s