人教A版必修2 第四章 4.1.2圆的一般方程 课件（38张）.pptx

4 1 2圆的一般方程 第四章 4 1圆的方程 学习目标1 掌握圆的一般方程及其特点 2 会将圆的一般方程化为圆的标准方程 并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 3 能根据某些具体条件 运用待定系数法确定圆的方程 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点圆的一般方程 答案对方程x2 y2 2x 4y 1 0配方 得 x 1 2 y 2 2 4 表示以 1 2 为圆心 2为半径的圆 对方程x2 y2 2x 4y 6 0配方 得 x 1 2 y 2 2 1 不表示任何图形 思考方程x2 y2 2x 4y 1 0 x2 y2 2x 4y 6 0分别表示什么图形 梳理 表示以为圆心 1 圆的一般方程可以化为圆的标准方程 2 二元二次方程x2 y2 dx ey f 0一定是某个圆的方程 3 若方程x2 y2 2x ey 1 0表示圆 则e 0 思考辨析判断正误 题型探究 例1若方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圆 求实数m的取值范围 并写出圆心坐标和半径 类型一圆的一般方程的理解 解由表示圆的条件 得 2m 2 2 2 4 m2 5m 0 解答 反思与感悟形如x2 y2 dx ey f 0的二元二次方程 判定其是否表示圆时可有如下两种方法 1 由圆的一般方程的定义 令d2 e2 4f 0成立 则表示圆 否则不表示圆 2 将方程配方后 根据圆的标准方程的特征求解 应用这两种方法时 要注意所给方程是不是x2 y2 dx ey f 0这种标准形式 若不是 则要化为这种形式再求解 跟踪训练1 1 已知a r 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标为 半径为 解析 答案 解析由圆的一般方程的形式知 a 2 a2 得a 2或 1 当a 2时 该方程可化为x2 y2 x 2y 0 d2 e2 4f 12 22 4 0 a 2不符合题意 当a 1时 方程可化为x2 y2 4x 8y 5 0 即 x 2 2 y 4 2 25 圆心坐标为 2 4 半径为5 2 4 5 2 若点m n在圆x2 y2 kx 2y 4 0上 且点m n关于直线x y 1 0对称 则该圆的面积为 解析 答案 9 由圆的性质知 直线x y 1 0经过圆心 该圆的面积为9 例2已知a 2 2 b 5 3 c 3 1 1 求 abc的外接圆的方程 解设 abc外接圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 类型二求圆的一般方程 解答 即 abc的外接圆的方程为x2 y2 8x 2y 12 0 2 若点m a 2 在 abc的外接圆上 求a的值 解由 1 知 abc的外接圆的方程为x2 y2 8x 2y 12 0 点m a 2 在 abc的外接圆上 a2 22 8a 2 2 12 0 即a2 8a 12 0 解得a 2或6 解答 引申探究若本例中将 点c 3 1 改为 圆c过a b两点且圆c关于直线y x对称 其他条件不变 如何求圆c的方程 解答 反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意 1 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心坐标或半径列方程 一般采用圆的标准方程 再用待定系数法求出a b r 2 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系 一般采用圆的一般方程 再用待定系数法求出常数d e f 跟踪训练2已知一圆过p 4 2 q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为求圆的方程 解答 解方法一 待定系数法 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将p q的坐标分别代入上式 令x 0 得y2 ey f 0 y1 y2 2 y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 e2 4f 48 故圆的方程为x2 y2 2x 12 0或x2 y2 10 x 8y 4 0 方法二 几何法 由题意得线段pq的垂直平分线方程为x y 1 0 所求圆的圆心c在直线x y 1 0上 设其坐标为 a a 1 代入 式整理得a2 6a 5 0 解得a1 1 a2 5 故圆的方程为 x 1 2 y2 13或 x 5 2 y 4 2 37 例3已知圆心为c的圆经过点a 1 1 和b 2 2 且圆心c在直线l x y 1 0上 1 求圆c的方程 解答 类型三与圆有关的轨迹方程 所以直线m的方程为x 3y 3 0 所以圆c的方程为 x 3 2 y 2 2 25 2 线段pq的端点p的坐标是 5 0 端点q在圆c上运动 求线段pq的中点m的轨迹方程 解答 解设点m x y q x0 y0 因为点p的坐标为 5 0 又点q x0 y0 在圆c x 3 2 y 2 2 25上运动 所以 x0 3 2 y0 2 2 25 即 2x 5 3 2 2y 2 2 25 即所求线段pq的中点m的轨迹方程为 x 1 2 y 1 2 反思与感悟求轨迹方程的三种常用方法 1 直接法 根据题目条件 建立坐标系 设出动点坐标 找出动点满足的条件 然后化简 证明 2 定义法 当动点的运动轨迹符合圆的定义时 可利用定义写出动点的轨迹方程 3 代入法 若动点p x y 依赖于某圆上的一个动点q x1 y1 而运动 把x1 y1用x y表示 再将q点的坐标代入到已知圆的方程中 得p点的轨迹方程 特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上 即应排除不合适的点 跟踪训练3等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 解答 解设另一端点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 整理得 x 4 2 y 2 2 10 又因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合 且b c不能为圆a的一条直径的两个端点 因为b c不能重合 所以点c不能为 3 5 又因为b c不能为一条直径的两个端点 故端点c的轨迹方程是 x 4 2 y 2 2 10 除去点 3 5 和 5 1 它的轨迹是以点a 4 2 为圆心 为半径的圆 但除去 3 5 和 5 1 两点 达标检测 1 2 3 4 1 圆x2 y2 2x 6y 8 0的面积为a 8 b 4 c 2 d 解析原方程可化为 x 1 2 y 3 2 2 解析 答案 5 圆的面积为s r2 2 1 2 3 4 5 2 若点m 3 0 是圆x2 y2 8x 4y 10 0内一点 则过点m 3 0 的最长的弦所在的直线方程是a x y 3 0b x y 3 0c 2x y 6 0d 2x y 6 0 解析圆x2 y2 8x 4y 10 0的圆心坐标为 4 2 则过点m 3 0 且过圆心 4 2 的弦最长 由k 2 可知c正确 解析 答案 1 2 3 4 5 3 若方程x2 y2 axy 4y 1 0表示圆 则a等于a 1b 0c 1d 2 答案 1 2 3 4 5 4 若方程x2 y2 2ax by c 0表示圆心为c 2 2 半径为2的圆 则a b c的值依次为a 2 4 4b 2 4 4c 2 4 4d 2 4 4 解得a 2 b 4 c 4 解析 答案 1 2 3 4 5 5 如图 已知线段ab的中点c的坐标是 4 3 端点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段ab的端点b的轨迹方程 解答 1 2 3 4 5 解设b点坐标是 x y 点a的坐标是 x0 y0 由于点c的坐标是 4 3 且点c是线段ab的中点 于是有x0 8 x y0 6 y 因为点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 所以点a的坐标满足方程 x 1 2 y2 4 把 代入 得 8 x 1 2 6 y 2 4