三角函数复习.doc

第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数知识要点：1.终边与角相同的角可写成k360(kZ)2. 弧长公式：l|r 扇形面积公式：S扇形lr|r2.3. 任意角的三角函数： sin ，cos ，tan （r0）4. 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦5.终边落在x轴上的角的集合|k，kZ；终边落在y轴上的角的集合 注：象限角不包括x轴与y轴。考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】 已知角是第二象限角，试确定2所在的象限解是第二象限角，k36090k360180，kZ.2k36018022k360360，kZ.2是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上 (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】 角与角的终边互为反向延长线，则()A B180 Ck360(kZ) Dk360180(kZ)解析对于角与角的终边互为反向延长线，则k360180(kZ)k360180(kZ) 答案D考向二三角函数的定义【例2】已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意得，r，m，m0，m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角cos ，tan.【训练2】 (2011课标全国)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A B C. D.解析取终边上一点(a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，故cos 22cos21. 答案B【训练3】已知角终边经过点P(x，)(x0)，且cos x，求sin 、tan 的值 解 P(x，)(x0)，P到原点的距离r，(2分)又cos x，cos x，x0，x，r2.(6分)当x时，P点坐标为(，)，由三角函数定义，有sin ，tan ；(9分)当x时，P点坐标为(，)，sin ，tan .(12分)考向三弧度制的应用【例3】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解(1)由O的半径r10AB，知AOB是等边三角形，AOB60.(2)由(1)可知，r10，弧长lr10，S扇形lr10，而SAOBAB10，SS扇形SAOB50. 第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式知识要点1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan .2诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，公式二：sin()sin_，cos()cos_， tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_.公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，cossin_.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化考向一利用诱导公式化简、求值【例1】已知f()，求f.审题视点 先化简f()，再代入求解解f()cos ，fcos coscos .【训练1】 已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_解析原式tan ，根据三角函数的定义，得tan .答案考向二同角三角函数关系的应用【例2】(2011长沙调研)已知tan 2.（此类型题目，构造tan 再求值）求：(1)；(2)4sin23sin cos 5cos2.解(1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21. (1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为(sin cos )212sin cos ； 【训练2】 已知5.则sin2sin cos _.解析依题意得：5，tan 2.sin2sin cos . 答案【试一试】 已知sin cos ，(0，)，求tan .尝试解答sin cos ，(0，)(sin cos )212sin cos .sin cos .由根与系数的关系知sin ，cos 是方程x2x0的两根，x1，x2，又sin cos 0，sin 0，cos 0，sin ，cos .tan .第3讲三角函数的图象与性质知识要点1.函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：无对称轴对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间，2k(kZ)；单调减区间，2k(kZ)单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间，k(kZ)奇偶性奇偶奇(1)周期性：数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性：角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式2.角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题考向一三角函数的定义域与值域【例1】求函数ycos2xsin x的最大值与最小值解设sin xt，则t.y1sin2xsin x2，t，故当t，即x时，ymax，当t，即x时，ymin.形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；（辅助角公式）形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【训练1】 (1)求函数y的定义域(2)已知函数f(x)cos2sinsin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值解(1)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.(2)由题意得：f(x)cos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.又x，2x，sin.故当x时，f(x)取最大值1；当x时，f(x)取最小值.考向二三角函数的奇偶性与周期性【例2】(2011大同模拟)函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数审题视点 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性解析y2cos21cossin 2x为奇函数，T.答案A考向三三角函数的单调性【例3】已知f(x)sin xsin，x0，求f(x)的单调递增区间审题视点 化为形如f(x)Asin(x)的形式，再求单调区间解f(x)sin xsinsin xcos xsin.由2kx2k，kZ，得：2kx2k，kZ，又x0，f(x)的单调递增区间为. 求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，若为负则要先把化为正数【训练3】 函数f(x)sin的单调减区间为_解析f(x)sinsin，它的减区间是ysin的增区间由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ.故所求函数的减区间为(kZ)答案(kZ)考向四三角函数的对称性【例4】(1)函数ycos图象的对称轴方程可能是()Ax Bx Cx Dx(2)若0，g(x)sin是偶函数，则的值为_解析(1)令2xk(kZ)，得x(kZ)，令k0得该函数的一条对称轴为x.本题也可用代入验证法来解(2)要使g(x)sin为偶函数，则须k，kZ，k，kZ，0，. (1)A(2)【训练4】 (1)函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形则_.解析(1)由ysin x的对称轴为xk(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)，又|，k0，故.(2)由题意，得ycos(3x)是奇函数，k，kZ.答案(1)(2)k，kZ第4讲正弦型函数yAsin(x)的图象及应用基础梳理函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相考向一求函数yAsin(x)的解析式【例2】(2011江苏)函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_审题视点 由最高、最低点确定A，由周期确定，然后由图象过的特殊点确定.解析由图可知：A，所以T2k，2k，令k0，2，又函数图象经过点，所以2，则，故函数的解析式为f(x)sin，所以f(0)sin.【训练2】 已知函数yAsin(x)(A0，|，0)的图象的一部分如图所示(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin .|，.又是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，2，2.f(x)2sin.(2)设2xB，则函数y2sin B的对称轴方程为Bk，kZ，即2xk(kZ)，解上式得x(kZ)，f(x)2sin的对称轴方程为x(kZ)考向二函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用【例3】(2012西安模拟)已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的值域解(1)由最低点为M，得A2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得，即T，所以2.由点M在图象上，得2sin2，即sin1.故2k，kZ，所以2k(kZ)又，所以.故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)因为x，所以2x.当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1.故函数f(x)的值域为1,2【训练3】 (2011南京模拟)已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得：A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ，故函数f(x)的递增区间为：(kZ)第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定(辅助角公式)考向一三角函数式的化简【例1】化简.审题视点 切化弦，合理使用倍角公式解原式cos 2x.考向三三角函数的求角问题【例3】已知cos ，cos()，且0，求.审题视点 由cos cos()解决解0，0.又cos()，cos ，sin sin()，cos cos()cos cos()sin sin().0.【训练3】 已知，且tan ，tan 是方程x23x40的两个根，求的值解由根与系数的关系得：tan tan 3，tan tan 4，tan 0，tan 0，0.又tan().考向四三角函数的综合应用【例4】(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值审题视点 先化简函数yf(x)，再利用三角函数的性质求解解(1)f2cossin21.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.cos x1,1，当cos x1时，f(x)取最大值2；当cos x0时，f(x)取最小值1.【训练4】 已知函数f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：f(x)2sin xcos xsin 2x(1)f(x)的最小正周期T.(2)x，2x.sin 2x1.f(x)的最大值为1，最小值为.难点突破三角函数求值、求角问题策略一、给值求值【示例】 (2011江苏)已知tan 2，则的值为_二、给值求角【示例】 (2011南昌月考)已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值练习题1(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是()A2cos2 1 B12sin275C. Dsin 15cos 15解析2cos21cos；12sin275cos 150；tan 451；sin 15cos 15sin 30.答案D2(2011福建)若tan 3，则的值等于()A2 B3 C4 D6解析2tan a236，故选D.3已知sin ，则cos(2)等于()A B C. D.解析cos(2)cos2(12sin2)2sin2121.4(2011辽宁)设sin，则sin 2()A B C. D.解析sin 2cos2sin21221.5tan 20tan 40tan 20 tan 40_.解析tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和边c.解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.【训练2】 (2011桂林模拟)已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)