高考数学一轮复习 第四章 解三角形课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第四章解三角形 1 2014江苏 14 5分 0 29 若 abc的内角满足sina sinb 2sinc 则cosc的最小值是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 解析设 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c sina sinb 2sinc 由正弦定理得a b 2c cosc 当且仅当a b时等号成立 故cosc的最小值为 2 2017江苏 18 16分 如图 水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均为32cm 容器 的底面对角线ac的长为10cm 容器 的两底面对角线eg e1g1的长分别为14cm和62cm 分别在容器 和容器 中注入水 水深均为12cm 现有一根玻璃棒l 其长度为40cm 容器厚度 玻璃棒粗细均忽略不计 1 将l放在容器 中 l的一端置于点a处 另一端置于侧棱cc1上 求l没入水中部分的长度 2 将l放在容器 中 l的一端置于点e处 另一端置于侧棱gg1上 求l没入水中部分的长度 解析本小题主要考查正棱柱 正棱台的概念 考查正弦定理 余弦定理等基础知识 考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力 1 由正棱柱的定义 cc1 平面abcd 所以平面a1acc1 平面abcd cc1 ac 记玻璃棒的另一端落在cc1上点m处 因为ac 10 am 40 所以mc 30 从而sin mac 记am与水面的交点为p1 过p1作p1q1 ac q1为垂足 则p1q1 平面abcd 故p1q1 12 从而ap1 16 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为24cm 2 如图 o o1是正棱台的两底面中心 由正棱台的定义 oo1 平面efgh 所以平面e1egg1 平面efgh o1o eg 同理 平面e1egg1 平面e1f1g1h1 o1o e1g1 记玻璃棒的另一端落在gg1上点n处 过g作gk e1g1 k为垂足 则gk oo1 32 因为eg 14 e1g1 62 所以kg1 24 从而gg1 40 设 egg1 eng 则sin sin cos kgg1 因为 所以cos 在 eng中 由正弦定理可得 解得sin 因为0 所以cos 于是sin neg sin sin sin cos cos sin 记en与水面的交点为p2 过p2作p2q2 eg q2为垂足 则p2q2 平面efgh 故p2q2 12 从而ep2 20 答 玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm 如果将 没入水中部分 理解为 水面以上部分 则结果为20cm 3 2016江苏 15 14分 在 abc中 ac 6 cosb c 1 求ab的长 2 求cos的值 解析 1 因为cosb 0 b 所以sinb 由正弦定理得ab 5 2 解法一 在 abc中 a b c 所以a b c 于是cosa cos b c cos cosbcos sinb sin 又cosb sinb 故cosa 因为0 a 所以sina 因此 cos cosacos sinasin 解法二 因为cosc cos 所以bc2 6bc 14 0 解得bc 7或 舍去 所以cosa 又a 0 所以sina 于是cos cosa sina 4 2013江苏 18 16分 0 430 如图 游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径 一种是从a沿直线步行到c 另一种是先从a沿索道乘缆车到b 然后从b沿直线步行到c 现有甲 乙两位游客从a处下山 甲沿ac匀速步行 速度为50m min 在甲出发2min后 乙从a乘缆车到b 在b处停留1min后 再从b匀速步行到c 假设缆车匀速直线运行的速度为130m min 山路ac长为1260m 经测量 cosa cosc 1 求索道ab的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 解析 1 在 abc中 因为cosa cosc 所以sina sinc 从而sinb sin a c sin a c sinacosc cosasinc 由 得ab sinc 1040 m 所以索道ab的长为1040m 2 设乙出发t分钟后 甲 乙两游客距离为dm 此时 甲行走了 100 50t m 乙距离a处130tm 所以由余弦定理得d2 100 50t 2 130t 2 2 130t 100 50t 200 37t2 70t 50 因0 t 即0 t 8 故当t min时 甲 乙两游客距离最短 3 由 得bc sina 500 m 乙从b出发时 甲已走了50 2 8 1 550 m 还需走710m才能到达c 设乙步行的速度为vm min 由题意得 3 3 解得 v 所以为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在 单位 m min 范围内 评析本题考查正 余弦定理 二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能 考查学生阅读能力和分析 解决实际问题的能力 考点一正 余弦弦定理1 2017课标全国 文 16 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若2bcosb acosc ccosa 则b b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案60 解析解法一 由正弦定理得2sinbcosb sinacosc sinc cosa 即sin2b sin a c 即sin2b sin 180 b 可得b 60 解法二 由余弦定理得2b a c 即b b 所以a2 c2 b2 ac 所以cosb 又0 b 180 所以b 60 思路分析利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解 2 2017课标全国 文改编 11 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sinb sina sinc cosc 0 a 2 c 则c 答案 解析本题考查正弦定理和两角和的正弦公式 在 abc中 sinb sin a c 则sinb sina sinc cosc sin a c sina sinc cosc 0 即sinacosc cosasinc sinasinc sinacosc 0 cosasinc sinasinc 0 sinc 0 cosa sina 0 即tana 1 即a 由 得 sinc 又0 c c 方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理 余弦定理 其次还要注意应用三角形内角和定理 以达到求解三角函数值时消元的目的 例如本题中sinb sin a c 的应用 3 2017山东理改编 9 5分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若 abc为锐角三角形 且满足sinb 1 2cosc 2sinacosc cosasinc 则下列等式成立的是 a 2b b 2a a 2b b 2a 答案 解析本题考查三角公式的运用和正弦定理 余弦定理 解法一 因为sinb 1 2cosc 2sinacosc cosasinc 所以sinb 2sinbcosc sinacosc sin a c 所以sinb 2sinbcosc sinacosc sinb 即cosc 2sinb sina 0 所以cosc 0或2sinb sina 即c 90 或2b a 又 abc为锐角三角形 所以0 c 90 故2b a 解法二 由正弦定理和余弦定理得b 2a c 所以2b2 a2 3b2 c2 即 a2 b2 c2 a2 b2 c2 即 a2 b2 c2 0 所以a2 b2 c2或2b a 又 abc为锐角三角形 所以a2 b2 c2 故2b a 方法总结解三角形时 可以由正弦定理 余弦定理将边角互化 边角统一后 化简整理即可求解 注意灵活运用三角公式 4 2017浙江 14 5分 已知 abc ab ac 4 bc 2 点d为ab延长线上一点 bd 2 连接cd 则 bdc的面积是 cos bdc 答案 解析本题考查余弦定理 同角三角函数关系式 二倍角公式 三角形面积公式 考查运算求解能力 ab ac 4 bc 2 cos abc abc为三角形的内角 sin abc sin cbd 故s cbd 2 2 bd bc 2 abc 2 bdc 又cos abc 2cos2 bdc 1 得cos2 bdc 又 bdc为锐角 cos bdc 5 2016课标全国 改编 4 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a c 2 cosa 则b 答案3 解析由余弦定理得5 22 b2 2 2bcosa cosa 3b2 8b 3 0 b 3 评析本题考查了余弦定理的应用 考查了方程的思想方法 6 2014课标 16 5分 0 465 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sina sinb c b sinc 则 abc面积的最大值为 答案 解析因为a 2 所以 2 b sina sinb c b sinc可化为 a b sina sinb c b sinc 由正弦定理可得 a b a b c b c 即b2 c2 a2 bc 由余弦定理可得cosa 又0 a 故a 又cosa 所以bc 4 当且仅当b c时取等号 由三角形面积公式知s abc bcsina bc bc 故 abc面积的最大值为 评析本题考查正弦定理 余弦定理 三角形面积公式以及基本不等式的应用 考查考生对知识的综合应用能力以及运算求解能力 7 2016山东改编 8 5分 abc中 角a b c的对边分别是a b c 已知b c a2 2b2 1 sina 则a 答案 解析在 abc中 由b c 得cosa 又a2 2b2 1 sina 所以cosa sina 即tana 1 又知a 0 所以a 评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键 8 2016北京 13 5分 在 abc中 a a c 则 答案1 解析在 abc中 a2 b2 c2 2bc cosa 将 a a c代入 可得 c 2 b2 c2 2bc 整理得2c2 b2 bc c 0 等式两边同时除以c2 得2 即2 令t t 0 有2 t2 t 即t2 t 2 0 解得t 1或t 2 舍去 故 1 思路分析本题先由余弦定理列出关于b c的方程 再将方程转化为以为变元的方程求解 9 2015天津 13 5分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知 abc的面积为3 b c 2 cosa 则a的值为 答案8 解析因为cosa 0 a 所以sina 由3 bcsina得bc 24 又因为b c 2 所以b 6 c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 36 16 12 64 故a 8 10 2015福建 12 4分 若锐角 abc的面积为10 且ab 5 ac 8 则bc等于 答案7 解析设内角a b c所对的边分别为a b c 由已知及bcsina 10得sina 因为a为锐角 所以a 60 cosa 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 25 64 2 40 49 故a 7 即bc 7 评析本题考查了三角形的面积和解三角形 利用三角形的面积求出cosa是求解关键 11 2016四川 18 12分 在 abc中 角a b c所对的边分别是a b c 且 1 证明 sinasinb sinc 2 若b2 c2 a2 bc 求tanb 解析 1 证明 根据正弦定理 可设 k k 0 则a ksina b ksinb c ksinc 代入 中 有 变形可得sinasinb sinacosb cosasinb sin a b 在 abc中 由a b c 有sin a b sin c sinc 所以sinasinb sinc 2 由已知 b2 c2 a2 bc 根据余弦定理 有cosa 所以sina 由 1 sinasinb sinacosb cosasinb 所以sinb cosb sinb 故tanb 4 方法总结解三角形中 要根据题干条件恰当选取正 余弦定理 当涉及边较多时 可考虑余弦定理 当涉及角较多时 可考虑正弦定理 abc中 也常用到sin a b sinc 考点二解三角形及其应用1 2015课标 16 5分 0 043 在平面四边形abcd中 a b c 75 bc 2 则ab的取值范围是 答案 解析依题意作出四边形abcd 连接bd 令bd x ab y cdb cbd 在 bcd中 由正弦定理得 由题意可知 adc 135 则 adb 135 在 abd中 由正弦定理得 所以 即y 因为0 75 75 180 所以30 105 当 90 时 易得y 当 90 时 y 又tan30 tan105 tan 60 45 2 结合正切函数的性质知 2 且 0 所以y 综上所述 y 评析本题考查了三角函数和解三角形 利用函数的思想方法是求解关键 属偏难题 2 2016课标全国 15 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若cosa cosc a 1 则b 答案 解析由cosc 0 c 得sinc 由cosa 0 a 得sina 所以sinb sin a c sin a c sinacosc sinccosa 根据正弦定理得b 评析本题考查了正弦定理的应用及运算求解能力 3 2016课标全国 改编 9 5分 在 abc中 b bc边上的高等于bc 则sina 答案 解析解法一 过a作ad bc于d 设bc a 由已知得ad b ad bd bad bd dc a tan dac 2 tan bac tan 3 cos2 bac sin bac 解法二 过a作ad bc于d 设bc a 由已知得ad b ad bd bd ad dc a ac a 在 abc中 由正弦定理得 sin bac 4 2015湖北 13 5分 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 答案100 解析依题意有ab 600 cab 30 cba 180 75 105 dbc 30 dc cb acb 45 在 abc中 由 得 有cb 300 在rt bcd中 cd cb tan30 100 则此山的高度cd 100m 5 2013福建理 13 4分 如图 在 abc中 已知点d在bc边上 ad ac sin bac ab 3 ad 3 则bd的长为 答案 解析cos bad cos sin bac 故在 abd中 由余弦定理知 bd2 ba2 da2 2ba ad cos bad 3 故bd 6 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sin a c 8sin2 1 求cosb 2 若a c 6 abc的面积为2 求b 解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用 1 由题设及a b c 得sinb 8sin2 故sinb 4 1 cosb 上式两边平方 整理得17cos2b 32cosb 15 0 解得cosb 1 舍去 cosb 2 由cosb 得sinb 故s abc acsinb ac 又s abc 2 则ac 由余弦定理及a c 6得b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 36 2 4 所以b 2 解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中 要重视 整体运算 的技巧 如本题中b2 a2 c2 2accosb a c 2 2ac 1 cosb 中的转化就说明了这一点 7 2017课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sina cosa 0 a 2 b 2 1 求c 2 设d为bc边上一点 且ad ac 求 abd的面积 解析本题考查解三角形 1 由已知可得tana 所以a 在 abc中 由余弦定理得28 4 c2 4ccos 即c2 2c 24 0 解得c 6 舍去 或c 4 2 由题设可得 cad 所以 bad bac cad 故 abd面积与 acd面积的比值为 1 又 abc的面积为 4 2sin bac 2 所以 abd的面积为 思路分析 1 由sina cosa 0 可求得tana 注意到a是三角形内角 得a 再由余弦定理求c 2 由题意知 cad bad 于是可求得的值 再由s abc 4 2sin bac 2得解 一题多解 2 另解一 由余弦定理得cosc 在rt acd中 cosc cd ad db cd s abd s acd 2 sinc 另解二 bad 由余弦定理得cosc cd ad s abd 4 sin dab 另解三 过b作be垂直ad 交ad的延长线于e 在 abe中 eab ab 4 be 2 be ca 从而可得 adc edb bd dc 即d为bc中点 s abd s abc 2 4 sin cab 8 2017山东文 17 12分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知b 3 6 s abc 3 求a和a 解析本题考查向量数量积的运算及解三角形 因为 6 所以bccosa 6 又s abc 3 所以bcsina 6 因此tana 1 又0 a 所以a 又b 3 所以c 2 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa 得a2 9 8 2 3 2 29 所以a 9 2017北京理 15 13分 在 abc中 a 60 c a 1 求sinc的值 2 若a 7 求 abc的面积 解析本题考查正 余弦定理的应用 考查三角形的面积公式 1 在 abc中 因为 a 60 c a 所以由正弦定理得sinc 2 因为a 7 所以c 7 3 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosa得72 b2 32 2b 3 解得b 8或b 5 舍 所以 abc的面积s bcsina 8 3 6 解后反思根据所给等式的结构特点 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键 在求解面积时 经常用余弦定理求出两边乘积 10 2017天津文 15 13分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知asina 4bsinb ac a2 b2 c2 1 求cosa的值 2 求sin 2b a 的值 解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦 余弦公式 两角差的正弦公式以及正弦定理 余弦定理等基础知识 考查运算求解能力 1 由asina 4bsinb 及 得a 2b 由ac a2 b2 c2 及余弦定理 得cosa 2 由 1 可得sina 代入asina 4bsinb 得sinb 由 1 知 a为钝角 所以cosb 于是sin2b 2sinbcosb cos2b 1 2sin2b 故sin 2b a sin2bcosa cos2bsina 规律总结解有关三角形问题时应注意 1 在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用 要抓住能够利用某个定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或边的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式 要考虑用正弦定理 以上特征都不明显时 则要考虑到两个定理都有可能用到 2 解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围 11 2017天津理 15 13分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知a b a 5 c 6 sinb 1 求b和sina的值 2 求sin的值 解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦 余弦公式 两角和的正弦公式以及正弦定理 余弦定理等基础知识 考查运算求解能力 1 在 abc中 因为a b 故由sinb 可得cosb 由已知及余弦定理 有b2 a2 c2 2accosb 13 所以b 由正弦定理 得sina 所以 b的值为 sina的值为 2 由 1 及a c 得cosa 所以sin2a 2sinacosa cos2a 1 2sin2a 故sin sin2acos cos2asin 方法总结1 利用正 余弦定理求边或角的步骤 1 根据已知的边和角画出相应的图形 并在图中标出 2 结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解 3 在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用 2 解决三角函数及解三角形问题的满分策略 1 认真审题 把握变形方向 2 规范书写 合理选择公式 3 计算准确 注意符号 12 2015课标 17 12分 abc中 d是bc上的点 ad平分 bac abd面积是 adc面积的2倍 1 求 2 若ad 1 dc 求bd和ac的长 解析 1 s abd ab adsin bad s adc ac adsin cad 因为s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 由正弦定理可得 2 因为s abd s adc bd dc 所以bd 在 abd和 adc中 ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 由 1 知ab 2ac 所以ac 1 评析本题考查正弦定理 余弦定理的应用以及三角形的面积公式 属常规题 中等偏易 13 2014天津 16 13分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知a c b sinb sinc 1 求cosa的值 2 求cos的值 解析 1 在 abc中 由 及sinb sinc 可得b c 又由a c b 有a 2c 所以 cosa 2 在 abc中 由cosa 可得sina 于是cos2a 2cos2a 1 sin2a 2sina cosa 所以cos cos2a cos sin2a sin 评析本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角的正弦与余弦公式 两角差的余弦公式以及正弦定理 余弦定理等基础知识 考查运算求解能力 14 2015湖南 17 12分 设 abc的内角a b c的对边分别为a b c a btana 且b为钝角 1 证明 b a 2 求sina sinc的取值范围 解析 1 证明 由a btana及正弦定理 得 所以sinb cosa 即sinb sin 又b为钝角 因此 a 故b a 即b a 2 由 1 知 c a b 2a 0 所以a 于是sina sinc sina sin sina cos2a 2sin2a sina 1 2 因为0 a 所以0 sina 因此 2 由此可知sina sinc的取值范围是 评析本题以解三角形为背景 考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质 对考生思维的严谨性有较高要求 15 2014浙江 18 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知a b c cos2a cos2b sinacosa sinbcosb 1 求角c的大小 2 若sina 求 abc的面积 解析 1 由题意得 sin2a sin2b 即sin2a cos2a sin2b cos2b sin sin 由a b 得a b 又a b 0 得2a 2b 即a b 所以c 2 由 1 及c sina 得a 由a c 得a c 从而cosa 故sinb sin a c sinacosc cosasinc 所以 abc的面积为s acsinb 评析本题主要考查诱导公式 两角和与差公式 二倍角公式 正弦定理 三角形面积公式等基础知识 同时考查运算求解能力 16 2013课标全国 理 17 12分 如图 在 abc中 abc 90 ab bc 1 p为 abc内一点 bpc 90 1 若pb 求pa 2 若 apb 150 求tan pba 解析 1 由已知得 pbc 60 所以 pba 30 在 pba中 由余弦定理得pa2 3 2 cos30 故pa 2 设 pba 由已知得pb sin 在 pba中 由正弦定理得 化简得cos 4sin 所以tan 即tan pba 评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形 考查了运算求解能力和分析 解决问题的能力 题目新颖且有一定的难度 通过pb把 pbc和 pab联系起来利用正弦定理是解题关键 1 2016天津理改编 3 5分 在 abc中 若ab bc 3 c 120 则ac c组教师专用题组 答案1 解析在 abc中 设a b c所对的边分别为a b c 则由c2 a2 b2 2abcosc 得13 9 b2 2 3b 即b2 3b 4 0 解得b 1 负值舍去 即ac 1 评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想 属容易题 2 2015北京 12 5分 在 abc中 a 4 b 5 c 6 则 答案1 解析在 abc中 由余弦定理的推论可得cosa 由正弦定理可知 1 评析本题主要考查正弦定理 余弦定理的推论以及二倍角公式的应用 考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力 3 2014天津 12 5分 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 已知b c a 2sinb 3sinc 则cosa的值为 答案 解析由2sinb 3sinc得2b 3c 即b c 代入b c a 整理得a 2c 故cosa 答案 解析由正弦定理得sinb sinacosc sinccosa sinb 即sinbsin a c sinb 因为sinb 0 所以sinb 所以 b 或 又因为a b 故 b 4 2013辽宁理改编 6 5分 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 若asinbcosc csinbcosa b 且a b 则 b 5 2013浙江理 16 4分 在 abc中 c 90 m是bc的中点 若sin bam 则sin bac 答案 解析令 bam bac 故 cm am sin m为bc的中点 bm am sin 在 amb中 由正弦定理知 即 sin cos cos sin cos cos2 整理得1 2sin cos cos2 解得tan 故sin 评析本题考查解三角形 正弦定理的应用和三角函数求值问题 考查学生的图形观察能力和数据处理能力 6 2014广东 12 5分 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 已知bcosc ccosb 2b 则 答案2 解析利用余弦定理 将bcosc ccosb 2b转化为b c 2b 化简得 2 7 2014湖南 18 12分 如图 在平面四边形abcd中 ad 1 cd 2 ac 1 求cos cad的值 2 若cos bad sin cba 求bc的长 解析 1 在 adc中 由余弦定理 得cos cad 2 设 bac 则 bad cad 因为cos cad cos bad 所以sin cad sin bad 于是sin sin bad cad sin badcos cad cos badsin cad 在 abc中 由正弦定理 得 故bc 3 8 2013山东理 17 12分 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 且a c 6 b 2 cosb 1 求a c的值 2 求sin a b 的值 解析 1 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得b2 a c 2 2ac 1 cosb 又b 2 a c 6 cosb 所以ac 9 解得a 3 c 3 2 在 abc中 sinb 由正弦定理得sina 因为a c 所以a为锐角 所以cosa 因此sin a b sinacosb cosasinb 评析本题考查三角恒等变换和解三角形等基础知识和基本技能 考查学生的运算求解能力 9 2013北京理 15 13分 在 abc中 a 3 b 2 b 2 a 1 求cosa的值 2 求c的值 解析 1 因为a 3 b 2 b 2 a 所以在 abc中 由正弦定理得 所以 故cosa 2 由 1 知cosa 所以sina 又因为 b 2 a 所以cosb 2cos2a 1 所以sinb 在 abc中 sinc sin a b sinacosb cosasinb 所以c 5 评析本题考查正弦定理及三角恒等变换 主要考查学生运算技巧和运算求解能力 二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键 10 2014大纲全国 17 10分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知3acosc 2ccosa tana 求b 解析由题设和正弦定理得3sinacosc 2sinccosa 故3tanacosc 2sinc 因为tana 所以cosc 2sinc tanc 6分 所以tanb tan 180 a c tan a c 8分 1 即b 135 10分 11 2013课标全国 理 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a bcosc csinb 1 求b 2 若b 2 求 abc面积的最大值 解析 1 由已知及正弦定理得sina sinbcosc sinc sinb 又a b c 故sina sin b c sinbcosc cosbsinc 由 和c 0 得sinb cosb 又b 0 所以b 2 abc的面积s acsinb ac 由已知及余弦定理得4 a2 c2 2accos 又a2 c2 2ac 故ac 当且仅当a c时 等号成立 因此 abc面积的最大值为 1 12 2014陕西 16 12分 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 1 若a b c成等差数列 证明 sina sinc 2sin a c 2 若a b c成等比数列 求cosb的最小值 解析 1 证明 a b c成等差数列 a c 2b 由正弦定理得sina sinc 2sinb sinb sin a c sin a c sina sinc 2sin a c 2 a b c成等比数列 b2 ac 由余弦定理得cosb 当且仅当a c时等号成立 cosb的最小值为 评析本题考查了等差 等比数列 正 余弦定理 基本不等式等知识 考查运算求解能力 13 2015陕西 17 12分 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 向量m a b 与n cosa sinb 平行 1 求a 2 若a b 2 求 abc的面积 解析 1 因为m n 所以asinb bcosa 0 由正弦定理 得sinasinb sinbcosa 0 又sinb 0 从而tana 由于00 所以c 3 故 abc的面积为bcsina 解法二 由正弦定理 得 从而sinb 又由a b 知a b 所以cosb 故sinc sin a b sin sinbcos cosbsin 所以 abc的面积为absinc 14 2016浙江 16 14分 在 abc中 内角a b c所对的边分别为a b c 已知b c 2acosb 1 证明 a 2b 2 若cosb 求cosc的值 解析 1 证明 由正弦定理得sinb sinc 2sinacosb 故2sinacosb sinb sin a b sinb sinacosb cosasinb 于是sinb sin a b 又a b 0 故0 a b 所以 b a b 或b a b 因此a 舍去 或a 2b 所以 a 2b 2 由cosb 得sinb cos2b 2cos2b 1 故cosa sina cosc cos a b cosacosb sinasinb 评析本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017盐城高三第一学期期中 9 在 abc中 已知sina sinb sinc 3 5 7 则此三角形的最大内角的度数为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 50分钟分值 60分 答案120 解析因为sina sinb sinc 3 5 7 所以a b c 3 5 7 从而可知c最大 由余弦定理得cosc 又0 c 180 所以c 120 2 2016江苏南京 盐城一模 7 在 abc中 设a b c分别为角a b c的对边 若a 5 a cosb 则c 答案7 解析由cosb 0 b 得sinb 由已知及 得b 4 由已知及cosb 得c2 6c 7 0 解得c 7或c 1 舍 3 2016江苏如东高级中学期中 13 在锐角 abc中 角a b c的对边分别是a b c a 8 b 10 abc的面积为20 则 abc的最大角的正切值是 答案 4 2015江苏泰州一模 13 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若 b c且7a2 b2 c2 4 则 abc面积的最大值为 解析由题意得20 8 10 sinc sinc c 或c 舍 由余弦定理得c2 82 102 2 8 10 84 由三角形中大边对大角知角b最大 则cosb 所以tanb 答案 解析由 b c得b c 代入7a2 b2 c2 4 得7a2 2b2 4 即2b2 4 7a2 由余弦定理得 cosc 所以sinc 则 abc的面积s absinc ab a 4 当且仅当15a2 8 15a2时取等号 此时a2 所以 abc的面积的最大值为 故答案为 二 解答题 共40分 5 2017盐城高三第一学期期中考试 17 如图 在四边形abcd中 4 12 e为ac的中点 1 若cos abc 求 abc的面积 2 若 2 求 的值 解析 1 cos abc abc 0 sin abc 12 cos abc 13 s abc sin abc 13 2 以e为原点 ac所在直线为x轴 建立如图所示的平面直角坐标系 则 12 2x 2 2y 2x 2 2y 4x2 4 4y2 x2 y2 4 2 x y 2 x y x2 y2 4 0 则a 2 0 c 2 0 设d x y 易得b 2x 2y 6 2017南京 盐城高三第二次模拟 15 如图 在 abc中 d为边bc上一点 ad 6 bd 3 dc 2 1 若ad bc 如图1 求 bac的大小 2 若 abc 如图2 求 adc的面积 图1图2 解析 1 设 bad dac 因为ad bc ad 6 bd 3 dc 2 所以tan tan 所以tan bac tan 1 又 bac 0 所以 bac 2 设 bad 在 abd中 abd ad 6 bd 3 由正弦定理得 即 解得sin 因为ad bd 所以 为锐角 从而cos 因此sin adc sin sin cos cos sin 所以 adc的面积s ad dc sin adc 6 2 1 7 2016江苏常州高级中学阶段调研 15 在 abc中 a ab 6 ac 3 1 求sin的值 2 若点d在bc边上 ad bd 求ad的长 解析 1 设 abc的内角a b c所对边的长分别是a b c 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos bac 3 2 62 2 3 6 cos 18 36 36 90 所以a 3 由正弦定理得sinb 由题设知0 b 所以cosb 所以sin sinbcos cosbsin 2 因为ad bd 所以 bad b 所以 adb 2b 在 abd中 由正弦定理得ad 8 2016江苏苏州一模 15 在 abc中 三个内角a b c所对的边分别为a b c 且满足 2cosc 1 求角c的大小 2 若 abc的面积为2 a b 6 求边c的长 解析 1 由余弦定理知acosb bcosa a b c 1 cosc 又c 0 c 2 由 1 知c s abc absinc 2 ab 8 又 a b 6 c2 a2 b2 2abcosc a b 2 3ab 12 c 2 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏南京 盐城一模 14 在 abc中 a b c所对的边分别为a b c 若a2 b2 2c2 8 则 abc面积s的最大值为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 40分 答案 解析由s absinc 得s2 a2b2 1 cos2c a2b2 a2 b2 2c2 8 a2 b2 8 2c2 s2 a2b2 a2b2 a2b2 c 当且仅当a b时等号成立 由二次函数的性质可知 当c 时 s2取得最大值 最大值为 故s的最大值为 思路分析由三角形面积公式 同角三角函数基本关系式 余弦定理 结合题意可求出s2 a2b2 进而利用不等式知识求出s2 c 从而利用二次函数的性质可求最值 2 2017苏北三市模拟 14 已知 abc三个内角a b c所对的边分别为a b c 且c c 2 当 取得最大值时的值为 答案2 解析由正弦定理得 所以b bccosa 2 cosa sin acosa sin2a cos2a 2 sin 2 所以当a 时 取最大值 此时b a c 从而 2 所以当 取得最大值时的值为2 3 2017江苏苏州期中 设 abc的三个内角a b c所对的边为a b c 若a b c依次成等差数列且a2 c2 kb2 则实数k的取值范围是 答案 1 2 解析 a b c依次成等差数列 2b a c 又a b c b a2 c2 b2 2accosb ac b2 0 即 b2 0 k 2 又a2 c2 b2 2accosb 0 且a2 c2 kb2 kb2 b2 0 k 1 1 k 2 4 2016江苏无锡 常州 镇江二模 10 若一个钝角三角形的三内角成等差数列 且最大边长与最小边长之比为m 则实数m的取值范围是 答案 2 解析依题意可设三