2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：4.2.1三角形的有关概念pdf版

真正的数学 天才 是珊蝴虫 珊蝴虫在自己的身上记下 日历 它们每年在自己的体壁上 刻画 出 条斑纹 显 然是一天 画 一条 奇怪的是 古生物学家发现 亿 千万年前的珊蝴虫每年 画 出 幅 水彩画 天文学家告诉我 们 当时地球一天仅 小时 一年不是 天 而是 天 三 角 形 三角形的有关概念 内容清单能力要求 三角形的有关概念能利用三角形概念判断三角形的形状 画三角形的角平分线 中线和高会作不同三角形的高 中线 角平分线 三角形的稳定性及其应用能利用三角形稳定性解释生活现象 三角形的内角和定理及其推论 能证明并会运用三角形 内角和定理及其推论 三角形中位线的性质 会作三角形的中位线并 掌握中位线的性质 定义 命题 定理的含义能区分定义 命题 定理的区别与联系 区分命题的条件和结论能正确说出命题的条件与结论 逆命题的概念 掌握逆命题与原命题 条件与结论互换的关系 利用反例证明一个命题是错误的会利用反证法证明 反证法的含义弄清反证思想 巧用假设进行逆推 综合法证明的格式书写格式应符合证明要求 一 选择题 山东临沂 如图 犃 犅 犆 犇 犇 犅 犅 犆 则 的度数是 第 题 第 题 四川凉山州 如图 已知犃 犅 犆 犇 犇 犉 犈 则 犃 犅 犈的度数为 湖南长沙 现有 长的四根木棒 任取其中三根组成一个三角形 那么可以组成的三角形的个 数是 个 个 个犇 个 四川巴中 三角形的下列线段中 能将三角形的面积 分成相等两部分的是 中线 角平分线 高 中位线 广东 已知三角形两边的长分别是 和 则此三角 形第三边的长可能是 省肿瘤医院某药剂师要将 克的药粉分成 克和 克各一份 可是天平只有 克和 克两个砝码 善于 推理的药师只用这台天平称了两次了 就把药粉分好了 你知道他是怎样称的吗 答案 分两步 第一步将 克砝码放一盘上 再把 克药粉分别倒在两个盘上 使天平平衡 于是 一盘有药粉 克 另一盘 克 第二步利用 克砝码 从 克药粉中称出 克 加到 克药粉中 山东德州 不一定在三角形内部的线段是 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 三角形的中位线 台湾 如图是一张方格纸 纸上有一阴影三角形 其顶 点均位于某两网格线的交点上 若阴影三角形面积为 平方 公分 则此方格纸的面积为 平方公分 第 题 四川绵阳 将一副常规的三角尺如图放置 则图中 犃 犗 犅的度数为 第 题 第 题 山东东营 一副三角板 如图叠放在一起 则图中 的度数是 湖北孝感 如图 在 犃 犅 犆中 犅 犇 犆 犈是 犃 犅 犆的 中线 犅 犇与犆 犈相交于点犗 点犉 犌分别是犅 犗 犆 犗的中 点 连结犃 犗 若犃 犗 犅 犆 则四边形犇 犈 犉 犌的周 长是 第 题 山东济宁 一个三角形三个内角度数之比是 那 么这个三角形是 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 等边三角形 湖南湘西 下列命题正确的是 三角形内角和是 只有一组对边相等的四边形 一定是平行四边形 对顶角相等 对角线不相等的四边形是正方形 二 填空题 山西 如图 是由形状相同的正六边形和正三角形镶 嵌而成的一组有规律的图案 则第狀个图案中阴影小三角形 的个数是 第 题 第 题 福建泉州 如图 在 犃 犅 犆中 犃 犅 犃 犆 犅 犆 犃 犇 犅 犆于点犇 则 犅 犇的长是 山东滨州 一个三角形三个内 角的度数之比为 这个三角形 一定是 福建泉州 如图 在四边形犃 犅 犆 犇中 点犘是对角线 犅 犇的中点 犈 犉分别是犃 犅 犆 犇的中点 犃 犇 犅 犆 犘 犈 犉 则 犘 犉 犈的度数是 第 题 河南 将一副直角三角板如图放置 使含 角的三 角板的一段直角边和含 角的三角板的一条直角边重合 则 的度数为 第 题 三 解答题 重庆 如图 在 犃 犅 犆中 犅 犃 犆 点犇在 犅 犆边上 且 犃 犅 犇是等边三角形 若犃 犅 求 犃 犅 犆的 周长 结果保留根号 第 题 海岛算经 本来不是一部独立的著作 是刘徽为了解释 重差术 而附在 九章算术 中 勾股 后的一些问题 所谓 重 差术 是计算极高和极低的方法 是透过对对象的反复观测 在不引入三角函数的情况下 运用相似三角形的对应边成比 例的原理来计算出精确的结果 所以 海岛算经 标志着中国古代测量数学的成就 唐代初年 这一部分被人从 九章算术 抽出来独立成书 因第一题是测量有关海岛的高度及距离的问题 故把它命名为 海岛算经 浙江绍兴 如图 犃 犅 犆 犇 以点犃为圆心 小于犃 犆 长为半径作圆弧 分别交犃 犅 犃 犆于犈 犉两点 再分别以犈 犉为圆心 大于 犈 犉 长为半径作圆弧 两条圆弧交于点犘 作射线犃 犘 交犆 犇于点犕 若 犃 犆 犇 求 犕犃 犅的度 数 第 题 浙江杭州 如图 是数轴的一部分 其单位长度为犪 已知 犃 犅 犆中 犃 犅 犪 犅 犆 犪 犃 犆 犪 用直尺和圆规作出 犃 犅 犆 要求 使点犃 犆在数轴上 保留 作图痕迹 不必写出作法 第 题 江苏连云港 某课题研究小组就图形面积问题进行 专题研究 他们发现如下结论 有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边 上的对应高之比 有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个 角的两边乘积之比 现请你继续对下面问题进行探究 探究过程可直接应用上述 结论 犛表示面积 问题 如图 现有一块三角形纸板犃 犅 犆 犘 犘 三等分 边犃 犅 犚 犚 三等分边犃 犆 经探究知犛四边形犘 犚 犚 犘 犛 犃 犅 犆 请证明 第 题 问题 若有另一块三角形纸板 可将其与问题 中的 犃 犅 犆 拼合成四边形犃 犅 犆 犇 如图 犙 犙 三等分边犇 犆 请 探究犛四边形犘 犙 犙 犘 与犛四边形犃 犅 犆 犇之间的数量关系 第 题 问题 如图 犘 犘 犘 犘 五等分边犃 犅 犙 犙 犙 犙 五等分边犇 犆 若犛四边形犃 犅 犆 犇 求犛四边形犘 犙 犙 犘 第 题 问题 如图 犘 犘 犘 四等分边犃 犅 犙 犙 犙 四等分 边犇 犆 犘 犙 犘 犙 犘 犙 将四边形犃 犅 犆 犇分成四个部 分 面积分别为犛 犛 犛 犛 请直接写出含有犛 犛 犛 犛 的一个等式 第 题 北京 已知 如图 点犃 犅 犆 犇在同一条直线上 犈 犃 犃 犇 犉 犇 犃 犇 犃 犈 犇 犉 犃 犅 犇 犆 求 证 犃 犆 犈 犇 犅 犉 第 题 孙子算经 共分上 中 下三卷 上卷叙述筹算乘除法 中卷叙述筹算的分数算法和开平方法 是了解中国古代 筹算的很好的资料 可以补充 九章算术 的不足 下卷则是收集了一些算术难题的问题集 如已知头数和足数的 鸡兔同笼 问题 在今天的算术教科书中仍然是常见的问题 在 孙子算经 中 最有名的当然是下卷第 题 就是 通常所称的 孙子问题 也是现称为 中国剩余定理 的出处 趋势总揽 纵观近 年的全国课改试验区和非试验区的中考试题 三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念 三角形内角和 定理 年命题趋势仍以考查以上知识点为主 以填空题和 选择题为主要考查形式 预计 年仍将沿袭此种考法 高分锦囊 准确掌握三角形和三角形的相关概念 性质 判定与解题方 法 加强对基本概念 解题思想的认识 应注意隐含条件的挖掘 例如求三角形内角时 不要忘记三角形三个内角和是 这个 隐含条件 求三角形边长时 不要忘记三角形两边之和应大于第 三边等 等腰三角形在没有特别说明腰与底边 顶角与底角时 应注意分类讨论思想的应用 常考点清单 一 三角形的分类 按角分类 三角形 斜三角形 烅 烄 烆 按边分类 三角形 不等边三角形 的等腰三角形 烅 烄 烆 二 三角形的有关概念与性质 三角形中的重要线段 三角形的三条中线相交于一点 这点到顶点的距离等于 它到对边中点距离的 三角形的三条角平分线相交于一点 这点到 的 距离相等 三角形的三条高线相交于一点 钝角三角形三条高线的 交点在三角形 部 三角形三边的垂直平分线相交于一点 这点到 的距离相等 一个三角形有 条中位线 三角形的中位线 于第三边 并且等于第三边的 三角形任何两边的和 第三边 任何两边的差 第三边 三角形的内角和等于 三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角 三 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离 到角的两边距离相等的点在 易混点剖析 三角形的中位线 高 角平分线都是 线段 射 线 直线 三角形的中线与中位线的区别是 三角形的三条角平分线的交点是它的 三条 的交点是它的重心 三条高的交点是它的 易错题警示 例 浙江嘉兴 已知 犃 犅 犆中 犅是 犃的 倍 犆比 犃大 则 犃等于 解析 设 犃 狓 则 犅 狓 犆 狓 再根据三 角形内角和定理求出狓的值即可 本题注意隐含条件三角形内 角和定理的运用 答案 设 犃 狓 则 犅 狓 犆 狓 由三角形内角和为 得狓 狓 狓 解得狓 即 犃 故选 例 广东梅州 如图 在折纸活动中 小明制 作了一张 犃 犅 犆纸片 点犇 犈分别是边犃 犅 犃 犆上 将 犃 犅 犆 沿着犇 犈折叠压平 犃与犃 重合 若 犃 则 解析 本题将三角形内角和定理与折叠知识相结合 由 折叠常识知 对折后两个角相等 即 犃 犈 犇 犃 犈 犇 犃 犇 犈 犃 犇 犈 再利用平角的定义求 的值 答案 犃 犃 犈 犇 犃 犇 犈 故选 如果切开蜂巢的话 你就会发现它是由很多呈正六边形的棱柱叠加而成的 正三角形的每个角为 所以在任意 一顶点衔接 个这样的角就是 同样 在一个内角为 的正四边形上对接 个相同的角或在内角为 的正六边 形上对接 个相同的角则都是 在所有边长都相同的正多边形当中 能在平面衔接最紧密的也只有正三角形 正四 边形和正六边形这三种 为了建巢 在这三种选择中蜜蜂选择了正六边形 那么 蜜蜂选择正六边形的理由是什么呢 一 选择题 江西南昌十五校联考 如图 在 犃 犅 犆中 犇是 犅 犆延长线上一点 犅 犃 犆 犇 则 犃等于 第 题 湖北荆门东宝区模拟 已知三角形三边长分别为 狓 若狓为正整数 则这样的三角形个数为 四川泸县春期福集镇青龙中学中考模拟 将一副三角 板按图中的方式叠放 则 等于 第 题 湖北荆州中考模拟 已知 犃 犅 犆的面积为 将 犃 犅 犆沿犅 犆的方向平移到 犃 犅 犆的位置 使犅 和犆重 合 连结犃 犆 交犃 犆于犇 则 犆 犇 犆的面积为 第 题 北京四中四模 如图 若犇 犈是 犃 犅 犆的中位线 犃 犅 犆的周长是 则 犃 犇 犈的周长是 第 题 第 题 河北省三河市一模 如图 将三角尺的直角顶点放在 直尺的一边上 则 的度数为 湖北黄冈中考调研六 到三角形三条边的距离都相等 的点是这个三角形的 三条中线的交点 三条高的交点 三条边的垂直平分线的交点 三条角平分线的交点 二 填空题 浙江省金华市一模 已知三角形的两边长分别为 和 那么第三边长的取值范围是 河南开封 年中招第一次模拟 将一副常规的三角板按 如图方式放置 则图中 犃 犗 犅的度数为 第 题 江苏盐城中考模拟 如图 在 犃 犅 犆中 犃 犃 犅 犆与 犃 犆 犇的平分线交于点犃 得 犃 犃 犅 犆与 犃 犆 犇的平分线相交于点犃 得 犃 犃 犅 犆与 犃 犆 犇的平分线相交于点犃 得 犃 则 犃 第 题 湖北黄冈市浠水县中考调研 三角形三边长分别为 犪 则最大的边犪的取值范围是 河北省中考模拟 广告公司为某种商品设计了一种 商标图案 如图所示 图中阴影部分为黑色 若每个小正方 形的面积都是 则黑色部分的面积是 第 题 三 解答题 上海青浦二模 如图 在 犃 犅 犆中 犃 犇平分 犅 犃 犆 犅 犈 犃 犇 犅 犈交犃 犇的延长线于点犈 点犉在犃 犅上 且 犈 犉 用正三角形建巢很坚固 这是事实 不过相对使用的建巢材料而言空间显得狭小 确切地说 就是盖相同空间的蜂 巢 正三角形相对正六边形需要多 倍的材料 而如果用正四边形的话 两侧又不太牢固 容易遭到外部力量的破坏 如果用正六边形的话 几个边相互对接紧密 不仅结构坚固 而且还可使用相对较少的材料获得较大的空间 可谓经济 实用 犃 犆 求证 点犉是犃 犅的中点 第 题 安徽安庆二模 在平面内 分别用 根 根 根 火柴首尾依次相接能搭成什么形状的三角形呢 通过尝试 列表如下 火柴数 示意图 形状等边三角形等腰三角形等边三角形 问 根火柴能搭成三角形吗 根火柴 根火柴能搭成几种不同形状的三角形 请画出它们的示意图 北京四中模拟 如图 有一块三角形的地 现要平均 分给四农户种植 即四等分三角形面积 请你在图上作出分 法 不写作法 第 题 河 南 新 乡 市 二 模 如 图 犉 犃 犈 犆 垂 足 为犈 犉 犆 求 犉 犅 犆的度数 第 题 如图 每个小正方形的边长为 犃 犅 犆的三边犪 犫 犮的大小 关系是 第 题 犪 犮 犫 犪 犫 犮 犮 犪 犫 犮 犫 犪 下列长度的三条线段能组成三角形的是 如图 犅犕是 犃 犅 犆的中线 已知犃 犅 犅 犆 则 犃 犅犕与 犆 犅犕的周长差是 第 题 在 犃 犅 犆中 犃 犅 犃 犆 犃 犅的垂直平分线与犃 犆所在的直线 相交所得的锐角为 求 犅的度数 三 角 形 三角形的有关概念 年考题探究 解析 犃 犅 犆 犇 犇 犅 犅 犆 犅 犆 犇 犇 犅 犅 犆 犅 犆 犇 解析 犃 犅 犈 犈 犉 犆 犇 犉 犈 解析 四条木棒的所有组合 和 和 和 只有 和 能组成三角形 解析 中线能将三角形的面积分成相等两部分 解析 设此三角形第三边的长为狓 则 狓 即 狓 四个选项中只有 符合条件 解析 因为在三角形中 它的中线 角平分线一定在三 角形的内部 而钝角三角形的高在三角形的外部 解析 设每一个小方格为狓公分 则 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 解得狓 方格纸面积为 狓 平方公分 解析 犃 犆 犗 犃 犗 犅 犃 犆 犗 犃 解析 解析 由三角形中位线定理知犈 犉 犇 犌 犃 犗 犈 犇 犉 犌 犅 犆 四边形犇 犈 犉 犌的周长 犃 犗 犅 犆 解析 设三个内角度数分别为 狓度 狓度 狓度 则 狓 狓 狓 解得狓 狓 解析 三角形内角和是 是错误的 两组对边 分别相等的四边形 是平行四边形 是错误的 对角线 不相等的四边形一定不是正方形 是错误的 故选 狀 解析 由图可知 第一个图案有阴影小三角形 个 第二图案有阴影小三角形 个 第三个图案有 阴影小三角形 个 那么第狀个就有阴影小三角 形 狀 狀 个 解析 犃 犇垂直平分犅 犆 钝角三角形 解析 三角形的三个角依次为 所以这个三角形是钝角三角形 解析 犘 犈 犃 犇 犘 犉 犅 犆 犘 犈 犘 犉 即 犘 犉 犈 犘 犈 犉 解析 由平行线的性质以及三角形的一个外角等 于和它不相邻的两个内角的和可以得到 犃 犅 犇是等边三角形 犅 犅 犃 犆 犆 犅 犆 犃 犅 在 犃 犅 犆中 由勾股定理 得 犃 犆 犅 犆 犃 犅 槡 槡 槡 犃 犅 犆的周长是犃 犆 犅 犆 犃 犅 槡 槡 犃 犅 犆 犇 犃 犆 犇 犆 犃 犅 又 犃 犆 犇 犆 犃 犅 由作法知犃犕是 犃 犆 犅的平分线 犃犕犅 犆 犃 犅 在数轴上截取犃 犆 犪 再以犃 犆为圆心 犪 犪长为半 径画弧 交点为犅 第 题 问题 由结论 可知 犛 犃 犘 犚 犛 犃 犘 犚 犃 犘 犃 犚 犃 犘 犃 犚 同理可得 犛 犃 犘 犚 犛 犃 犅 犆 犛 犃 犘 犚 犛 犃 犅 犆 犛四边形犘 犚 犚 犘 犛 犃 犅 犆 即 犛四边形犘 犚 犚 犘 犛 犃 犅 犆 问题 连结犙 犚 犙 犚 如图 由问题 的结论 可知 第 题 犛四边形犘 犚 犚 犘 犛 犃 犅 犆 犛四边形犙 犚 犚 犙 犛 犃 犆 犇 犛四边形犘 犚 犚 犘 犛四边形犙 犚 犚 犙 犛 四边形犃 犅 犆 犇 由犘 犘 三等分边犃 犅 犚 犚 三等分边犃 犆 犙 犙 三 等分边犇 犆 可得犘 犚 犘 犚 犙 犚 犙 犚 且犘 犚 犘 犚 犙 犚 犙 犚 犘 犚 犃 犘 犚 犃 犙 犚 犃 犙 犚 犃 犘 犚 犙 犘 犚 犙 由结论 可知犛 犘 犚 犙 犛 犘 犚 犙 犛四边形犘 犙 犙 犘 犛四边形犘 犚 犚 犘 犛四边形犙 犚 犚 犙 犛 四边形犃 犅 犆 犇 问题 设犃 犛四边形犘 犙 犙 犘 犆 犛四边形犘 犙 犙 犘 犅 犛四边形犘 犙 犙 犘 由问题 的结论 可知犃 犛 四边形犃 犇 犙 犘 犅 犛 四边形犘 犙 犆 犅 犃 犅 犛四边形犃 犅 犆 犇 犆 犆 又 犆 犃 犅 犆 即 犆 犆 犆 整理得犆 即犛四边形犘 犙 犙 犘 问题 犛 犛 犛 犛 犃 犅 犇 犆