初三自主招生教学案23：不定方程

第 1 页 不不定定方方程程 知知识识梳梳理理 形形如如 x y 4 x y z 3 yx 11 1 的的方方程程叫叫做做不不定定方方程程 其其中中前前两两个个方方程程又又叫叫做做一一次次不不定定方方程程 这这些些方方程程的的 解解是是不不确确定定的的 我我们们通通常常研研究究 1 不不定定方方程程是是否否有有解解 2 不不定定方方程程有有多多少少个个解解 3 求求不不定定方方程程的的整整数数解解 或或正正整整数数解解 对对于于二二元元一一次次不不定定方方程程问问题题 我我们们有有以以下下两两个个定定理理 定定理理 1 二二元元一一次次不不定定方方程程 ax by c 1 若若其其中中 a b c 则则原原方方程程无无整整数数解解 2 若若 a b 1 则则 原原方方程程有有整整数数解解 3 若若 a b c 则则可可以以在在方方程程两两边边同同时时除除以以 a b 从从而而使使原原方方程程的的一一次次项项系系数数互互质质 从从而而转转化化为为 2 的的情情形形 如如 方方程程 2x 4y 5 没没有有整整数数解解 2x 3y 5 有有整整数数解解 定定理理 2 若若不不定定方方程程 ax by 1 有有整整数数解解 0 0 yy xx 则则方方程程 ax by c 有有整整数数解解 0 0 cyy cxx 此此解解称称为为特特解解 方方程程 方方程程 ax by c 的的所所有有解解 即即通通解解 为为 akcyy bkcxx 0 0 k 为为整整数数 对对于于非非二二元元一一次次不不定定方方程程问问题题 常常用用求求解解方方法法有有 1 恒恒等等变变形形 通通过过因因式式分分解解 配配方方 换换元元等等方方法法将将方方程程变变形形 使使之之易易于于求求解解 2 构构造造法法 先先利利用用恒恒等等式式构构造造一一些些特特解解 再再进进一一步步证证明明不不定定方方程程有有无无穷穷多多组组解解 3 估估算算法法 先先缩缩小小方方程程中中某某些些未未知知数数的的取取值值范范围围 然然后后再再求求解解 例例题题精精讲讲 题题型型一一 二二元元一一次次不不定定方方程程 例例 1 求求方方程程 4x 5y 21 的的整整数数解解 解解 因因为为方方程程 4x 5y 1 有有一一组组解解 1 1 y x 所所以以方方程程 4x 5y 21 有有一一组组解解 21 21 y x 又又因因为为方方程程 4x 5y 0 的的所所有有整整数数解解为为 ky kx 4 5 k 为为整整数数 所所以以方方程程 4x 5y 21 的的所所有有整整数数解解为为 ky kx 421 521 k 为为整整数数 解解析析 本本题题也也可可直直接接观观察察得得到到方方程程 4x 5y 21 的的一一组组特特解解 5 1 y x 从从而而得得到到 4x 5y 21 的的通通解解 ky kx 45 51 k 为为整整数数 更多自主招生数学竞赛培优QQ 3255151053 第 2 页 同同步步练练习习 练练习习 1 求求方方程程 5x 3y 22 的的所所有有正正整整数数解解 解解 方方程程 5x 3y 1 有有一一组组解解为为 2 1 y x 所所以以方方程程 5x 3y 22 有有一一组组解解为为 44 22 y x 又又因因为为 5x 3y 0 的的所所有有整整数数解解为为 ky kx 5 3 k 为为整整数数 所所以以方方程程 5x 3y 22 的的所所有有整整数数解解为为 445 223 ky kx k 为为整整数数 由由 0445 0223 k k 解解得得 5 44 3 22 k k 所所以以 k 8 原原方方程程的的正正整整数数解解为为 4 2 y x 解解析析 由由此此题题可可见见 求求不不定定方方程程的的正正整整数数解解的的方方法法是是先先求求不不定定方方程程的的所所有有整整数数解解 通通解解 然然后后再再求求其其中中的的 正正整整数数解解 这这通通常常需需要要解解不不等等式式组组求求出出通通解解中中 k 的的取取值值范范围围 若若一一次次不不定定方方程程的的特特解解不不易易观观察察得得出出 我我们们可可以以用用辗辗转转相相除除法法求求特特解解 下下面面通通过过例例题题说说明明这这种种方方法法 例例 2 求求方方程程 63x 8y 23 的的整整数数解解 解解 1 用用 x y 中中系系数数较较大大者者除除以以较较小小者者 63 8 7 7 2 用用上上一一步步的的除除数数除除以以上上一一步步的的余余数数 8 7 1 1 3 重重复复第第二二步步 直直到到余余数数为为 1 为为此此 4 逆逆序序写写出出 1 的的分分解解式式 1 8 7 1 8 63 8 7 1 8 63 8 7 8 8 63 5 写写出出原原方方程程的的特特解解和和通通解解 所所以以方方程程 63x 8y 1 有有一一组组特特解解 8 1 y x 方方程程 63x 8y 23 有有一一组组特特解解 238 23 y x 所所以以原原方方程程的的 所所有有整整数数解解为为 ky kx 63238 823 k 为为整整数数 练练习习 2 求求方方程程 37x 107y 25 的的整整数数解解 更多自主招生数学竞赛培优QQ 3255151053 第 3 页 解解 107 2 37 33 37 1 33 4 33 4 8 1 所所以以 1 33 4 8 33 37 1 33 8 37 8 33 9 37 8 107 2 37 9 107 9 37 26 所所以以方方程程 37x 107y 1 有有一一组组整整数数解解为为 9 26 y x 原原方方程程的的所所有有整整数数解解为为 ky kx 37259 1072526 k 为为整整数数 题题型型二二 多多元元一一次次不不定定方方程程 组组 的的整整数数解解 多多元元一一次次不不定定方方程程的的整整数数解解问问题题可可转转化化为为二二元元一一次次不不定定方方程程来来求求解解 下下面面通通过过例例题题进进行行说说明明 例例 3 求求方方程程 12x 8y 36z 100 的的所所有有整整数数解解 解解 原原方方程程可可化化为为 3x 2y 9z 25 将将 分分为为 259 23 zt tyx 的的一一组组解解为为 ty tx 所所以以 的的所所有有整整数数解解为为 1 1 3 2 kty ktx k1为为整整数数 的的一一组组解解为为 2 7 z t 所所以以 的的所所有有整整数数解解为为 2 2 2 97 kz kt k2为为整整数数 将将 代代入入 消消去去 t 得得 2 12 12 2 397 297 kz kky kkx k1 k2为为整整数数 练练习习 3 一一个个布布袋袋中中装装有有红红 黄黄 蓝蓝三三种种颜颜色色的的大大小小相相同同的的小小球球 红红球球上上标标有有数数字字 1 黄黄球球上上标标有有数数字字 2 蓝蓝球球上上标标有有数数字字 3 小小明明从从布布袋袋中中摸摸出出 10 个个球球 它它们们上上面面所所标标数数字字之之和和等等于于 21 则则小小明明摸摸出出的的球球中中红红球球个个数数最最 多多为为几几个个 解解 设设红红 黄黄 蓝蓝球球各各摸摸出出 x y z 个个 则则 2132 10 zyx zyx 2 1 2 1 消消去去 x 得得 y 2z 11 3 3 的的通通解解为为 kz ky 5 21 k 为为整整数数 所所以以 x 10 y z 4 k 当当 k 0 时时 x 最最大大 此此时时 y 1 z 5 所所以以小小明明摸摸出出的的球球中中红红球球个个数数最最多多为为 4 个个 第 4 页 题题型型三三 其其他他不不定定方方程程 例例 4 求求不不定定方方程程 2 111 yx 的的正正整整数数解解 解解 原原式式变变形形为为 2x 2y xy 即即 x 2 y 2 4 所所以以 22 22 y x 或或 12 42 y x 或或 42 12 y x 解解得得 4 4 y x 或或 3 6 y x 或或 6 3 y x 练练习习 4 求求方方程程 x2 y2 105 的的正正整整数数解解 解解 x y x y 105 3 5 7 所所以以 1 105 yx yx 或或 3 35 yx yx 或或 5 21 yx yx 或或 7 15 yx yx 解解得得 52 53 y x 或或 16 19 y x 或或 8 13 y x 或或 4 11 y x 例例 5 求求方方程程 y2 3x2y2 30 x2 517 的的所所有有正正整整数数解解 解解 原原方方程程可可变变形形为为 y2 3x2y2 30 x2 10 517 即即 y2 10 3x2 1 3 13 13 由由于于 3 3x2 1 所所以以 3 y2 10 又又因因为为 3x2 1 1 所所以以 y2 10 0 经经实实验验可可知知 y2 10 39 3x2 1 13 所所以以 x 2 y 7 解解析析 本本题题虽虽然然简简单单 但但也也综综合合运运用用了了恒恒等等变变形形 估估算算等等多多种种方方法法 练练习习 5 求求证证方方程程 x3 113 y3没没有有正正整整数数解解 解解 假假设设方方程程有有正正整整数数解解 则则由由 x3 113 y3得得 y x y2 xy x2 113 由由于于 y x y 11 所所以以 y2 xy x2 112 于于是是 y x 1 y2 xy x2 113 所所以以 x 1 2 x x 1 x2 3x2 3x 1 113 1331 即即 3 x2 x 1330 这这与与 31330 矛矛盾盾 所所以以原原方方程程没没有有正正整整数数解解 例例 6 求求方方程程 x y x2 xy y2的的全全部部整整数数解解 更多自主招生数学竞赛培优QQ 3255151053 第 5 页 解解 将将原原方方程程看看成成关关于于 x 的的一一元元二二次次方方程程 x2 y 1 x y2 y 0 若若此此方方程程有有解解 则则 y 1 2 4 y2 y 0 即即 3y2 6y 1 0 解解得得 1 3 32 1 3 32 y 所所以以 y 0 1 或或 2 将将 y 的的值值代代入入原原方方程程可可解解得得 0 0 y x 0 1 y x 1 0 y x 1 2 y x 2 1 y x 2 2 y x 练练习习 6 求求方方程程 x2 y2 2x 2y xy 的的所所有有正正整整数数解解 解解 将将原原方方程程看看成成关关于于 x 的的一一元元二二次次方方程程 x2 y 2 x y2 2y 0 若若此此方方程程有有整整数数解解 则则 y 2 2 4 y2 2y 为为完完全全平平方方数数 又又因因为为 3 y 2 2 16 0 16 所所以以 0 1 4 9 或或 16 解解得得 y 2 或或 4 代代入入原原方方程程解解得得 2 4 y x 4 2 y x 或或 4 4 y x 例例 7 求求方方程程 x6 3x3 1 y4的的整整数数解解 解解 1 当当 x 0 时时 x6 2x3 1 y4 x6 4x3 2 即即 x3 1 2 y4 x3 2 2 所所以以 x3 1 y20 不不成成立立 2 当当 x 0 时时 y4 1 y 1 3 当当 x 1 时时 y4 1 y 无无实实数数解解 4 当当 x 2 时时 x3 1 0 所所以以 x6 4x3 2 y4 x6 4x3 1 即即 x3 2 2 y4 x3 1 2 所所以以 x3 2 y2 x3 1 与与 1 类类似似可可证证 x 2 不不成成立立 综综上上所所述述 1 0 y x 或或 1 0 y x 解解析析 本本题题先先将将原原方方程程变变形形 利利用用不不等等式式缩缩小小 x 的的取取值值范范围围 再再进进行行求求解解 练练习习 7 求求方方程程 x2 x y4 y3 y2 y 的的整整数数解解 解解 原原方方程程可可变变形形为为 4x2 4x 1 4y4 4y3 4y2 4y 1 2x 1 2 2y2 y 2 3y2 4y 1 2y2 y 2 2 2y2 y 1 y2 2y 2y2 y 1 2 y2 2y 更多自主招生数学竞赛培优QQ 3255151053 第 6 页 1 当当 02 0143 2 2 yy yy 即即当当 y2 时时 2y2 y 2 2x 1 2 2y2 y 1 2 而而 2y2 y 与与 2y2 y 1 为为两两相相邻邻整整数数 所所以以此此时时原原方方程程没没有有整整数数解解 2 当当 y 1 时时 x