高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦课件 新人教B版必修4(1).ppt

第三章三角恒等变换 3 1和角公式 3 1 1两角和与差的余弦 1 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程 掌握用向量证明问题的方法 进一步体会向量法的作用 2 能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式 并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值 化简和证明等问题 两角和与差的余弦公式温馨提示 这两个公式分别记作c c 记忆两角和与差的余弦公式时 可注意到 公式右端的两部分为同名三角函数的积 连接符号与左边角的连接符号相反 做一做1 cos75 等于 答案 c 做一做2 cos32 cos28 sin32 sin28 的值为 答案 a 评析公式cos cos cos sin sin 剖析 1 公式的结构特征是 两角和 差 的余弦等于这两角的余弦之积与正弦之积的差 和 等式两边的运算符号相反 即 同名相乘 异号连接 2 公式的适用范围是 对任意角 均成立 其中角 可以是单独一个角 也可以是几个角的组合 例如 cos 2 cos cos2 sin sin2 等 3 一般情况下 cos cos cos 不成立 即不能按照分配律展开 但也并不是cos cos cos cos cos cos 恒不成立 对于某些特殊的角 这两个等式是成立的 例如 当时满足cos cos cos 等 4 公式的逆用 变形应用是灵活使用公式的前提 如 cos cos sin sin cos cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 等 5 利用该公式还可以来推导和证明诱导公式 如 cos cos cos sin sin cos 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 求值 1 cos215 sin215 2 sin 110 x cos x 40 cos x 70 sin 220 x 分析 1 逆用两角和的余弦公式 2 统一函数名称和角 使其符合两角和与差的余弦公式的结构 解 1 原式 cos15 cos15 sin15 sin15 cos 15 15 cos30 2 原式 cos x 20 cos x 40 sin 90 x 70 sin x 40 cos x 20 cos x 40 sin x 20 sin x 40 cos x 20 x 40 cos60 题型一 题型二 题型三 题型四 反思公式c 是三角恒等式 既可正用 也可逆用 一定要注意公式的结构特征 灵活变换角或名称 同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时 关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角 如30 45 60 120 135 150 之间和与差的关系问题 然后利用公式化简求值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题属于 给值求值 的题目 变角 的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到 因为合理 变角 后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明 常见的角的变换方式 2 4 2 2 2 等 变换的方式很多 需要自己慢慢地体会和探索 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 分析利用两角和的余弦公式求 的余弦值 并结合角 的范围进行求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思此类题是 给值求角 的题目 解题步骤 1 求所求角的某一个三角函数值 2 确定所求角的范围 此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论 范围讨论的程度过大或过小 会使求出的角不符合题意或者漏解 同时要根据角的范围确定求该角的哪一种三角函数值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 分析将f x 化为y acos x 的形式后 再求其单调递增区间 题型一 题型二 题型三 题型四 反思形如y asin x bcos x的函数 均可利用两角和与差的余弦公式将其转化为cos x 的形式 进而可研究该函数的性质 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 答案 d 1 2 3 4 答案 a 1 2 3 4 解析 co