大学物理-力学课件(全)

1 沿着质点的运动轨道所建立的坐标系 因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向 所以在自然坐标系中 速度矢量可表示为 1 质点在平面上的运动 3速度和加速度在自然坐标系中的分量 2 加速度矢量为 3 L B A t t t 当 t 0时 点B趋近于点A 等腰 O A B 顶角 0 极限方向必定垂直于 指向轨道凹侧 与法向单位矢量n一致 并且 4 一般情况下 质点的加速度矢量应表示为 如果轨道在点A的内切圆的曲率半径为 5 R 6 例 求平抛物体抛出ts时该处轨迹曲线的曲率半径 知平抛初速度为v0 7 解 8 二 圆周运动 匀速率圆周运动 变速率圆周运动 9 10 角加速度 圆周运动中 矢量 11 12 例质点作匀加速圆周运动 知 求t时刻质点的角位置 解 13 例 半径为1m的轮子以匀角加速度从静止开始转动 20s末的角速度为100rad s 1 求 角加速度及20s内转过的角度 第20s末轮边缘上一点的切向和法向加速度 14 解 15 16 质点以R为半径沿逆时针方向作匀速圆周运动 匀速左旋运动 17 4 相对运动 18 相对运动公式 19 例 飞机A以vA 1000km h的速率向南飞行 同时另一架飞机B以vB 800km h的速率 相对地面 向东偏南30O飞行 求A机相对于B机的速度与B机相对于A机的速度 20 解 A相对于B的速度 B相对于A 21 第二章质点动力学 1 牛顿运动定律 2 力学量的单位和量纲 3 力学中常见的力 4 牛顿定律应用举例 5 伽利略相对性原理 6 非惯性参考系中的惯性力 22 牛顿第二定律 23 牛顿第三定律 当物体A以力作用在物体B上时 B以作用于A 与沿同一直线 大小相等方向相反 牛顿第三定律指出物体间的作用总是相互的 其中的一个力称为作用力 另一个力称为反作用力 作用力和反作用力的特点 成对出现 同时产生 同时消失 作用同一直线上 但作用于不同的物体 性质相同 24 例 作匀速圆周运动的质点 其法向加速度与圆周半径R 质点运动速率的关系被某人忘掉了 请帮他很快找出线索来 25 解 26 例 半径为R的小球在黏度系数的流体中以速度运动 受到黏性阻力 经分析有关 试用量纲分析发求可能的规律 27 解 设阻力 实验验证 斯托克斯公式 28 3 力学中常见的力 万有引力相互作用 电磁相互作用 强相互作用 弱相互作用 29 一 万有引力和重力 开普勒三定律 表述为 1 所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动 太阳位于椭圆轨道的两个焦点之一 2 太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积 3 行星公转的周期的平方正比于它轨道长半轴的立方 30 在前人工作的基础上 牛顿研究发现星体之间的引力与地球上各物体之间的引力是有相同的性质 于1687年提出万有引力定律 并首次表达了数学形式 31 关于万有引力应注意 1 适用于两个质点之间的相互作用 2 如果两物体之间的距离远大于物体本身的线度 这时两个物体可看成质点 直接用万有引力定律求其引力 3 如果两物体之间的距离与物体本身的线度接近 或可相比时 这两个物体不能看成质点 32 33 例 一质量为m的质点受一质量为M 半径为R的均匀分布圆环的万有引力 m在垂直于环的直线上 34 35 例 一质量为m的质点位于 一质量为M 半径为R 均匀分布的圆盘对称轴上 垂直于圆平面 上 求M对m的引力 36 37 38 二 弹性力 1 弹簧的弹性力 在弹簧伸长量不大 在弹簧形变范围内 胡克 1635 1702 研究表明 k为劲度系数 倔强系数 39 例 质量为m的物体 拴在长为的弹簧的一端 平放在转盘上沿半径的槽内 弹簧的劲度系数为k 另一端固定在转轴上 当转盘从静止转到角速度为时 求弹簧对物体的作用力 设槽壁光滑 而物体与盘之间滑动摩擦系数 40 解 41 2 绳内张力 张力存在于拉紧有形变的绳内张力的方向沿绳拉直的方向如不计绳的质量T Mg如计及绳的质量 且均匀分布 则 42 3 支撑力 支撑力于接触面垂直支撑力的大小与施力物体上的力有关支撑力的大小还与物体的运动状态有关 43 三 摩擦力 两物体产生的阻碍相对运动的相互作用力称为摩擦力 44 1 静摩擦力 物体之间只有相对运动趋势便存在的摩擦力 称为静摩擦力 实验知最大静摩擦力的大小与正压力成正比 其中为正压力 为最大静摩擦系数 45 2 滑动摩擦力 滑动摩擦力与正压力成正比 而与两物体表观接触面积无关 为滑动摩擦系数 为正压力 46 4 牛顿定律应用举例 隔离物体法 选取参考系 隔离物体 简化模型 分析受力 建立坐标 列出方程 求解结果 分析讨论 47 一 牛顿定律在直线运动中的应用 例1 物体A和B质量分别为m1和m2 设A与B之间 B与桌面之间的摩擦系数分别为 1 2 若以水平恒力拉物体B 求A的加速度和绳中张力 设滑轮的质量和摩擦以及绳子的质量都可忽略不计 48 解 选静止的桌子为参照系 由于滑轮质量和摩擦及绳子质量不计 所以可以认为绳上各部分的张力T相等 隔离A B 分析受力 49 讨论 若 则 若 则 静止或匀速直线运动 50 例 如图 忽略摩擦 并设绳子柔软不伸长 知求各自的加速度 绳中张力 51 解 选悬挂顶点为参考点 对O点的加速度为 对O点为 52 例 木板质量为M 放在桌面上 其上再放一个质量为m的砝码 木板与桌面摩擦系数为 1 砝码与木板间摩擦系数为 2 今用一力F水平作用在木块上 欲将其抽出 问F要多大 53 砝码受三个力 木块六个力 解得 欲使木板抽出 代入得 54 二 牛顿定律在曲线运动中的应用 直角坐标系 自然坐标系 55 例 抛体运动 56 例 质量为m的汽车 以速度v行驶过桥 桥为 上凸 下凹 在桥的最高点或最低点处 桥的曲率半径为R 求汽车施与桥面压力的大小 57 第三章守恒定律与质点系动力学 1 功和动能 2 势能 3 机械能和机械能守恒 4 动量守恒定律 5 质心运动定律 6 球的碰撞 7 火箭的运动 58 1 功和动能 一 恒力对做直线运动的物体做的功 59 注意 此公式同样只适用于质点做直线运动 60 二 变力对曲线运动物体所做的功 61 62 63 三 功率 反映了外力做功的快慢 64 四 动能 动能定理 质点的动能和动能定理 65 动能定理将功和动能变化建立了联系 这种联系表明 功是动能变化的量度 动能是由于运动而具有的做功本领 表明作用在质点上合外力做的功 等于质点动能的增量 称为质点的动能定理 66 例 牵引运动 质量为的列车由车站出发 如果牵引力 而运行阻力系数 问列车在通过S 1km的路程后速度的变化多大 67 2 质点系的动能定理 68 N个质点组成的质点系 第i个质点 对第i个质点用动能定理 对i求和得到质点系的动能定理 69 70 2 势能 1 重力做功与重力势能 一 保守力和势能 71 只与初 终位置有关 与路径无关 即 沿任一闭合回路 保守力做功为零 72 保守力做的功的等于重力势能增量的负值 定义A点的重力势能为 势能大小是相对 73 2 万有引力的功和势能 74 定义为r处的万有引力势能 则万有引力功亦等于势能增量的负值 同样它与参考系有关 万有引力做功与路径无关 只与起始 终了位置有关 说明万有引力是保守力 75 3 弹簧弹性力的功和弹性势能 弹性力做功只与始 终位置有关 明弹性力是保守力 定义弹性势能为 76 综述以上三种保守力 注意 真正有意义的是势能的差 而不是势能的绝对值 势能属于保守力作用的系统 因为只有保守力满足做功与路径无关 才能定义势能 因此势能是保守力做功的一种表示形式 单位J 和功一样 77 三 由势能函数求保守力 为x方向上单位距离的势能变化称为势能梯度 78 质点在保守力作用下作三维运动 79 例 80 3 机械能和机械能守恒 质点系总的机械能 一 质点系的功能原理 81 二 机械能守恒定律 外力和非保守内力对体系都不做功时 则质点系的机械能守恒 这时质点系内部动能 势能可以互相转化 机械能也可以从一个质点转移到另一个质点 但机械能的总量保持不变 此即质点系的机械能转换和守恒定律 82 例 劲度系数为k的弹簧下挂一质量为m的砝码后达到平衡 试证明 砝码在平衡位置附近沿竖直方向位移长度为a 重力势能和弹性势能的总增量为 证明 83 向下伸a 84 向上压a 即证 85 4 动量守恒定律 一 动量和冲量 质点动量定理 冲量 86 作用在质点上合外力的冲量等于该段时间内质点动量的增量 称之为质点的动量定理 87 例 质量为的铁锤 从高h 1 5m处自由下落打击在锻件上 如果打击时间 求锻件受到的平均冲力 解 一 88 二 开始就用动量定理 89 三 此题也可用牛顿第二定律解 讨论 重力可以忽略不计 90 二 质点系的动量定理和动量守恒定律 质点系由N个质点构成 91 质点系所受合外力的冲量 等于相应时间内质点系的总动量的增量 质点系的动量定理 92 内力的冲量与体系动量的变化无关 并非内力无冲量 只是内力成对出现 冲量亦相互抵消 将动量定理在直角坐标系中分解 93 质点系的动量守恒定律 有一些问题 由于内力 外力 外力可以忽略 而内力不影响体系的总动量 此时可近似用动量守恒来解决体系内动量的转换问题 说明内力虽不改变总动量 但却影响动量在体系内的分布 如爆炸 打击时的重力作用 外力 94 1 动量守恒不一定是整个体系的总动量的守恒 可以其中某个分量守恒 2 通用范围 同一惯性系中的质点系 95 例 见图 质量为m的人站在质量为M的车上 开始时一起以速率沿光滑水平面向右运动 现在人以相对于车为u的速率向左跑 试求车的速率 96 解 由于车在水平方向不受外力 因此车和人组成的系统在该方向动量守恒 在地面参照系中 取方向为正 设人跑动后车的速率为v 97 例 有一面为1 4凹圆柱面 半径R 的物体 质量M 放置在光滑水平面 一小球 质量m 从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落 如图 小球从水平方向飞离大物体时速度v 求 1 重力所做的功 2 内力所做的功 解 重力只对小球做功 水平方向无外力 系统保持水平方向动量守恒 98 对m 内力所做的功 对M 内力所做的功 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消 99 5 质心运动定律 由N个质点组成的体系 一 质心 100 称这个位矢确定的C点为体系的质心 101 注意 直角坐标系中 体系中只含有一个质点 体系中含有两个质量相同的质点 102 质点体系的质量是连续分布 在直角坐标系中 103 如果物体质量均匀分布 线分布 面分布 体分布 104 例1 两质点分别位于x轴上处 质量分别为 求它的质心 解 105 例2 将N个质点组成的质点体系分成两组 各组质量分别为 各组质心分别为和 求证 总质点体系的质心在处 而 证明 106 由此题可知 求质点体系的质心 可以先求出部分体系的质心 然后以这些质心为质点 质量为该部分的总质量 再求总体系的质心 107 例3 求质量均匀分布的细棒的质心 解 108 例 求圆心角为的一段均匀圆弧的质心 解 109 例 求半圆形均匀薄板的质心 解 110 111 圆心角为 112 二 质心运动定律 质点系的总动量表达式有 质点系的总动量 质心的速度 113 说明质心的加速度只决定于质点系受的合外力 其大小可以设想外力全部集中在质心 全部质量也集中在质心时所产生的加速度 加速度的方向和合外力的方向相同 这一结论为质心运动定律 114 例1 射出的炮弹在空中爆炸 问质心如何运动 解 空中炮弹的爆炸 无论在何时何处 其内部有何种作用力 都是内力 唯一的外力是重力 设炮弹的质量为M 以初速度射出 建立如图坐标系 115 质心运动定律在x y方向分别为 116 其轨迹为 即炮弹爆炸前后 质心一直沿抛物线运动 117 118 三 质心参考系 选取一个参考系 随质心一起运动 就是质心参考系 而质心参考系的坐标系 总把坐标的原点放在质心上 坐标轴的方向与某一惯性系坐标轴方向保持平行 是一个平动的坐标系 称为质心坐标系 选一个惯性系K 及一个质心系C 且C相对于K以速度运动 119 如果一个质点体系中第i质点在K系中速度为 在C系中速度为 二者之间满足 整个质点体系在K系中动能总和为 120 即质点系相对于质心系的动能 即K系中看到的质心速度 在质心系中 克尼希定理 121 讨论一个特殊情况 两质点体系 质点速度 质量分别为 K系中 两质点相对速度 在C系中质点速度为 122 折合质量 123 如果质点系受 则质心加度 即 质心参考系是惯性系 以质心为原心的质心系中 质心速度 因此在质心系中研究碰撞和爆炸等问题就十分方便 例 炮弹以速度与水平方向成角射出 达到最高点时爆炸 水平分裂为质量是m和M的两块 炮弹转化为机械能的能量 求落地时两碎片的距离 124 解 爆炸时在水平方向上 合外力为零 以质心为参考系 惯性系 则体系的动量守恒 设m和M相对质心的速度为 由于水平分裂 均在水平方向 则 125 两弹片在水平方向上的相对速度的大小 在竖直方向上弹片从最高点下落的时间 两弹片落地时相距 126 碰撞现象 正碰 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 非完全弹性碰撞 碰撞 正碰 斜碰 6 球的碰撞 127 一 正碰 128 1 完全弹性碰撞 弹性碰撞是指碰撞前后的机械能守恒 碰后两球的分离速度等于碰前两球接近速度 129 利用能量 动量二方程解出 讨论 130 2 完全非弹性碰撞 碰撞后质点以相同的速度运动而不分开 131 损失的机械能 132 例 冲击摆是一种测量子弹速度的装置 质量为M的砂箱挂在轻绳 绳长不变 的下端 当质量为m的子弹以速度水平射入砂箱与其一起运动使摆升高h 求子弹速度的大小 133 解 从子弹射入砂箱 到与砂箱一起运动是碰撞过程 这段时间很短暂 摆悬线偏转可以忽略 砂箱子弹体系水平方向不受外力 这是典型的完全非弹性碰撞 动量守恒 将地球考虑进体系 重力为保守力 体系机械能守恒 选原位置处为重力势能零点有 134 3 非完全弹性碰撞 介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞 即碰撞后小球的形变不能完全恢复 但两球又能分开 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 非完全弹性碰撞 恢复系数 135 136 137 二 斜碰 两球碰撞前的速度不沿它们的连心线 138 动量守恒 机械能也守恒 分别列出为 139 140 解 设碰撞后两球速度 由动量守恒 两边平方 由机械能守恒 势能无变化 两球速度总互相垂直 141 7 火箭的运动 质点系动量定理的一个应用 变质量问题 设t时刻火箭主体的质量为M 速度为 动量为 相对于主体以喷出去的一部分气体 将这部分称为附体 质量为 动量为 主体质量变为 速度变为 142 主体和附体一起 从t到t dt时间元过程用动量定理 143 为简单考虑忽略阻力 火箭垂直于地面向上发射 以向上为正 并假定g const 144 主体质量随附体往上增加而质量增加的问题 变质量问题的基本方程 145 例1 货车以速度前进 其车厢正在装煤 煤的质量增长率为 求需要用多大的牵引力才能维持货车匀速前进 146 以前进方向为坐标轴正向 考虑货车速度恒定 为所装的煤相对货车的速度 它的水平分量在车前进方向的投影为 147 习题 如图所示 将一根柔软均匀 质量线密度为的绳子悬吊起来 下端刚好触及地面 求证 绳子自静止释放后自由下落长度为y时 地面受到绳子的压力 148 方法一 149 方法二 变质量运动方程为 150 已落地的绳子对地面的压力为 151 第四章角动量守恒 刚体力学 1力矩和角动量 2质点角动量定理和角动量守恒定律 质点系角动量定理和角动量守恒定律 3刚体运动学 4刚体动力学 5刚体平衡条件 6陀螺的旋进 152 1 力矩和角动量 一 力矩 坐标系原点为参考点 153 大小M Fd Frsin 力矩 单位牛顿米 N m 量纲 方向右手定则 注意 力矩和参考点的选择有关系 154 作用在质点上的合力对参考点的力矩 155 定义对轴的力矩概念 对z轴的力矩为 156 二 角动量 用叉积定义角动量 角动量大小 157 质点相对于参考点的角动量 158 例 质点被悬挂在B点绕A作匀速率为v的圆周运动 称为圆锥摆 设S为悬线长 见图 试求质点对A点和B点参考点的角动量 159 解 对A点 对B点 160 2 质点角动量定理和角动量守恒定律 质点系角动量定理和角动量守恒定律 一 质点角动量定理 作用在质点上的合力对某个参考点的力矩等于对同一参考点角动量对时间的变化率 此称为质点的角动量定理 角动量定理的积分形式 161 162 例 A点的坐标为 b 0 质量为m的质点由A点静止自由落下 试求某时刻t 作用在质点上的力对原点的力矩 质点对原点的角动量 并由此验证 163 164 二 质点角动量守恒定律 若对参考点来讲作用在质点上 合 外力矩为零 质点对该参考点的角动量守恒 此称为质点的角动量守恒定律 165 例 说明圆锥摆对A点角动量守恒 对B点角动量是不守恒的原因 166 三 有心力和角动量守恒 某作用力 其大小和方向均随时间变化 但力总通过某一固定点 这种力称为有心力 该固定点称为力心 行星运动时 1 行星的轨道 必在同一平面内 2 从太阳到行星的矢径 在相等时间内扫过相等的面积 167 角动量守恒 168 例 用绳系一小物块使之在光滑水平面上作圆周运动 圆半径为 速率为 今缓慢地拉下绳的另一端 使圆半径缩至时 小物块的速率是多大 解 169 四 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 由N个质点组成的质点系 170 由N个质点组成的质点系 171 172 作用在质点系上的外力矩等于质点系对同一参考点的总角动量对时间的变化率 称为质点系的角动量定理 具有对轴的性质 173 质点系受的合外力矩在直角坐标系某轴上的分量为零时 质点系总角动量在该轴上的分量守恒 这就是质点系角动量守恒定律的分量式 说明角动量的分量可以各自守恒 174 例 有一根轻绳 绕过一个质量可以忽略的定滑轮 绳一端悬一重物 质量为m 另一端爬着一只同样质量的猴子 当猴由静止向绳上爬时 相对于绳的速度为v 求重物对地的速度 175 即体系对O点角动量守恒 设猴一边的绳相对地下落的速度为 则猴对地的速度为 重物对地的速度 解 176 例 在光滑水平桌面上 放有一质量为的木块 它与弹簧相连 弹簧另一端固定在桌面上的O点 弹簧的劲度系数k 质量为m的子弹平行于水平面垂直于弹簧以速度射入木块后嵌在其内一起运动 弹簧原长为 木块拉着弹簧并转过90 时 弹簧伸长到 求该时刻木块速度的大小和方向 177 子弹射入木块 忽略木块与桌面摩擦 x方向不受外力 动量守恒 解 体系机械能守恒 对力心O角动量守恒 178 179 五 质心系角动量定理 1 质点系角动量定理及角动量守恒定律是对惯性系中同一固定参考点而言 如果在非惯性系中 必须把惯性力的力矩当作外力矩考虑进来 180 如果使用质心为原点的质心系 若为非惯性系 对质心的角动量表现为 质心系中质心角动量定理的形式 不管质心系是否为惯性系均为上式 181 2 对惯性系中固定参考点O的角动量与对质心系质心为参考点角动量之间的关系 182 质心角动量 体系对质心的角动量 质点系对惯性系固定参考点的角动量 等于质心对同一参考点的角动量与体系对质心的角动量之和 183 3 刚体运动学 忽略物体的大小和形状对运动的影响 而简化采用质点的概念 刚体是指大小和形状不能忽略 但其大小和形状的变化可以忽略的物体 描述刚体运动的部分称为刚体运动学 涉及刚体运动变化的原因部分称为刚体动力学 184 平动和转动 可以描述所有质元 质点 的运动 平动 translation 时 刚体上所有点运动都相同 刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动 rotation 的结果 185 一 刚体的平动 描述刚体的平动时可以用刚体上的一个点来代表 因此我们只要知道了这个点的轨迹 也就知道了刚体的运动轨迹 186 二 绕定轴的转动 在刚体转动中 如果转轴固定不动 称为定轴转动 过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面 187 188 4 刚体动力学 一 刚体绕固定轴的转动 1 189 190 定轴下 可不写角标Z 记作 与牛II比较 刚体绕定轴转动的转动定理 I反映了刚体转动的惯性 191 设刚体绕z轴作定轴转动 体元 mi对轴的角动量 Jzi ri mivi 整个刚体对转轴的角动量 192 由上式得到 刚体对转轴的角动量定理作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率 等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩 193 例 质量为M 半径为r的匀质圆盘 绕过中心的水平轴转动惯量为 圆盘上挂一根长绳 设绳不伸长 且质量可以忽略 绳两端分别吊上质量为和的重物 又设绳子与圆盘间无滑动 试求重物下落的加速度及绳中张力 194 解 195 解 动力学关系 196 197 2 转动惯量 对定轴的决定于刚体对定轴的质量分布 198 刚体是连续分布的 因此其质量亦是连续分布的 体分布 面分布 线分布 199 例 质量为 半径为R的均匀平面圆环 对垂直于平面的对称轴的转动惯量 解 200 例长为 质量为的细长均质均匀棒 绕 过质心 过端点 而垂直于棒的轴的 201 202 例 求均匀圆板绕过其中心垂直于板平面的轴的转动惯量 203 讨论 若为实心圆柱体绕中心轴转动 204 若一空心圆柱体绕中心轴转动 205 实心球绕直径的 薄球壳绕直径的 206 1 平行轴定理 刚体绕任一轴的转动惯量和绕过质心而与前轴平行的轴的转动惯量之间满足其中为刚体的总质量 d为两平行轴之间距离 207 208 2 垂直轴定理 薄板状刚体 对板面内任意两垂直轴的转动惯量之和等于刚体对通过两轴交点垂直于板面的轴的转动惯量 209 210 例 哑铃的两铁球半径相同为R 质量均为 连接两球的棒长为l 质量 求哑铃对过质心垂直于棒的轴的转动惯量 211 解 212 例 从半径为R的均匀薄板上 挖去一个直径为R的圆板 所形成的圆洞中心距圆薄板中心处 所剩薄板质量为m 求此时薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量 设板密度为 厚度为 213 解 214 215 二 绕定轴转动刚体的角动量定理角动量守恒定律 刚体绕z轴转动的角动量定理 216 绕定轴转动刚体的角动量守恒定律 217 例 人坐在转凳上 两手拿哑铃 伸开手让他以角速度转动 转动惯量为 如果人手将哑铃拉回到身边 对轴的转动惯量变为 求此时转动角速度 218 解 219 三 绕定轴转动刚体的动能和动能定理 1 绕定轴转动刚体的动能 刚体的动能定义为各质元动能之和 220 质心的动能 绕质心转动的动能 柯尼西定理 221 2 外力矩的功 222 外力矩做功 223 3 定轴转动刚体的动能定理 定轴转动刚体 外力矩作的功等于刚体动能的增量 这就是定轴转动刚体的动能定理 224 225 例 长为质量为m的细棒 可绕其一端在铅直平面内自由转动 设棒原来静止在水平位置 现让其自由摆下 求 棒摆到铅直位置时的角速度和摆下端点A的速度 棒在竖直位置时 轴O受的作用力 226 解 机械能守恒 227 质心运动定律 228 例 均匀杆长L 0 4m 质量M 1 0kg 由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止 今有一质量m 8 0g的子弹以v 200m s的速率水平射入杆中而不复出 射入点在轴下求 子弹停在杆中时杆的角速度 求杆的最大偏角 229 解 角动量守恒 8 89rad s 230 对杆 子弹 地球系统机械能守恒 231 4 伯努利方程及其应用 外力对这段流体做功 232 233 伯努利方程 234 二 应用 1 皮托管 Pitot 流速计 235 236 2 文丘里 Venturi 流量计 237 3 小孔流速 238 例 水以初速率从内直径为d的水龙头出口处连续不断的流出来 使求在水龙头出口以下距离h处水流的直径 忽略空气阻力并假定不形成水滴 239 解 240 例 一盛满水的桶 其水面高度为H 在水面下h深处桶壁上开一小孔 a 试证射出的水流在地板上的射程 b 能否将小孔开在另一深度处以便射出的水流有相同的射程 如果能 则此孔应开在多大深度处 241 解 a 小孔中射出水流水平速度 242 b 设在开一小孔在水面下h 处 使x射程最大 243 AstreamofairpassesoveroneendofanopentubeTheotherendisimmersedinaliquidThemovingairreducesthepressureabovethetubeThefluidrisesintotheairstreamTheliquidisdispersedintoafinesprayofdroplets 244 第六章振动和波 1 简谐振动 2 简谐振动的合成 3 阻尼振动 受迫振动和共振 4 简谐波 5 波动方程与波速 6 波的能量和能流密度 7 波的迭加 8 多普勒效应 245 1 简谐振动 一 简谐振动 1 弹簧谐振子 246 谐振子的运动学方程 弹簧振子运动的动力学方程 247 2 单摆 摆线偏角以竖直方向向右为正 Mz称为准弹性力 248 3 复摆 249 复摆运动学方程 250 简谐振动 定义如下 2 运动学定义 一个物理量随时间的变化规律为其中由系统本身性质决定 则这个物理量描述的运动为简谐振动 1 动力学定义 凡是受弹性力或准弹性力作用而引起的运动 是简谐振动 也是凡是运动微分方程为的运动是简谐振动 251 二 描述简谐振动的几个物理量 252 1 周期 频率 固有角频率 余弦函数描述的运动都具有周期性 物体做一次完全振动所需要的时间称为振动的周期 记作 T 253 T的最小值满足 即 弹簧振子 单摆 复摆 振动体系的固有角频率 角频率又称圆频率 它由振动体系本身的性质决定 254 例 两弹簧劲度系数都为k 1 串联后与质量为m的质点相连 2 并联后与该质点相连 3 将质点串在两弹簧中间 在坐标原点两弹簧正好无形变 分别求振动体系的固有角频率 255 解 1 设某时刻弹簧总伸长x 两弹簧分别伸长 256 2 某时刻两弹簧均伸长x 则 257 3 当物体位移到x时 258 例 设地球为密度均匀的球 密度为 设想在离地心d距离处开一条内壁光滑的小孔道 在其内放一质点 若只考虑万有引力 求小质点作何种运动 259 受万有引力为 其x分量为 x方向微分方程 质点作简谐振动 260 2 振幅 相位和初相位 振动的相位 初相位 决定于体系的初始状态 261 262 例 弹簧竖直悬挂 自然长度为 下端系一质量为m的物体后 弹簧伸长到达平衡 忽略弹簧的质量及所有摩擦 这个振动起来是否作简谐振动 再拖物体回到弹簧原处 让它由静止下落 试写出振动表达式 263 解 1 挂物体后达平衡 264 坐标原点在处 物体在 处附近作简谐振动 系统作简谐振动 265 2 依题意 时 则 266 三 简谐振动的能量 267 简谐振子总机械能守恒 268 简谐振动过程中 都随时间变化 动能增大时势能减小 其总机械能不变 269 例 一质点在x 0附近作线性谐振动 在t 0时 其位移为x 0 37cm而速度为零 运动频率为0 25Hz 试确定 a 周期 b 角频率 c 振幅 d 在t时刻的位移 e 在t时刻的速度 f 最大速度 g 最大加速度 h 在t 3 0秒时的位移 i 在3 0秒时速率 270 2 简谐振动的合成 一 简谐振动的矢量图表示法 271 272 二 简谐振动的合成 两个振动方向相同简谐振动的合成 频率相同 273 274 275 2 频率不同 276 277 合振动为一个拍振动和一个稳定振动的合成 278 二 两个振动方向互相垂直的简谐振动的合成 频率相同 279 1 若 则 280 2 若 281 3 当 增加使 282 4 当 正椭圆 逆时针转动 283 5 对于一般情况 284 3 阻尼振动 受迫振动和共振 一 阻尼振动 恢复力和阻力的共同作用下 285 欠阻尼 286 2 过阻尼 3 临界阻尼 287 二受迫振动 强迫力 288 方程解为 289 三 共振 290 291 例 某振动质点的x t曲线如图所示 求 1 运动方程 2 点P对应的相位 3 到达P相应位置所需的时间 292 解 1 质点振动振幅A 0 10cm 由振动曲线可画出 旋转矢量 由图知 293 2 3 294 295 解 296 一 机械波的基本概念 1 产生 波动是振动状态的传播 4 简谐波 297 机械振动在弹性介质中的传播叫机械波 而引起介质初始振动的物体叫振源 或波源 波源和弹性介质是产生机械波的两个必要条件 质元并未 随波逐流 波的传播不是媒质质元的传播 上游 的质元依次带动 下游 的质元振动 298 2 传播 介质中的质元振动方向与波动传播方向垂直的波称为横波 而介质中的质元振动方向与波动传播方向一致的波称为纵波 299 300 3 描述波的几个物理量 1 波长 2 频率和周期 3 波速 301 4 平面波和球面波 302 303 二 简谐波的表达式 简谐振动在弹性介质中的传播即为简谐波 沿一维弹性介质单方向传播的简谐波 波阵面为平面 称为平面简谐波 2 同一x处 y是t的函数 1 同一时刻t y是x的函数 304 设位于坐标原点o处质源为波源 则波源的简谐振动表达式为 即沿x方向以波速u传播的简谐波的表达式 O点振动传到P点需要时间 相位落后 故P点的振动为 305 如果波是沿x轴反方向传播 平面简谐波的表达式 306 由 T 和u之间关系 得平面简谐波函数的另一些形式 式中称为波数 表示在2 米内所包含的完整波的数目 307 两个质元间的相位差为 308 2球面波表达式 309 例1 图中曲线为沿x方向以波速v传播的平面简谐波在t 0时可波形 问 1 原点o质元的初相位 2 p点质元的初相位 3 振幅为A 角频率为 写出波动表达式 310 解 1 设原点o振动表达式为 311 2 p点质元位于 3 312 313 解 A为原点波动表达式 1 B点 2 C为原点波动表达式 314 例 有一平面简谐波在介质中传播 波速 波线上右侧距波源O 坐标原点 为75 0m处的一点P的运动方程为求 波向x轴正方向传播时的波动表达式 波向x轴负方向传播的表达式 315 解 设以波源为原点O 沿x轴正向传播的波动方程为 316 当沿x轴负向传播时 317 6 波的能量和能流密度 一 波的能量密度 棒中传播的简谐纵波 318 介质振动时x处质元相对形变为 319 单位体积介质的波动机械能叫波的能量密度 320 平均能量密度 321 二 波的能流密度 单位时间内通过某一横截面的能量称为该面的能流或能量通量 322 能流在一个周期内的平均值称为平均能流 通过单位截面积的平均能流成为平均能流密度 或称能流密度 以I表示 323 讨论 平面波和球面波的振幅 1对平面波来讲 若介质为无吸收的各向同性均匀理想介质 2对球面波而言 324 三 声音的强度 弹性介质能传播各种频率的机械波 其中能够引起人听觉的机械波称为声波 声波的频率范围为16 20000Hz 这个频率范围的声频 频率低于16Hz的机械波称为次声 频率超过20000Hz的机械波称为超声 声强